Beispiele für Parallelogrammmethoden, gelöste Übungen

Er Parallelogrammmethode Es ist eine grafische Methode, um zwei Vektoren in der Ebene hinzuzufügen. Es wird häufig verwendet, um das Ergebnis von zwei Kräften zu finden, die auf ein oder zwei Geschwindigkeiten angewendet werden, wie bei einem Schwimmer, der beabsichtigt, einen Fluss senkrecht zu überqueren und von der Strom umgeleitet wird.

Um das Parallelogramm zu bauen, müssen die Ursprünge der zugezogenen Vektoren an einem Punkt zusammenfallen.

Abbildung 1. Die Parallelogrammmethode zum Hinzufügen von zwei Vektoren. Quelle: Wikimedia Commons.

Dann werden Hilfslinien parallel zu jedem Vektor gezogen, der das Ende des anderen erreicht, wie in der oberen Abbildung gezeigt.

Der Hinzufügen oder der resultierende Vektor, auch Net Force genannt, ist der Vektor F_Netz, das wird erhalten, indem der Vektor gezeichnet wird, der aus dem gemeinsamen Ursprung von geht F₁ Und F₂, bis zu dem Punkt, an dem sich die Hilfsparalllinien kreuzen. Im Diagramm der Abbildung werden diese durch gepunktete Linien dargestellt.

Die Methode empfängt ihren Namen aus der Abbildung, die mit den Abhängigen und den Hilfslinien gebildet wird, was genau ein Parallelogramm ist. Die Hauptdiagonale des Parallelogramms ist der Summenvektor.

Es ist sehr wichtig zu betonen, dass die Reihenfolge, in der die zusätzlichen Vektoren platziert werden.

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Beispiel für die Parallelogrammmethode Schritt für Schritt Schritt für Schritt

Das folgende Bild zeigt die Vektoren v Und oder In willkürlichen Einheiten. Der Vektor v Maßnahmen 3.61 Einheiten und bildet einen Winkel von 56.3. mit dem Horizontalen während oder Maßnahmen 6.32 Einheiten und Winkel von 18.4º in Bezug auf diese Referenzlinie.

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Lassen Sie uns finden, dass Ihr Vektor die Parallelogrammmethode übernimmt.

Figur 2. Zwei beliebige Vektoren in der Ebene, von denen wir den resultierenden Vektor finden möchten. Quelle: f. Zapata

Es ist notwendig, eine angemessene Skala auszuwählen, wie die in der folgenden Abbildung gezeigt, in der die Ebene durch ein Raster geteilt wurde. Die Breite des Quadrats repräsentiert eine (1) Einheit.

Da sich die Vektoren nicht ändern, wenn sie übertragen werden, werden sie so platziert, dass ihre Ursprünge mit dem Ursprung des Koordinatensystems übereinstimmen (Bild der linken).

Figur 3. Summe von Vektoren durch die Parallelogrammmethode. Quelle: f. Zapata.

Befolgen wir nun die folgenden Schritte:

1. Vektor das Ende des Vektors v Eine segmentierte Linie, die parallel zum Vektor ist oder.
2. Wiederholen Sie den Vorgang, diesmal jedoch mit dem Ende des Vektors oder.
3. Zeichnen Sie die Hauptdiagonale, die sich vom gemeinsamen Ursprung bis zum Schnittpunkt segmentierter Linien erstreckt.

Das Ergebnis ist im rechten Bild zu sehen, in dem der resultierende Vektor erscheint R.

Wenn wir die Größe von wissen wollen R, Wir können seine Länge messen und mit der Skala vergleichen, die wir haben. Und was ihre Richtung betrifft, kann die horizontale Achse oder die vertikale Achse beispielsweise als Referenzen verwendet werden.

Unter Verwendung der horizontalen Achse oder der x -Achse der Winkel, der R Form mit dieser Achse wird mit dem Förderer gemessen und auf diese Weise wissen wir die Adresse von R.

Auch die Größe und Richtung von R Sie können durch die Theoreme des Cosinus und der Brust berechnet werden, da das gebildete Parallelogramm in zwei kongruente Dreiecke unterteilt werden kann, deren Seiten die Module der Vektoren sind oder, v Und R. Siehe das Beispiel aufgelöst 1.

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Sonderfall: Summe von senkrechten Vektoren

Wenn die Vektoren senkrecht zueinander sind, ist die gebildete Figur ein Rechteck. Das resultierende Vektormodul entspricht der Länge der Diagonale, die durch den Pythagoras -Theorem leicht berechnet werden kann.

Figur 4. Summe von zwei senkrechten Vektoren unter Verwendung der Parallelogrammmethode. Quelle: f. Zapata.

Gelöste Übungen

- Übung 1

Sie haben den Vektor v, was misst 3.61 Einheiten und bildet einen Winkel von 56.3. mit dem horizontalen und dem Vektor oder, deren Maßnahme 6 ist.32 Einheiten und bildet einen Winkel von 18.4. (Abbildung 2). Bestimmen Sie das resultierende Vektormodul R = oder + v und die Richtung, die den Vektor mit der horizontalen Achse bildet.

Lösung

Die Parallelogrammmethode wird gemäß den oben beschriebenen Schritten angewendet, um den Vektor zu erhalten R. Wie bereits erwähnt, wenn die Vektoren nach der Skala und der Verwendung von Regel und Transporter sorgfältig gezeichnet werden, Größe und Richtung von R Sie werden direkt an der Zeichnung gemessen.

Abbildung 5.- Berechnung der Größe und Richtung des resultierenden Vektors. Quelle: f. Zapata.

Sie können auch direkt mit Hilfe der Trigonometrie und den Eigenschaften der Winkel berechnet werden. Wenn das gebildete Dreieck nicht rechteck ist, wird der Cosinus -Theorem angewendet, um die fehlende Seite zu finden.

Im rechten Dreieck messen die Seiten U, V und R. Um den Cosinus -Theorem anzuwenden, ist es notwendig, den Winkel zwischen v Und oder, Das können wir mit Hilfe des Netzes finden und die von der Aussage gelieferten Winkel ordnungsgemäß positioniert.

Dieser Winkel ist α und besteht aus:

α = (90-56.3.) + 90º +18.4th = 142.1

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Nach dem Coseno -Theorem:

R² = v² + oder² - 2U · Vúcos α = 3.61² + 6.32² - 23.61 × 6.32 × cos 142.1. = 88.98

R = 9.43 Einheiten.

Schließlich der Winkel zwischen R Und die horizontale Achse ist θ = 18.4 º + γ. Der Winkel γ kann durch Brustsatz gefunden werden:

sin α / r = sen γ / u

Deshalb:

sin γ = V (sin α / r) = 3.61 x (Sen 142.1. / 9.43)

γ = 13.6

θ = 18.4 º + 13.6 º = 32º

- Übung 2

Ein Schwimmer bereitet sich darauf vor, einen Fluss zu überqueren, der senkrecht zum Strom mit einer konstanten Geschwindigkeit von 2 schwimmt.0 m/s. Der Schwimmer startet von a, er endet jedoch in B, einem nachgeschalteten Punkt, aufgrund des Strom.

Wenn die Geschwindigkeit des Stroms 0 beträgt.8 m/s und alle Geschwindigkeiten sollen die Geschwindigkeit des Schwimmers finden, wie ein Beobachter am Ufer steht.

Lösung

Abbildung 6. Summe der Geschwindigkeiten nach der Parallelogrammmethode. Quelle: f. Zapata.

Ein Beobachter, der am Ufer steht V_R. Um die Antwort zu finden, müssen wir die Schwimmergeschwindigkeit und die Geschwindigkeit des Stroms hinzufügen, die wir anrufen V _Fluss:

V _R = V _Schwimmer + V _Fluss

In der Abbildung, die nicht im Maßstab ist, wurden die Vektoren hinzugefügt, um zu erhalten V _R. In diesem Fall kann der Pythagoras -Theorem angewendet werden, um seine Größe zu erhalten:

V_R² = 2.0² + 0.8² = 4.64

V_R = 2.15 m/s

Die Adresse, in der der senkrechte Richtungsschwimmer leicht berechnet wird, und das bemerkt:

θ = arctg (2/0.8) = 68.2

Dann abweicht der Schwimmer 90º - 68.2. = 27.2. Ihrer ursprünglichen Adresse.

Verweise

1. Bauer, w. 2011. Physik für Ingenieurwesen und Wissenschaften. Band 1. Mc Graw Hill.
2. Bedford, 2000. ZU. Mechanik für das Engineering: Statisch. Addison Wesley.
3. Figueroa, d. (2005). Serie: Physik für Wissenschaft und Ingenieurwesen. Band 1. Kinematik. Herausgegeben von Douglas Figueroa (USB).
4. Giambattista, a. 2010. Physik. 2. Ed. McGraw Hill.
5. Sears, Zemansky. 2016. Universitätsphysik mit moderner Physik. 14. Ed. Band 1.