Ungarische Methode, was besteht, Beispiel

Er Ungarische Methode Es ist ein Algorithmus, der bei Allokationsproblemen verwendet wird, wenn Sie die Kosten minimieren möchten. Das heißt, es wird verwendet, um die Mindestkosten zu finden, indem mehrere Personen verschiedene Aktivitäten zugewiesen werden, die auf den niedrigsten Kosten basieren. Jede Aktivität muss einer anderen Person zugewiesen werden.

Ein Zuordnungsproblem ist ein spezieller Art von linearem Programmierungsproblem, bei dem das Ziel darin besteht.

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Eines der wichtigsten Merkmale des Zuordnungsproblems ist, dass nur ein Werk (oder Arbeiter) einer Maschine (oder einem Projekt) zugewiesen wird.

Diese Methode wurde vom ungarischen Mathematiker D entwickelt D. Konig. Aus diesem Grund ist es als ungarische Methode für Allokationsprobleme bekannt. Es ist auch als Kuhn-Munkres-Zuweisungsalgorithmus bekannt.

Jedes Allokationsproblem kann leicht gelöst werden, indem diese Methode aus zwei Phasen angewendet wird:

- In der ersten Phase gibt es eine Reduzierung von Zeilen und Säulenreduzierungen.

- In der zweiten Phase ist die Lösung auf einer iterativen Basis optimiert.

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Was ist die ungarische Methode??

Die ungarische Methode besteht aus vier Schritten. Die ersten beiden Schritte werden nur einmal ausgeführt, während die Schritte 3 und 4 wiederholt werden, bis sie eine optimale Zuordnung finden.

Es wird als Eintragsfakt für eine quadratische Matrix von Order n durch n angesehen, die nur nicht -negative Elemente enthalten darf.

Für ein bestimmtes Problem, wenn die Anzahl der Zeilen in der Matrix nicht der Anzahl der Spalten entspricht, muss je nach Fall eine fiktive Zeile oder eine fiktive Spalte hinzugefügt werden. Zuordnungskosten für diese fiktiven Zellen werden immer als Null zugeordnet.

Schritt 1: Subtrahieren Sie die Minimum jeder Zeile

Für jede Zeile der Matrix wird das Element mit dem niedrigsten Wert und den Unterabrechnungen jedes Elements in dieser Zeile ausgewählt.

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Schritt 2: Subtrahieren Sie die Minimum jeder Spalte

In ähnlicher Weise wird das Element mit dem niedrigsten Wert für jede Spalte ausgewählt und subtrahiert es von jedem Element in dieser Spalte.

Schritt 3: Decken Sie alle Nullen mit einer Mindestanzahl von Zeilen ab

Alle Nullen müssen in der Matrix, die aus Schritt 2 resultiert, unter Verwendung einer minimalen Anzahl horizontaler und vertikaler Linien entweder durch Zeilen oder Spalten abgedeckt werden.

Wenn eine Gesamtleitungen erforderlich sind, um alle Nullen abzudecken, die N entspricht der Größe n pro n der Matrix, wird zwischen den Nullen eine optimale Zuordnung und daher der Algorithmus stoppt.

Andernfalls werden weniger Linien erforderlich, um alle Nullen in der Matrix abzudecken, mit Schritt 4 fortgesetzt.

Schritt 4: Erstellen Sie zusätzliche Nullen

Das geringste Element der Matrix (K als K) wird ausgewählt, das nicht von einer der in Schritt 3 hergestellten Linien abgedeckt wird.

Der Wert von k aller Elemente, die nicht durch Linien abgedeckt werden. Anschließend wird der Wert von k zu allen Elementen hinzugefügt, die durch den Schnittpunkt zweier Linien bedeckt sind.

Die Elemente, die von einer einzigen Linie bedeckt sind, bleiben so wie sie sind. Nachdem Sie diesen Schritt ausgeführt haben, kehren Sie zu Schritt 3 zurück.

Optimale Zuordnung

Sobald der Algorithmus in Schritt 3 gestoppt ist.

Wenn in diesem Auswahlprozess keine einzige Null in einer Zeile oder Spalte vorhanden ist, wird einer dieser Nullen ausgewählt. Die verbleibenden Nullen werden in dieser Spalte oder Zeile beseitigt und wiederholen dasselbe auch für die anderen Zuordnungen.

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Wenn es keine einzige Zuteilung von Nullen gibt, bedeutet es, dass es mehrere Lösungen gibt. Die Kosten bleiben jedoch für die verschiedenen Zuweisungssätze gleich.

Jede fiktive Zeile oder Spalte, die hinzugefügt wurde, wird beseitigt. Die in dieser endgültigen Matrix ausgewählten Nullen entsprechen der idealen Zuordnung, die in der ursprünglichen Matrix erforderlich ist.

Beispiel

Betrachten Sie ein Unternehmen, bei dem es vier Aktivitäten gibt (A1, A2, A3, A4), die von vier Arbeitern (T1, T2, T3, T4) ausgeführt werden müssen. Eine Aktivität pro Arbeiter muss zugewiesen werden.

Die folgende Matrix zeigt die Kosten für die Zuweisung eines bestimmten Arbeitnehmers einer bestimmten Aktivität. Das Ziel ist es, die Gesamtkosten der Aufgabe dieser vier Aktivitäten zu minimieren.

Schritt 1: Subtrahieren Sie die Minimum jeder Zeile

Das Element beginnt mit dem Mindestwert jeder Zeile der anderen Elemente dieser Zeile. Zum Beispiel ist das kleinste Element in der ersten Zeile 69. Daher wird 69 jedes Elements in der ersten Zeile abgezogen. Die resultierende Matrix ist:

Schritt 2: Subtrahieren Sie die Minimum jeder Spalte

Auf die gleiche Weise wird das Element mit dem Mindestwert jeder Spalte der anderen Elemente dieser Spalte subtrahiert, wodurch die folgende Matrix erhalten wird:

Schritt 3: Decken Sie alle Nullen mit einer Mindestanzahl von Zeilen ab

Jetzt wird die minimale Anzahl von Linien (horizontal oder vertikal) bestimmt, die erforderlich sind, um alle Nullen in der Matrix abzudecken. Alle Nullen können mit 3 Zeilen abgedeckt werden:

Da die Anzahl der erforderlichen Linien drei beträgt und geringer ist als die Größe der Matrix (n = 4), setzt sie Schritt 4 fort.

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Schritt 4: Erstellen Sie zusätzliche Nullen

Das niedrigste Element, das nicht von den Zeilen bedeckt ist, wird ausgewählt, dessen Wert 6 beträgt. Dieser Wert aller nicht bedeckten Elemente wird subtrahiert und derselbe Wert wird zu allen Elementen hinzugefügt, die durch den Schnittpunkt zweier Linien abgedeckt sind. Dies führt in der folgenden Matrix:

Wie in der ungarischen Methode angegeben, muss die 3 -Nummer drei erneut durchgeführt werden.

Schritt 3 (Wiederholung)

Auch hier wird die Mindestanzahl von Linien, die zum Abdecken aller Nullen in der Matrix erforderlich sind, bestimmt. Diesmal sind vier Zeilen erforderlich:

Da die Anzahl der erforderlichen Linien 4 beträgt, entspricht der Größe der Matrix (n = 4), gibt es eine optimale Zuordnung zwischen Nullen in der Matrix. Daher stoppt der Algorithmus.

Optimale Zuordnung

Wie durch die Methode angegeben, entspricht die Auswahl der folgenden Nullen einer optimalen Zuordnung:

Diese Auswahl von Nullen entspricht der folgenden optimalen Zuordnung in der ursprünglichen Kostenmatrix:

Daher muss der Arbeiter 1 Aktivität 3, den Arbeiter 2, die Aktivität 2, der Arbeiter 3, die Aktivität 1 und der Arbeiter 4 die Aktivität 4 durchführen. Die Gesamtkosten dieser optimalen Zuordnung betragen 69+37+11+23 = 140.

Verweise

1. Ungarnalgorithmus (2019). Der ungarische Algorithmus. Entnommen aus: ungarianalgorithmus.com.
2. Studie (2019). Verwenden des ungarischen Algorithmus zur Lösung von Zuordnungsproblemen. Entnommen aus: Studium.com.
3. Weisheitsjobs (2018). Ungarische Methode zum Lösen von Zuordnungsproblemen - Quantitative Techniken für das Management. Entnommen aus: Weisdomjobs.com.
4. Geeks für Geeks (2019). Ungarn -Algorithmus für Zuordnungsprobleme. Entnommen aus: Geeksforgeeks.Org.
5. Karleight Moore, Nathan Landman (2019). Ungarn maximaler Matching -Algorithmus. Brillant. Genommen von: Brillant.Org.