Registrierter Winkel einer Kreisdefinition, Theoreme, Beispiele

Er registrierter Winkel eines Kreises Es ist derjenige, der seinen Scheitelpunkt auf dem Umfang hat und sein halbwälzter Bereich sind trocken oder tangential für denselben. Infolgedessen wird der registrierte Winkel immer konvex oder flach sein.

In Abbildung 1 sind mehrere Winkel in ihren jeweiligen Umgehungsanlagen dargestellt. Der Winkel test ayedf wird durch den Scheitelpunkt d auf den Umfang und seine beiden halb -recrerger [von) und [df) registriert, die den Umfang trocknen. 

Abbildung 1. Mehrere eingeschriebene Winkel über ihre jeweiligen Umkämpfe. Quelle: f. Zapata mit GeoGebra.

In ähnlicher Weise ist der Winkel test achgi registriert, weil er seinen Scheitelpunkt im Umfang und seine trockenen Seiten auf demselben hat.

Die Winkel test test und test sind ebenfalls mit dem Umfang registriert. Der erste hat eine sekantische Seite und die andere Tangente, während der zweite seine zwei Seiten tangente zum Umfang hat und einen flachen Flugzeugwinkel bildet (180º).

Einige Autoren nennen einen semi-beschriebenen Winkel für denjenigen, der einen seiner Seiten tangentiert hat.

Jeder registrierte Winkel definiert oder untersagt einen damit verbundenen Bogen. Zum Beispiel in Abbildung 2 der registrierte Winkel test §ABC den Bogen A⌒C der Länge D.

Die gleiche Abbildung zeigt den Winkel ¹doe, der nicht im Umfang registriert ist.

Figur 2. Registrierter Winkel test und zentraler Winkel test. Quelle: f. Zapata mit GeoGebra.

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Zentralwinkel

Zusätzlich zum registrierten Winkel die Zentralwinkel, Das ist derjenige, dessen Scheitelpunkt in der Mitte des Umfangs liegt und dessen Seiten zum Umfang geschnitten werden.

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Das Mess von Radianes eines zentralen Winkels ist der Quotient zwischen dem Bogen, der Unterlagen, dh der Umfang zwischen den Seiten des Winkels und dem Radius des Umfangs ist.

Wenn der Umfang einheitlich ist (Radius 1), ist die Länge des Bogens in denselben Funkeinheiten das Maß für den Winkel in Radianes.

Und wenn das Maß des Winkels in Grad erforderlich ist, wird das Maß in Radians mit Faktor 180º/π multipliziert.

Die Winkelmessinstrumente verwenden immer einen zentralen Winkel und die Länge des Bogens, das von diesem direkt in Grad kalibriert ist. Dies bedeutet, dass beim Messen eines Winkels im Hintergrund die Länge des Bogens, das vom zentralen Winkel unterbezogen wird, gemessen wird.

Figur 3. Mehrere zentrale Winkel des Umfangs. Quelle: f. Zapata mit GeoGebra.

Theoreme

- Satz 1 (registrierter Winkel und zentraler Winkel)

Das Maß eines registrierten Winkels ist die Hälfte des Maßes des zentralen Winkels, wenn beide Winkel den gleichen Bogen unterteilen.

Figur 4. Registrierter Winkel ≤ABC und zentraler Winkel test. Quelle: f. Zapata mit GeoGebra.

Abbildung 4 zeigt zwei Winkel test ∠ABC und ∠AOC, die denselben Umfang schneiden, ist A⌒C A⌒C.

Wenn das Maß des registrierten Winkels α ist, ist das β -Maß des zentralen Winkels doppelt so groß wie das Maß für den registrierten Winkel (β = 2 α).

Demonstration 1

Um Satz 1 zu demonstrieren, beginnen mehrere bestimmte Fälle, bis er den allgemeinen Fall erreicht hat.

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Nehmen wir einen registrierten Winkel an, in dem einer seiner Seiten durch die Mitte des Umfangs fließt, wie in Abbildung 5 gezeigt.

Abbildung 5. Registrierter Winkel ζabc mit der Seite [BA) über O und zentraler Winkel test ∠AOC. Quelle: f. Zapata mit GeoGebra.

In diesem Fall entsteht die Dreischpack von Cob Isceles, da [oc] = [ob].

In einem iskeln. Andererseits test test = 180º - β.

Angesichts der Summe der inneren Winkel des Cob -Dreiecks, das Sie haben:

α + α + (180º - β) = 180º

Wo folgt, dass 2 α = β oder was ist äquivalent: α = β/2. Dies fällt mit den Staaten von Theorem 1 zusammen: Das Maß des registrierten Winkels ist die Hälfte des zentralen Winkels, wenn beide Winkel das gleiche Seil einreichen [AC].

Demonstration 1b

Abbildung 6. Hilfskonstruktion, um zu demonstrieren, dass α = β/2. Quelle: f. Zapata mit GeoGebra.

In diesem Fall gibt es einen eingeschriebenen Winkel test, in dem sich der Zentrum oder der Umfang im Winkel befindet.

Um Theorem 1 in diesem Fall zu demonstrieren, wird das semi -rechte Hilfsmittel [BO) gezeichnet, so dass zwei registrierte Winkel test ∠abo und ∠OBC neben der Semi -Recreation gibt.

In ähnlicher Weise haben sie die zentralen Winkel β₁ und β₂ neben der Semi -Recreational. Auf diese Weise haben Sie die gleiche Situation wie in Demonstration 1, sodass festgestellt werden kann, dass α₂ = β₂ /2 und α₁ = β₁ /2. Wie α = α₁ + α₂ und β = β₁ + β₂ Es gibt daher, dass α = α₁ + α₂ = β₁ /2 + β₂ /2 = (β₁ + β₂) / 2 = β / 2.

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Abschließend α = β / 2, das Theorem 1 entspricht.

- Satz 2

Wenn zwei oder mehr registrierte Winkel denselben Bogen unterteilen, haben sie die gleiche Maßnahme.

Abbildung 7. Registrierte Winkel gleicher Messung α, da sie den gleichen Bogen A⌒C unterteilen. Quelle: f. Zapata mit GeoGebra.

- Satz 3

Die Untertit der registrierten Winkel Es gibt gleiche Maßstäbe, die gleich sind.

Abbildung 8. Die eingeschriebenen Winkel, die Seile gleichermaßen unterteilen, haben eine gleiche Messung β. Quelle: f. Zapata mit GeoGebra.

Beispiele

- Beispiel 1

Zeigen, dass der eingeschriebene Winkel der Durchmesser ein rechter Winkel ist.

Lösung

Der mit dem Durchmesser assoziierte zentrale Winkel test ist ein flacher Winkel, dessen Maß 180 ° beträgt.

Gemäß Satz 1 hat jeder im Umfang registrierte Winkel, der das gleiche Seil (in diesem Fall der Durchmesser) untersagt.

Abbildung 9. Jeglicher registrierter Winkel, der zu Durchmesser von Unterlagen ist, ist ein rechter Winkel. Quelle: f. Zapata mit GeoGebra.

- Beispiel 2

Die Zeile (BC) -Tangente in einem A -A -A -A -Umfang C bestimmt den eingeschriebenen Winkel ζbac (siehe Abbildung 10).

Stellen Sie sicher, dass Satz 1 der registrierten Winkel erfüllt ist.

Abbildung 10. Registrierter Winkel BAC und sein konvexer zentraler Winkel AOA. Quelle: f. Zapata mit GeoGebra.

Lösung

Der Winkel test ist registriert, da sein Scheitelpunkt auf dem Umfang liegt und seine Seiten [AB) und [AC) dem Umfang tangential sind, sodass die Definition des eingeschriebenen Winkels erfüllt ist.

Andererseits untersetzt der eingeschriebene Winkel ∠BAC den A⌒a -Bogen, der der vollständige Umfang ist. Der zentrale Winkel, der den A⌒a -Bogen subtilt, ist ein konvexer Winkel, dessen Maß der volle Winkel (360 °) ist.

Der registrierte Winkel subtitiert die vollständige ARC misst die Hälfte des zugehörigen zentralen Winkels, dh ζbac = 360º/2 = 180º.

Bei all den oben genannten wird nachgewiesen, dass dieser spezielle Fall Theorem 1 trifft.

Verweise

1. Baldor. (1973). Geometrie und Trigonometrie. Zentralamerikanische kulturelle Redaktion.
2. UND. ZU. (2003). Geometrieelemente: mit Übungen und Kompassgeometrie. Universität Medellin.
3. Geometrie 1st. Winkel im Umfang. Erholt von: edu.Xunta.Ist/
4. Alle Wissenschaft. Vorgeschlagene Winkungsübungen im Umfang. Erholt von: FrancePhysics.Blogspot.com
5. Wikipedia. Registrierter Winkel. Geborgen von: ist.Wikipedia.com