Komplementäre Winkel, die und wie berechnet werden, Beispiele, Übungen

Zwei oder mehr Winkel sind ergänzende Winkel Wenn die Summe seiner Maßnahmen der eines rechten Winkels entspricht. Wie bekannt.

Zum Beispiel sind die beiden Winkel neben der Hypotenuse eines Rechteckdreiecks zueinander ergänzen, da die Summe ihrer Maßnahmen 90 ° beträgt. Die folgende Abbildung ist sehr veranschaulichend:

Abbildung 1. Links mehrere Winkel mit einem gemeinsamen Scheitelpunkt. Rechts einen Winkel von 60 °, der den Winkel α (Alpha) ergänzt, ergänzt. Quelle: f. Zapata.

Abbildung 1 zeigt insgesamt vier Winkel. α und β sind komplementär, da sie sind benachbart und seine volle Summe ein rechtswinkel. In ähnlicher Weise ergänzt β zu γ, wo folgt, dass γ und α gleichwertig sind.

Da die Summe von α und δ gleich 90 Grad beträgt, kann man sagen, dass α und δ komplementär sind. Darüber hinaus kann, wenn β und δ das gleiche komplementäre α haben, dass β und δ das gleiche Maß haben.

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Beispiele für komplementäre Winkel

In den folgenden Beispielen wird aufgefordert, die unbekannten Winkel zu finden, die mit Abfragen in Abbildung 2 angezeigt werden.

Figur 2. Verschiedene Beispiele für ergänzende Winkel. Quelle: f. Zapata.

- Beispiele A, B und C

Die folgenden Beispiele sind in der Reihenfolge der Komplexität.

Beispiel a

In der oberen Abbildung haben wir, dass die benachbarten Winkel α und 40º zu einem rechten Winkel summieren. Das ist α + 40º = 90º, daher α = 90º- 40º = 50º.

Beispiel b

Da β mit dem Winkel von 35º komplementär ist, dann β = 90º - 35º = 55º.

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Beispiel c

Aus Abbildung 2C die Summe von γ + 15º + 15º = 90º. Das heißt, dass γ komplementär zu Winkel 30 = 15º + 15 ° ist. So dass:

γ = 90º- 30º = 60º

- Beispiele D, E und F

In diesen Beispielen sind mehr Winkel beteiligt. Um die Unbekannten zu finden, muss der Leser das Konzept des komplementären Winkels so oft wie nötig anwenden.

Beispiel d

Da x zu 72 ° komplementär ist, folgt, dass x = 90º - 72º = 18º. Zusätzlich und es ist komplementär zu x, dann y = 90º - 18º = 72º.

Schließlich ist Z komplementär zu und. Aus all den oben genannten folgt es:

Z = 90º - 72º = 18º

Beispiel e

Die Winkel δ und 2δ sind komplementär, daher Δ + 2 & Dgr; = 90º.

Das ist 3δ = 90º, was impliziert, dass Δ = 90º / 3 = 30º.

Beispiel f

Wenn wir den Winkel zwischen ω und dem von 10 nennen, musste er ihnen ergänzt werden. Wo es folgt, dass u = 80º. Da u mit ω komplementär ist, dann ω = 10º.

Übungen

Drei Übungen werden unten vorgeschlagen. In allen von ihnen muss der Wert der Winkel A und B in Grad gefunden werden, so dass die in Abbildung 3 gezeigten Beziehungen erfüllt sind.

Figur 3. Abbildungen für Komplementärwinkelübungen. Quelle: f. Zapata.

- Übung 1

Bestimmen Sie die Werte der Winkel A und B von Teil I) von Abbildung 3.

Lösung

Aus der Abbildung wurde gezeigt, dass A und B komplementär sind, daher A + B = 90º. Der Ausdruck von A und B wird als Funktion von x ersetzt, die in Teil I angegeben sind):

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(x/2 + 7) + (2x + 15) = 90

Dann werden die Begriffe ordnungsgemäß gruppiert und eine einfache lineare Gleichung erhalten:

(5x/2) + 22 = 90

22 in beiden Mitgliedern abziehen sind:

5x/2 = 90 -22 = 68

Und schließlich wird der Wert von x gelöscht:

x = 2*68/5 = 136/5

Jetzt wird der Winkel ersetzt, der den Wert von x ersetzt:

A = (136/5)/2 +7 = 103/5 = 20,6 º.

Während Angle B ist:

B = 2*136/5 + 15 = 347/5º = 69,4º .

- Übung 2

Finden Sie die Werte der Winkel A und B von Bild II, Abbildung 3.

Lösung

Auch hier müssen Sie als A und B ergänzende Winkel sind: A + B = 90º. Das Ersetzen des Ausdrucks von A und B als Funktion von x in Teil II) von Abbildung 3 ist:

(2x - 10) + (4x +40) = 90

Die ähnlichen Begriffe werden gruppiert, um die Gleichung zu erhalten:

6 x + 30 = 90

Das Teilen von beiden Mitgliedern zwischen 6 wird erhalten:

x + 5 = 15

Wo es folgt, dass x = 10º.

Deshalb:

A = 2*10 - 10 = 10º

B = 4*10 + 40 = 80º.

- Übung 3

Bestimmen Sie die Werte der Winkel A und B von Teil III) von Abbildung 3.

Lösung

Die Abbildung wird sorgfältig analysiert, um nach ergänzenden Winkeln zu suchen. In diesem Fall müssen Sie + b = 90 Grad. Ersetzen des Ausdrucks von A und B als Funktion von X, die in der Abbildung angegeben sind, haben Sie:

(-X +45) + (4x -15) = 90

3 x + 30 = 90

Die beiden Mitglieder durch 3 zu teilen ist die folgende:

x + 10 = 30

Wo es folgt, dass x = 20º.

Das heißt, dass der Winkel a = -20 +45 = 25º. Und für seinen Teil: b = 4*20 -15 = 65º.

Senkrechte Seitenwinkel

Es wird gesagt, dass zwei Winkel sind senkrechte Seiten Wenn jede Seite in der anderen ihre entsprechenden senkrechten Senkrechte hat. Die folgende Abbildung verdeutlicht das Konzept:

Kann Ihnen dienen: zusammengesetzte NachfolgeFigur 4. Senkrechte Seitenwinkel. Quelle: f. Zapata.

In Abbildung 4 werden beispielsweise die Winkel α und θ beobachtet. Beachten Sie nun, dass jeder Winkel seinen entsprechenden senkrechten im anderen Winkel hat.

Es ist auch ersichtlich, dass α und θ den gleichen komplementären Winkel haben z, Daher kommt der Beobachter sofort zu dem Schluss, dass α und θ die gleiche Maßnahme haben. Es scheint dann, dass, wenn zwei Winkel senkrechte Seiten miteinander haben, gleich sind, aber lassen Sie uns einen anderen Fall sehen.

Betrachten Sie nun die Winkel α und ω. Diese beiden Winkel haben auch entsprechende senkrechte Seiten, es kann jedoch nicht sagen, dass sie gleichwertig sind, da einer akut und der andere stumpf ist.

Beachten Sie, dass ω + θ = 180º. Neben θ = α. Wenn Sie diesen Ausdruck von Z in der ersten Gleichung ersetzen, die Sie erhalten:

Δ + α = 180 ° ist, dass δ und α Winkel von gegenseitig senkrechten Seiten sind.

Allgemeine Regel für senkrechte Seitenwinkel 

Aus dem oben genannten Regel kann eine Regel, die immer erfüllt ist, dass die Winkel senkrechte Seiten haben, festgelegt werden:

Wenn zwei Winkel senkrechte Seiten sind, sind sie gleich, wenn beide akut sind oder beide stumpf sind. Andernfalls, wenn einer akut ist und der andere stumpf ist, sind sie ergänzend, das heißt, sie fügen 180 ° hinzu.

Wenn wir diese Regel anwenden und in Bezug auf die Winkel von Abbildung 4 Folgendes bestätigen:

α = β = θ = φ

γ = δ

Mit dem ω -Zusatzwinkel von α, β, θ und φ.

Verweise

1. Baldor, j. ZU. 1973. Flache und Raumgeometrie. Zentralamerikanische Kultur. 
2. Mathematische Gesetze und Formeln. Winkelmesssysteme. Abgerufen von: Ingemecanica.com.
3. Wentworth, g. Planet Geometrie. Erholt von: Gutenberg.Org.
4. Wikipedia. Ergänzende Winkel. Geborgen von: ist.Wikipedia.com
5. Wikipedia. Förderer. Geborgen von: ist.Wikipedia.com
6. Zapata f. Goniometer: Geschichte, Teile, Betrieb. Abgerufen von: Lifer.com