Winkel in den Umfangstypen, Eigenschaften, Übungen aufgelöst

Genannt Umfang Winkel zu denen, in denen eines seiner Elemente bei einem bestimmten Umfang sind oder sich überschneiden oder sich kreuzen. Unter ihnen sind die folgenden:

1.- Er Zentralwinkel, deren Scheitelpunkt in der Mitte des Umfangs liegt und seine Seiten trocknen dazu, wie wir im folgenden Bild sehen:

Abbildung 1. Die Arten von Winkeln im Umfang sind: die Zentral, das Eingeschriebene, das Äußere und das Innere. Quelle: f. Zapata.

2.- Er registrierter Winkel, dessen Scheitelpunkt auf dem Umfang liegt und seine Seiten sind trocken oder tangential zum Umfang.

3.- Außenwinkel, dessen Scheitelpunkt außerhalb des Umfangs ist, aber seine Seiten sind trocken oder tangential zum Umfang.

4.- Er Innerer Winkel, mit dem Scheitelpunkt im Umfang des Umfangs und seinen trockenen Seiten zum gleichen.

Alle diese Winkel halten bestimmte Beziehungen zueinander und dies führt uns zu wichtigen Eigenschaften zwischen den Winkeln zu einem bestimmten Umfang.

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Eigenschaften

- Zentralwinkel

Der zentrale Winkel ist definiert als derjenige, dessen Scheitelpunkt sich in der Mitte des Umfangs befindet und seine Seiten in den Umfang geschnitten werden.

Das Mess von Radianes eines zentralen Winkels ist der Quotient zwischen dem Bogen, der Unterlagen, dh der Umfang zwischen den Seiten des Winkels und dem Radius des Umfangs ist. 

Wenn der Umfang einheitlich ist, dh Radius 1, dann ist das Maß des zentralen Winkels die Länge des Bogens, was der Anzahl der Radians entspricht.

Wenn Sie das Maß des zentralen Winkels in Grad wollen, wird die Maßnahme in Radians mit Faktor 180º/π multipliziert.

Die Winkelmessinstrumente, wie der Transporter und das Goniometer, verwenden immer einen zentralen Winkel und die Länge des subtilten Bogens.

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Sie werden in sexagesimalen Grad kalibriert, was bedeutet, dass im Rücken, was gemessen wird.

Eigentum

Das Maß eines zentralen Winkels in Radianes entspricht der Länge des Bogens, die Subtine oder Abschnitte geteilt durch die Radiuslänge.

Figur 2. Drei zentrale Winkel werden gezeigt. Einer akute, der andere stumpf und eine Wohnung. Quelle: f. Zapata.

- Registrierter Winkel

Der registrierte Winkel eines Umfangs ist einer, der seinen Scheitelpunkt auf dem Umfang hat und der halbbetonische Scheitel. 

Seine Eigenschaften sind:

Eigenschaften

-Der registrierte Winkel ist konvex oder flach.

-Wenn ein eingeschriebener Winkel den gleichen Bogen wie der zentrale Winkel abfängt, wird das Maß des ersten die Hälfte der des zweiten sein.

Figur 3. Registrierter Winkel ≤ABC und zentraler Winkel test. Quelle: f. Zapata.

Abbildung 3 zeigt zwei Winkel test ∠ABC und ∠AOC, die denselben Umfang abfangen, ist A⌒C A⌒C.

Wenn das Maß des registrierten Winkels α ist, ist das β -Maß des zentralen Winkels doppelt so groß wie das Maß für den registrierten Winkel (β = 2 α).

- Außenwinkel

Es ist der Winkel, dessen Scheitel sich außerhalb des Umfangs befindet und jede seiner Seiten in einem oder mehreren Punkten den Umfang zum Umfang schneidet.

Eigentum

-Sein Maß ist gleich dem semi -express (oder der Differenz geteilt durch 2) der zentralen Winkel, die die Bögen selbst abfangen.

Um sicherzustellen, dass die Maßnahme positiv ist, sollte der Semi -Express immer der zentrale Winkel der größten Messung sein.

Figur 4. Der äußere Winkel α entspricht der Halbscheibe der Zentrale, die dieselben Bögen unterteilen. Quelle: f. Zapata.

- Innerer Winkel

Der innere Winkel ist derjenige, dessen Scheitelpunkt sich im Umfang befindet und seine Seiten zum Umfang geschnitten werden.

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Eigentum 

Seine Maßnahme entspricht der Semi -Gruppe des zentralen Winkels, der denselben Bogen untersagt, sowie dem zentralen Winkel, der den gleichen Bogen wie sein Verlängerungswinkel untersagt innerer Winkel).

Die folgende Abbildung zeigt und klärt die Eigenschaft des inneren Winkels.

Abbildung 5. Der α -Innenwinkel entspricht dem halb -sesymum der zentralen Winkel, die die gleichen Bögen wie er selbst unterteilen. Quelle: f. Zapata.

Gelöste Übungen

- Übung 1

Nehmen wir einen eingeschriebenen Winkel an, in dem einer seiner Seiten durch die Mitte des Umfangs fließt, wie in Abbildung 6 gezeigt. Der Radius des Umfangs beträgt OA = 3 cm und der Bogen d hat eine Länge von π/2 cm. Bestimmen Sie den Wert der α- und β -Winkel.

Abbildung 6. Registrierter Winkel ζabc mit der Seite [BA) über O und zentraler Winkel test ∠AOC.Quelle: f. Zapata.

Lösung

In diesem Fall entsteht die Dreischpack von Cob Isceles, da [oc] = [ob]. In einem isschenkellischen Dreieck sind die Winkel neben der Basi. Andererseits test test = 180º - β. Angesichts der Summe der inneren Winkel des Cob -Dreiecks, das Sie haben:

α + α + (180º - β) = 180º

Von wo aus folgt, dass 2 α = β oder was ist äquivalent α = β/2, was die Eigenschaft (3) des vorherigen Abschnitts bestätigt, dass das Maß für den registrierten Winkel die Hälfte des zentralen Winkels ist, wenn beide Winkel subtrahieren Das gleiche Seil [AC].

Jetzt bestimmen wir weiter die numerischen Werte: Der β -Winkel ist zentral und sein Maß in Radianes ist das Verhältnis zwischen dem Bogen d und dem Radius r = OA, daher lautet seine Maßnahme:

β = d / r = (π / 2 cm) / (3 cm) = π / 6 rad = 30º.

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Andererseits war bereits bestätigt worden, dass α = β / 2 = (π / 6 rad) / 2 = π / 12 rad = 15º. 

- Übung 2

In Abbildung 7 die Winkel α₁ und β₂ haben die gleiche Maßnahme. Zusätzlich der Winkel β₁ Es misst 60º. Bestimmen Sie die Winkel β und α.

Abbildung 7. In Abbildung α₁ = β₂ und β₁ = 60º. Bestimmen Sie die Werte von β und α. Quelle: f. Zapata.

Lösung

In diesem Fall gibt es einen eingeschriebenen Winkel test, in dem sich der Zentrum oder der Umfang im Winkel befindet.

Aufgrund der Eigenschaft (3) haben Sie α₂ = β₂ /2 und α₁ = β₁ /2. Als:

α = α₁ + α₂ und β = β₁ + β₂

Sie haben deshalb:

α = α₁ + α₂ = β₁ /2 + β₂ /2 = (β₁ + β₂) / 2 = β / 2.

Das heißt, gemäß den Eigenschaften:

α = β / 2

Wie uns gesagt wird, dass β₁ = 60º dann:

α₁ = β₁ / 2 = 60º / 2 = 30º.

Sie sagen uns auch, dass α₁ = β₂ Daraus folgt:

β₂ = 30º.

Der Winkel β ist:

β₁ + β₂ = 60º + 30º = 90º.

Und als α = β / 2, dann:

α = 90º / 2 = 45º. 

Abschließend:

β = 90º und α = 45º.

Verweise

1. Baldor, a. 1973. Geometrie und Trigonometrie. Zentralamerikanische kulturelle Redaktion.
2. UND. ZU. 2003. Geometrieelemente: mit Übungen und Kompassgeometrie. Universität Medellin.
3. Geometrie 1st. Winkel im Umfang. Erholt von: edu.Xunta.Ist.
4. Alle Wissenschaft. Gelöste Winkelsübungen im Umfang gelöst. Erholt von: FrancePhysics.Blogspot.com
5. Wikipedia. Registrierter Winkel. Geborgen von: ist.Wikipedia.com