Gegenwinkel durch den Scheitelpunkt (mit einer gelösten Übung)

Der Gegenwinkel durch den Scheitelpunkt Sie sind diejenigen, die Folgendes erfüllen: Die Seiten eines von ihnen sind die Verlängerungen der Seiten des anderen Winkels. Er Grundsatz Der entgegengesetzten Winkel durch den Scheitelpunkt, es heißt: Zwei vom Scheitelpunkt entgegengesetzte Winkel haben die gleiche Maßnahme.

Oft wird die Sprache missbraucht, indem er sagt, dass die vom Scheitelpunkt widersetzten Winkel gleich sind, was nicht korrekt ist. Die Tatsache, dass zwei Winkel das gleiche Maß haben, bedeutet nicht, dass sie gleich sind. Es ist wie zu sagen, dass zwei Kinder mit der gleichen Größe gleich sind.

Abbildung 1. Gegenwinkel durch den Scheitelpunkt. Vorbereitet von: fanny zapata.

Erinnern Sie sich daran, dass ein Winkel als die geometrische Figur definiert ist, die aus zwei Halbschaltungen mit demselben Ursprung besteht.

Abbildung 1 zeigt den Winkel NEBEL (Blau) bestehend aus der semi -Recreational [Von) und das Semi -STRAIGHT [OG) von gemeinsamer Herkunft ENTWEDER. Abbildung 1 zeigt auch den Winkel Hoi (rot) bestehend aus der semi -Recreational [I habe gehört) und das Semi -STRAIGHT [OH) beide mit Herkunft ENTWEDER. 

Zwei gegenüberliegende Winkel durch den Scheitelpunkt sind zwei verschiedene geometrische Figuren. Um dies hervorzuheben, hat der Winkel in Abbildung 1 gefärbt NEBEL Blau, während der Winkel Hoi Er hat rot gefärbt. 

Die blauen und roten Winkel von Abbildung 1 werden vom Scheitelpunkt abgelehnt, weil: das Halb [Von) des blauen Winkels ist die Verlängerung des Semi -Right [OH) des roten Winkels und des Semi -Right [OG) des blauen Winkels ist die Verlängerung des Semi -Right [I habe gehört) des roten Winkels.

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Wichtige Konzepte über Winkel

Seiten und Eckpunkte eines Winkels

Die geometrische Figur bestehend aus zwei halbbetonten mit gemeinsamem Ursprung ist ein Winkel. Das folgende Bild zeigt den Winkel Poq gebildet von den beiden halb -rechten [Op) Und [OQ) von gemeinsamer Herkunft ENTWEDER:

Figur 2. Der POQ -Winkel definiert zwei Winkelsektoren. Vorbereitet von: f. Zapata.

Das Semi -STRAIGHT [Op) Und [OQ) sind die Seiten des Winkels Poq, Während der gemeinsame Punkt oder genannt wird Vértice des Winkels.

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Winkelsektor: Ein Winkel teilt die Ebene, die sie in zwei Winkelsektoren enthält. Einer von ihnen ist der konvexe Winkelsektor und der andere ist der konkave Winkelsektor. Die Vereinigung der beiden Sektoren gibt die gesamte Ebene.

Abbildung 2 zeigt im Winkel Poq und seine beiden Winkelsektoren. Der konvexe Winkelsektor ist derjenige, der eine spitze Form hat, während der Konkave der Winkelsektor der Ebene ist, fehlt den konvexen Sektor.

Winkel gebildet durch zwei Linien, die geschnitten werden

Zwei Linien einer Ebene, die abgefangen werden, bilden vier Winkel und teilen die Ebene in vier Winkelsektoren.

Figur 3. Die Linien (PQ) und (RS) sind in O und 4 -Winkel ausgenommen. Vorbereitet von: f. Zapata.

Abbildung 3 zeigt die beiden Linien (PQ) Und (Rs) abgefangen in ENTWEDER. Dort können Sie sehen, dass vier Winkel bestimmt werden:

-Soq, Qor, ROP Und Pos

Die Engel Soq Und Qor, Qor Und ROP, ROP Und Pos, Pos Und Soq Sind  angrenzende Winkel untereinander, während Soq Und ROP Sie werden vom Scheitelpunkt abgelehnt. Sie sind auch Gegenwinkel durch den Scheitelpunkt Die Engel Qor Und Pos.

Senkrechte Linien und gerader Winkel

Zwei Trocknungsleitungen (gerade Linien Kreuzung) sind Senkrechte geraden Linien Wenn sie vier Winkelsektoren gleichermaßen bestimmen. Wenn jeder der vier Sektoren mit dem benachbarten Winkelsektor symmetrisch ist, haben sie das gleiche Maß.

Jeder der Winkel, die die beiden senkrechten Linien bestimmen rechter Winkel. Alle geraden Winkel haben das gleiche Maß.

Semi -Strafe auf derselben Linie und dem gleichen Flachwinkel

Bei einer Linie und einer Punkt. Diese beiden Semi -STRAIGHTE definieren zwei flache Winkel.

In Abbildung 3 kann die Linie beobachtet werden (Rs) und der Punkt ENTWEDER was gehört zu (Rs). Der Winkel SOR Es ist ein flacher Winkel. Es kann auch bestätigt werden, dass der Winkel Ros Es ist ein flacher Winkel. Alle flachen Winkel haben das gleiche Maß.

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Nullwinkel und Vollwinkel

Eine einzelne halbrecreation definiert zwei Winkel: einer davon im konvexen Winkelsektor ist der Nullwinkel Und der andere der des konkaven Winkelsektors ist der Vollwinkel. In Abbildung 3 die Nullwinkel SOS und das Vollwinkel SOS. 

Messung 

Es gibt zwei numerische Systeme, die häufig verwendet werden, um einen Winkel zu messen. 

Einer von ihnen ist das sexagesimale System, dh basierend auf Nummer 60. Es ist ein Erbe der alten mesopotamischen Kulturen. Das andere Winkelmesssystem ist das Radián -System, das auf der Zahl π (PI) basiert und ein Vermächtnis der alten griechischen Weisen ist, die Geometrie entwickelten.

Sexagesimales System

Nullwinkel: Im sexagesimalen System misst der Nullwinkel 0º (Null Grad).

Vollwinkel: Die 360º -Maßnahme wird zugeordnet (dreihundertsechzig Grad).

Flacher Winkel: Im sexagesimalen System misst der flache Winkel 180º (einhundert achtzig Grad).

Rechter Winkel: Zwei senkrechte Linien teilen die Ebene in vier so genannte Geradewinkel in vier Winkeln gleicher Messungen. Das Maß eines rechten Winkels ist ein Viertel des vollen Winkels, dh 90 ° (neunzig Grad).

Förderer oder Goniometer

Der Förderer ist das Instrument, mit dem Winkel gemessen wurden. Es besteht aus einem Halbkreis (normalerweise transparenter Kunststoff), der in 180 Winkelabschnitte unterteilt ist. Da ein Halbkreis einen flachen Winkel bildet, ist die Maßnahme zwischen zwei aufeinanderfolgenden Abschnitten der erste.

Das Goniometer ähnelt dem Transporter und besteht aus einem Kreis, der in 360 Winkelabschnitte unterteilt ist.

Ein Winkel, dessen Seiten von der Mitte des Goniometers zwei Sektoren abfangen, und das Maß dieses Winkels in Grad entspricht der Zahl n der Abschnitte zwischen den beiden abgefangenen SektorenENE -Grad”)).

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Theorem der entgegengesetzten Winkel durch den Scheitelpunkt

Formal wird der Satz auf diese Weise angegeben:

Wenn zwei Winkel gegen den Scheitelpunkt sind, haben sie die gleiche Maßnahme.

Figur 4. α, β und γ sind die Messungen der SOQ-, QOR- und ROP -Winkel. Vorbereitet von: f. Zapata.

Demonstration

Der Winkel Soq Es hat eine α -Messung; der Winkel Qor Es hat eine β -Mess und den Winkel ROP Es hat eine γ -Messung. Die Summe des Winkels Soq mehr ihn Qor den flachen Winkel bilden SOR von Maß 180º.

Das ist:

α + β = 180 °

Andererseits und die gleiche Argumentation mit den Winkeln verwenden Qor Und ROP Du hast:

β + γ = 180 °

Wenn wir die beiden früheren Gleichungen beobachten, besteht die einzige Möglichkeit, dass beide erfüllt sind, dass α gleich γ ist.

Als Soq Es hat eine α -Messung und wird vom Scheitelpunkt abgelehnt zu ROP von Mess γ und als α = γ wird der Schluss gezogen, dass die vom Scheitelpunkt entgegengesetzten Winkel das gleiche Maß haben.

Übung gelöst

In Bezug auf Abbildung 4: Angenommen, β = 2 α. Finden Sie das Maß der Winkel Soq, Qor Und ROP In sexagesimalen Grad.

Lösung

Wie die Summe des Winkels Soq mehr ihn Qor den flachen Winkel bilden SOR Du hast:

α + β = 180 °

Aber sie sagen uns, dass β = 2 α. Ersetzen dieses Wertes von β bleiben wir: Wir bleiben:

α + 2 α = 180 °

Das heißt:

3 α = 180 °

Was bedeutet, dass α der dritte Teil von 180 ° ist:

α = (180º / 3) = 60º

Dann das Maß von von Soq ist α = 60º. Das Maß von Qor ist β = 2 α = 2*60º = 120º. Endlich als ROP wird vom Scheitelpunkt gegen Soq dann nach dem bereits gezeigten Satz gezeigt, dass sie die gleiche Maßnahme haben. Das heißt das Maß von ROP ist γ = α = 60º. 

Verweise

1. Baldor, j. ZU. 1973.Flache und Raumgeometrie. Zentralamerikanische Kultur. 
2. Mathematische Gesetze und Formeln. Winkelmesssysteme. Abgerufen von: Ingemecanica.com.
3. Wikipedia. Gegenwinkel durch den Scheitelpunkt. Geborgen von: ist.Wikipedia.com
4. Wikipedia. Förderer. Geborgen von: ist.Wikipedia.com
5. Zapata f. Goniometer: Geschichte, Teile, Betrieb. Abgerufen von: Lifer.com