EULER -Nummer oder Nummer E Wie viel wert, Eigenschaften, Anwendungen ist

Er Euler -Nummer oder Nummer e Es ist eine gut bekannte mathematische Konstante, die in zahlreichen wissenschaftlichen und wirtschaftlichen Anwendungen häufig auftritt, zusammen mit der Anzahl π und anderen wichtigen Zahlen in Mathematik.

Ein wissenschaftlicher Taschenrechner wirft den folgenden Wert für die Zahl E:

Abbildung 1. Eulers Zahl erscheint häufig in der Wissenschaft. Quelle: f. Zapata.

E = 2.718281828…

Zum Beispiel sind viele weitere Dezimalstellen bekannt:

E = 2.71828182845904523536…

Und moderne Computer haben Dezimalbillionen der Zahl E ermöglicht.

Es ist eine Nummer irrational, Das bedeutet, dass es unendlich viele Dezimalstellen ohne sich wiederholendes Muster hat (Sequenz 1828 erscheint am Anfang zweimal und wiederholt sich nicht mehr).

Und es bedeutet auch, dass die Zahl E nicht als Quotient von zwei ganzen Zahlen erhalten werden kann.

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Geschichte

Die Nummer Und Er wurde 1683 von Wissenschaftler Jacques Bernoulli identifiziert, als er das Problem von Zinseninteresse untersuchte, aber zuvor indirekt in den Werken des schottischen Mathematikers John Napier aufgetreten war, der die Logarithmen für 1618 erfunden hatte.

Es war jedoch Leonhard Euler im Jahr 1727, der ihm den Namen Nummer E gab und seine Eigenschaften intensiv studierte. Deshalb ist es auch als das bekannt Euler -Nummer und auch als natürliche Grundlage für die verwendeten Neperschen Logarithmen (ein Exponent).

Wie viel ist die Zahl E wert??

Die Nummer E Vale:

E = 2.71828182845904523536…

Die Suspensionspunkte bedeuten, dass es unendlich viele Dezimalstellen gibt, und tatsächlich sind Millionen von ihnen mit aktuellen Computern bekannt.

Darstellungen der Nummer e

Es gibt verschiedene Möglichkeiten, E zu definieren, die wir unten beschreiben:

Die Zahl E als Grenze

Eine der verschiedenen Möglichkeiten, wie die Zahl E ausgedrückt wird, ist diejenige, die der Wissenschaftler Bernoulli in seiner Arbeit zum Zinseninteresse gefunden hat:

In dem Sie den Wert tun müssen N eine sehr große Anzahl.

Mit Hilfe eines Taschenrechners ist es einfach zu überprüfen, dass wenn N Es ist sehr groß, der vorherige Ausdruck tendiert um den Wert von Und oben gegeben.

Es kann Ihnen dienen: Bijjektive Funktion: Was ist es, wie wird es getan, Beispiele, Übungen?

Natürlich können wir uns fragen, wie groß es getan werden kann N, Wir versuchen also mit runden Zahlen wie folgt: zum Beispiel:

n = 1000; 10.000 oder 100.000

Im ersten Fall erhalten Sie e = 2.7169239… . Im zweiten e = 2.7181459… und im dritten ist es dem Wert von viel naher Und: 2.7182682. Wir können das bereits mit n = 1 erscheinen.000.000 oder größer, der Ansatz ist noch besser.

In der mathematischen Sprache das Verfahren des Erstellens N Es kommt näher und mehr zu einem sehr großen Wert, es heißt Grenze auf Unendlichkeit Und es wird so bezeichnet:

Um die Unendlichkeit zu bezeichnen, wird das "∞" -Symbol verwendet.

Die Zahl E als Summe

Es ist auch möglich, Nummer E durch diese Operation zu definieren:

Die Zahlen, die im Nenner erscheinen: 1, 2, 6, 24, 120 ... entsprechen der Operation N!, Wo:

N! = n. (N-1).(N-2). (N-3) ..

Und per Definition 0! = 1.

Es ist leicht zu überprüfen Und.

Lassen Sie uns einige Tests mit dem Taschenrechner durchführen und zunehmend Ergänzungen hinzufügen:

1 +1+ (1/2) + (1/6) = 2.71667

1 +1+ (1/2) + (1/6) + (1/24) = 2.75833

1 +1+ (1/2) + (1/6) + (1/24) + (1/120) = 2.76667

1 +1+ (1/2) + (1/6) + (1/24) + (1/120) + (1/720) = 2.71806

Je mehr Begriffe sie zur Summe hinzugefügt werden, desto mehr ähnlich ist das Ergebnis wie Und.

Mathematiker haben eine kompakte Notation für diese Summen entwickelt, die viele Terme mit dem Summensymbol σ betreffen:

Dieser Ausdruck wird als "Summe von n = 0 bis unendlich von 1 zwischen n Factorial" gelesen.

Die Zahl E aus der geometrischen Sichtweise

Die Zahl E hat eine grafische Darstellung, die sich auf den Bereich unter der Grafik der Kurve bezieht:

y = 1/x

Wenn die Werte von x zwischen 1 und e liegen, ist dieser Bereich 1 wert, wie in der folgenden Abbildung dargestellt:

Figur 2. Grafische Darstellung der Zahl E: Fläche unter Kurve 1/x, zwischen x = 1 und x = e O'Clock. Quelle: f. Zapata.

Nummer E Eigenschaften

Einige der Eigenschaften von Nummer E sind:

Kann Ihnen dienen: Wachstumsfunktion: Wie man sie identifiziert, Beispiele, Übungen

-Mit anderen Worten ist es irrational, es kann nicht einfach durch Teilen von zwei ganzen Zahlen erhalten werden.

-Die Nummer Und Es ist auch ein Transzendente Zahl, was bedeutet, dass Und Es ist keine Lösung einer Polynomgleichung.

-Es bezieht sich auf vier weitere berühmte Zahlen im Bereich der Mathematik, nämlich: π, I, 1 und 0 durch die Identität von Euler:

Und^πi + 1 = 0

-Die Anrufe komplexe Zahlen kann durch e ausgedrückt werden.

-Es bildet heute die Grundlage für natürliche oder neperische Logarithmen (John Napiers ursprüngliche Definition unterscheidet sich ein wenig).

-Es ist die einzige Zahl, so dass sein neperer Logarithmus 1 wert ist, das heißt:

 ln e = 1

Anwendungen

Statistiken

Die Zahl E erscheint sehr häufig im Bereich der Wahrscheinlichkeit und Statistik, die in verschiedenen Verteilungen wie dem Normalen oder Gaußschen, dem von Poisson und anderen auftreten.

Maschinenbau

In Engineering ist es häufig, da die exponentielle Funktion y = e^X Es ist beispielsweise in Mechanik und Elektromagnetismus vorhanden. Unter den vielen Anwendungen können wir zitieren:

-Ein Kabel oder eine Kette, die den Enden unterliegt, übernimmt die Form der Kurve, die angegeben wird:

y = (e^X + Und^-X) /2

-Ein ursprünglich entladener Kondensator C, der in Reihe mit einem Widerstand R und einer Spannungsquelle V zum Laden verbunden ist, erhält eine bestimmte Last Q, abhängig von der Zeit, die angegeben wird, durch:

Q (t) = cv (1-e^-T/rc)

Biologie

Die exponentielle Funktion y = a.Und^BX, Mit A und B konstant wird es verwendet, um das Zellwachstum und das Bakterienwachstum zu modellieren.

Physisch

In der Kernphysik werden der radioaktive Zerfall und die Bestimmung von Altersgruppen durch Radiokarbon datiert modelliert.

Wirtschaft

Bei der Berechnung des zusammengesetzten Interesses entsteht die Zahl E auf natürliche Weise.

Angenommen, Sie haben einen bestimmten Geldbetrag P_entweder, es zu einem jährlichen Zinssatz zu investieren.

Wenn das Geld 1 Jahr übrig bleibt, haben Sie nach dieser Zeit:

P (1 Jahr) = P_entweder + P_entweder.i = p_entweder (1+ i)

Nach einem weiteren Jahr, ohne es zu berühren, haben Sie:

Kann Ihnen dienen: Theoretische Wahrscheinlichkeit: Wie man es herausholt, Beispiele, Übungen

P (2 Jahre) = P_entweder + P_entweder.i + (p_entweder + P_entweder .i) i = p_entweder +2 p_entweder.i + p_entweder.Yo²  = Po (1+i)²

Und auf diese Weise von N Jahre:

P = p_entweder (1+i)^N

Denken Sie nun an eine der Definitionen von E:

Es sieht ein bisschen aus wie der Ausdruck für P, also muss es eine Beziehung geben.

Wir werden den nominalen Zinssatz verteilen Yo In N Zeiträume, auf diese Weise wird der Zinssatz von Zinsen I/N sein:

P = p_entweder [1+ (I/N)]^N

Dieser Ausdruck sieht etwas mehr über unsere Grenze aus, aber er ist noch nicht genau das gleiche.

Nach einigen algebraischen Manipulationen kann jedoch gezeigt werden, dass diese Änderung der Variablen vorgenommen wird:

H = n/i → i = n/h

Unser Geld P wird:

P = p_entweder [1+ (1/h)]^Hi = P_entweder [1+ (1/h)]^HYo

Und was gehört zu den Schlüssel, auch wenn es mit dem Brief geschrieben ist H, Es ist gleich dem Argument der Grenze, das die Zahl E definiert, und fehlt nur die Grenze.

Lass es uns tun  H → ∞, und was zwischen den Schlüsseln liegt Und. Dies bedeutet nicht, dass wir eine unendlich große Zeit warten müssen, um unser Geld abzuheben.

Wenn wir gut aussehen, wenn wir es tun H = n/i Und neigt zu ∞, was wir wirklich getan haben, ist, den Zinssatz in sehr, sehr kleinen Zeiträumen zu verteilen: sehr klein:

I = n/h

Das nennt man Kontinuierliche Kapitalisierung. In diesem Fall kann der Geldbetrag leicht wie folgt berechnet werden:

P = p_entweder .Und^Yo

Wo ich der jährliche Zinssatz bin. Zum Beispiel durch die Einzahlung von 12 bis 9 % pro Jahr durch kontinuierliche Kapitalisierung nach einem Jahr haben Sie:

P = 12 x e^{0.09 × 1} € = 13.13 €

Mit einem Gewinn von 1.13 €.

Verweise

1. Genießen Sie die Mathematik. Zinseninteresse: Periodische Zusammensetzung. Erholt von: genießeMatimaticas.com.
2. Figuera, j. 2000. Mathematik 1st. Diversifiziert. Co-Bo-Editionen.
3. Garcia, m. Die Zahl E in der Elementarberechnung. Erholt von: Mathematik.Ciens.UCV.gehen.
4. Jiménez, r. 2008. Algebra. Prentice Hall.
5. Larson, r. 2010. Berechnung einer Variablen. 9na. Auflage. McGraw Hill.