Freunde oder freundliche Beispiele und wie man sie findet

Der Freunde oder freundliche Zahlen Es gibt zwei natürliche Zahlen A und B, deren Summe der Divisoren eines von ihnen (ohne die Zahl) gleich der anderen Zahl entspricht, und die Summe der Divisoren dieses anderen (auch nicht einbeziehen) entspricht dem ersten Ausgabe.

Es wurden viele Zahlenpaare gefunden, die dieses merkwürdige Eigentum teilen. Es sind nicht zu kleine Zahlen, Minderjährige sind 220 und 284, entdeckt vor einigen Jahrhunderten. Geben wir ihnen also als Beispiel dafür, was diese besondere Freundschaft zwischen Zahlen bedeutet.

Abbildung 1. Die paar Freunde 220 und 284 waren bereits seit Jahrhunderten bekannt. Quelle: Pixabay.

Die 220 -Divisors, ohne 220, sind: 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 und 110. Andererseits sind die 284 -Divisors, ohne 284: 1, 2, 4, 71 und 142.

Jetzt fügen wir die Divisors der ersten Ausgabe hinzu, die 220 sind:

D₁ = 1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110 = 284

Wir beobachten, dass die Summe tatsächlich 284 beträgt, die Anzahl Freund.

Dann werden die Divisoren von 284 hinzugefügt:

D₂ = 1+2+4+71+142 = 220

Und das erste Mitglied des Paares wird erhalten.

Die alten griechischen Mathematiker der pythagoräischen Schule, gegründet von Pythagoras (569-475 bis.C.), Der Autor des berühmten Theorems desselben Namen.

Sie waren auch den islamischen Mathematikern des Mittelalters bekannt, die es schafften, eine allgemeine Formel zu bestimmen, um Freunde über die 850er Jahre unserer Ära zu finden.

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Formel zum Finden von Freunden

Das islamische Mathematiker Thabit ibn Qurra (826-901) fand einen Weg, um einige Freunde zu generieren. Sean P, Q Und R Drei Primzahlen, dh Zahlen, die nur 1 und sich selbst als Divisors zugeben.

Nach Erfüllung der folgenden:

P = 3.2^N-1 - 1

Q = 3.2^N - 1

Kann Ihnen dienen: Folgendes (Geometrie)

R = 9.2^2n-1 - 1

Mit N eine Zahl größer als 1, dann:

A = 2^NPq und b = 2^NR 

Machen Sie ein paar Freunde zusammen. Wir werden die Formel für n = 2 ausprobieren und sehen, welche paar Freunde Zahlen generieren:

P = 3.2^2-1 - 1 = 3. 2 - 1 = 5

Q = 3.2² - 1 = 11

R = 9.2^2.2-1 - 1 = 71

So:

A = 2^NPq = 2². 5. 11 = 220

B = 2^NR = 2². 71 = 284

Die Formel der mittelalterlichen Mathematik.

Der Satz funktioniert jedoch nicht für alle bisher gefundenen Freunde, nur für n = 2, n = 4 und n = 7.

Jahrhunderte später leitete der schweizerische Mathematiker Leonhard Euler (1707-1783) eine neue Regel, um freundliche Zahlen zu finden, basierend auf dem von Thabit Ibn Qurra:

P = (2^N-m + 1). 2^M - 1

Q = (2^N-m + 1). 2^N - 1

R = (2^N-m + 1)². 2^m+n  - 1

Wie immer sind die Zahlen P, Q und R Cousins, aber jetzt gibt es zwei ganze Exponenten: M und N, von denen m die folgende Bedingung erfüllen muss:

1 ≤ m ≤ n-1

Das Ehepaar von Freunden wird auf die gleiche Weise geformt:

A = 2^Npq 

B = 2^NR 

Wenn M = N-1 erneut erhalten wird, den Theorem von Thabit, aber wie beim islamischen Mathematik-Theorem der Fall ist, erfüllen nicht alle freundlichen Zahlen die Euler-Regel. Damit erhöhte sich jedoch die bis dahin erhöhte freundliche Anzahl der freundlichen Zahlen.

Hier sind die ersten Exponentenpaare (m, n), mit denen einige freundliche Zahlen finden können:

(1,2), (3,4), (6,7), (1,8) und (29,40)

Später, im Übungsabschnitt.

Beispiele für Freunde Zahlen

-220 und 284

Kann Ihnen dienen: Zufälliger Experiment: Konzept, Beispielraum, Beispiele

-1184 und 1210

-2620 und 2924

-5020 und 5564

-6232 und 6368

-10.744 und 10.856

-12.285 und 14.595

-17.296 und 18.416

Natürlich können mit dem Computer viel mehr Paare freundlicher Zahlen generiert werden.

So brechen Sie eine Nummer auf und finden Ihre Divisors

Mal sehen, wie man die Teilnehmer einer Zahl findet, um zu bestätigen, ob sie Freunde sind. Nach der Definition freundlicher Zahlen müssen alle Teilnehmer der Teilnehmer hinzugefügt werden, um sie hinzuzufügen, mit Ausnahme der Zahlen selbst.

Jetzt können natürliche Zahlen in zwei Gruppen unterteilt werden: Primzahlen und zusammengesetzte Zahlen.

Primo -Zahlen geben nur als exakte Divisors zu 1 und sich selbst zu. Und die Zahlen, die von ihrem Teil komponiert werden, können immer als Produkt von Primzahlen ausgedrückt werden und haben andere Divisors, abgesehen von 1 und für sich selbst.

Eine beliebige Zusammengesetzungszahl mit 220 oder 284 kann auf diese Weise ausgedrückt werden:

N = a^N . B^M. C^P… R^k

Wobei a, b, c ... r Primzahlen und N, M, P ... k sind Exponenten, die zu natürlichen Zahlen gehören, die ab 1 länger wert sein können.

In Bezug auf diese Exponenten gibt es eine Formel, um zu wissen, wie viele (aber nicht welche) Divisors die Zahl n haben. Sei c diese Menge:

C = (n +1) (m +1) (p +1) ... (k +1)

Sobald die Zahl N in Bezug auf Primzahlen -Produkte ausgedrückt wird und bekannt ist, wie viele Divisors haben, haben Sie bereits die Werkzeuge, um zu wissen, was ihre Divisors sind, sowohl Cousins ​​als auch Nicht -Cousins. Und es ist notwendig, sie alle zu treffen, um zu überprüfen, ob sie Freunde sind, mit Ausnahme des letzten, was die Zahl selbst ist.

Gelöste Übungen

- Übung 1

Finden Sie alle Divisoren der paar Freunde 220 und 284.

Lösung

Zuerst finden wir die Hauptteilungen von 220, was eine zusammengesetzte Zahl darstellt:

Kann Ihnen dienen: pünktliche Schätzung

220 │2
110 │2
55 │5
11 │11
1 │

Die Zersetzung in den Primemaktionen von 220 lautet:

220 = 2 x 2 x 5 x 11 = 2².5. elf

Daher n = 2, m = 1, p = 1 und besitzt:

C = (2+1). (1+1). (1+1) = 12 Divisores

Die ersten Divisoren, die vor der Zerlegung der Anzahl gewarnt werden, sind: 1, 2, 4, 5 Und elf. Und sie sind auch 110 Und 55.

5 von ihnen würden fehlen, die Produkte zwischen Cousins ​​und ihren Kombinationen herstellen: 2².5 = zwanzig;  2².11 = 44; 2. 11 = 22 und schließlich die 1 und sein eigenes 220.

Ein analoges Verfahren für 284 wird befolgt:

284 │2
142 │2
71 │71
1 │

284 = 2². 71

C = (2+1). (1+1) = 3 x 2 = 6 Divisoren

Diese Divisoren sind: 1, 2, 4, 71, 142 und 284, wie am Anfang angegeben.

Figur 2. Mit der beschriebenen Methode können diese Paare analysiert werden, um zu überprüfen, ob sie Freunde sind. Quelle: f. Zapata.

- Übung 2

Überprüfen Sie die Euler -Formel für n = 4 und m = 3 erzeugt die Liste der Primzahlen (p, q, r) = (23,47, 1151). Was sind die paar Freunde, die mit ihnen geformt wurden??

Lösung

Primzahlen P, Q und R werden berechnet durch:

P = (2^N-m + 1). 2^M - 1

Q = (2^N-m + 1). 2^N - 1

R = (2^N-m + 1)². 2^m+n  - 1

Das Ersetzen der Werte von m = 3 und n = 4 wird erhalten:

P = (2^4-3 + 1). 2³ - 1 = 23

Q = (2^4-3 + 1). 2⁴ - 1 = 47

R = (2^4-3 + 1)². 2⁴⁺³  - 1 = 1151

Jetzt wird die Formel angewendet, um die paar Freunde Zahlen A und B zu finden:

A = 2^Npq 

B = 2^NR 

A = 2^NPq = 16. 23. 47 = 17.296

B = 2^NR = 16. 1151 = 18.416

Und in der Tat gehören sie in der Liste der ersten Paare von Freunden, die wir zuvor gezeigt haben.

Verweise

1. Baldor, a. 1986. Arithmetik. Codex -Editionen und -verteilungen.
2. Alles über Primzahlen. Freunde Zahlen. Erholt von: Krankenschwester.Org.
3. Wolfram Mathworld. Eulers Regel. Erholt von: Mathworld.Wolfram.com.
4. Wikipedia. Freundliche Zahlen. Abgerufen von: in.Wikipedia.Org.
5. Wikipedia. Freunde Zahlen. Geborgen von: ist.Wikipedia.Org.