Eigenschaften der Komplexzahlen, Beispiele, Operationen

Der komplexe Zahlen Sie sind der numerische Satz, der die realen Zahlen und alle Wurzeln der Polynome abdeckt, einschließlich der gleichmäßigen Wurzeln der negativen Zahlen. Diese Wurzeln existieren nicht in der Reihe von reellen Zahlen, aber in komplexen Zahlen ist die Lösung.

Eine komplexe Zahl besteht aus einem realen Teil und einem anderen, der "imaginär" bezeichnet wird. Der eigentliche Teil heißt Zu, Zum Beispiel und der imaginäre Teil Ib, mit Zu Und B echte Zahlen und "I" mögen die Imaginäre Einheit. Auf diese Weise nimmt die komplexe Zahl das Formular an:

Z = a + ib

Abbildung 1.- Binomiale Darstellung einer komplexen Zahl in Bezug auf reale Teil und imaginäre Teil. Quelle: Pixabay.

Beispiele für komplexe Zahlen sind 2 - 3i, -πi, 1 + (1/2) i. Aber bevor wir mit ihnen arbeiten, lassen Sie uns sehen, woher die imaginäre Einheit stammt Yo, In Anbetracht dieser quadratischen Gleichung:

X² - 10x + 34 = 0

In welchem ​​a = 1, b = -10 und c = 34.

Wenn die Lösungsmittelformel angewendet wird, um die Lösung zu bestimmen, finden wir Folgendes:

Wie Sie den Wert von √-36 bestimmen können? Es gibt keine reale Anzahl, dass das Quadrat eine negative Menge ist. Dann wird der Schluss gezogen, dass diese Gleichung keine wirklichen Lösungen hat.

Wir können dies jedoch schreiben:

√-36 = √-6² = √6² (-1) = 6√-1

Wenn wir einen bestimmten Wert definieren X so dass:

X² = -1

So:

x = ± √-1

Und die vorherige Gleichung hätte eine Lösung. Daher wurde die imaginäre Einheit definiert als:

I = √-1

Und so:

√-36 = 6i

Viele Antike-Mathematiker haben an der Lösung ähnlicher Probleme gearbeitet und die Renaissance Girolamo Cardano (1501-1576), Nicolo Fontana (1501-1557) und Raffaele Bombelli (1526-1572) hervorgehoben.

Jahre später René Descartes (1596-1650) als "imaginär" für Mengen wie √-36 des Beispiels bezeichnet. Aus diesem Grund ist das √-1 als der bekannt Imaginäre Einheit.

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Komplexe Zahlen Eigenschaften

-Die Menge der komplexen Zahlen wird als C bezeichnet und enthält reelle Zahlen R und imaginäre Zahlen IM. Numerische Sets sind in einem Venn -Diagramm dargestellt, wie in der folgenden Abbildung gezeigt:

Kann Ihnen dienen: Aufgelöste Faktorisierungsübungen Figur 2. Venn -Diagramm numerischer Sets. Quelle: f. Zapata.

-Jede komplexe Zahl besteht aus einem realen Teil und einem anderen imaginären Teil.

-Wenn der imaginäre Teil einer komplexen Zahl 0 ist, ist es eine reine reelle Zahl.

-Wenn der eigentliche Teil einer komplexen Zahl 0 ist, ist die Zahl rein imaginär.

-Zwei komplexe Zahlen sind gleich, wenn ihr jeweiliger realer Teil und imaginärer Teil gleich sind.

-Mit den komplexen Zahlen werden die bekannten Operationen von Summen, Subtraktion, Multiplikation, Produkt und Stärkung durchgeführt, was zu einer weiteren komplexen Zahl führt.

Darstellung komplexer Zahlen

Komplexe Zahlen können auf verschiedene Arten dargestellt werden. Hier sind die wichtigsten:

- Binomische Form

Es ist die angegebene Form am Anfang, wo z ist die komplexe Zahl, Zu ist der eigentliche Teil, B ist der imaginäre Teil und Yo Es ist die imaginäre Einheit:

Z = a + ib

Oder auch:

Z = x + iy

Eine Möglichkeit, die komplexe Zahl zu grafischen. Die imaginäre Achse ist vertikal, während die reale Achse horizontal ist und als Re bezeichnet.

Die komplexe Zahl z Es wird in dieser Ebene als Koordinatenpunkt dargestellt (X, y) entweder (A, b), Wie mit den Punkten des realen Flugzeugs.

Der Abstand vom Ursprung zum Punkt Z ist das Modul der komplexen Zahl, bezeichnet als als R, während φ der Winkel ist, der sich bildet R Mit der realen Achse.

Figur 3. Darstellung einer komplexen Zahl in der komplexen Ebene. Quelle: Wikimedia Commons.

Diese Darstellung hängt eng mit der der Vektoren in der realen Ebene zusammen. Der Wert von R entspricht Modul der komplexen Zahl.

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- Polarform

Die polare Form besteht darin, die komplexe Zahl auszudrücken, die die Werte von angegeben haben R und von φ. Wenn wir uns die Figur ansehen, den Wert von R Es entspricht der Hypotenuse eines rechten Dreiecks. Die Kategorien sind wert Zu Und B, Ach ja X Und Und.

In der binomialen oder binomialen Form können wir mit der polaren Form weiterentwickeln durch:

R = √x²+Und²

Der Winkel φ Es ist dasjenige, das das R -Segment mit der horizontalen Achse oder imaginären Achse bildet. Es ist bekannt als Streit der komplexen Zahl. Hier entlang:

φ = arctg (y/x)

Das Argument hat unendliche Werte, wobei berücksichtigt wird, dass jedes Mal, wenn eine Rendite gedreht wird, die 2π -Radianes wert ist, wieder die gleiche Position einnimmt. Auf diese Weise wird im Allgemeinen das Argument von Z, gekennzeichnet, arg (z), wie folgt ausgedrückt:

Arg (z) = φ + 2kπ

Wo k ganz ist und dient, um die Menge an Kurven anzugeben: 2, 3, 4 .. . Das Zeichen zeigt die Bedeutung der Rotation an, wenn Zeit oder Antihorario erfolgen.

Figur 4. Polare Darstellung einer komplexen Zahl in der komplexen Ebene. Quelle: Wikimedia Commons.

Und wenn wir die polare Form an die Binomialform weitergeben wollen, verwenden wir trigonometrische Gründe. Aus der vorherigen Abbildung können wir das sehen:

x = r cos φ

y = r sen φ

Auf diese Weise z = r (cos φ+i sin φ)

Das wird so abgekürzt:

z = r cis φ

Beispiele für komplexe Zahlen

Die folgenden komplexen Zahlen sind binomial angegeben:

A) 3 + i

b) 4

d) -6i

Und diese in einem geordneten Drehmoment:

a) (-5, -3)

b) (0, 9)

c) (7.0)

Schließlich erhält diese Gruppe polar oder trigonometrisch:

a) √2 cis 45º

b) √3 cis 30º

Kann Ihnen dienen: Hypergeometrische Verteilung: Formeln, Gleichungen, Modell

c) 2 cis 315º

Wofür sind sie??

Die Nützlichkeit komplexer Zahlen geht über die Auflösung der zu Beginn gezeigten Auflösung der Gleichung zweiten Grades hinaus, da sie auf dem Gebiet der Ingenieurwesen und Physik, insbesondere in:

-Die Untersuchung elektromagnetischer Wellen

-Alternativer Strom- und Spannungsanalyse

-Die Modellierung aller Arten von Signalen

-Theorie der Relativitätstheorie, in der die Zeit als imaginäre Größe angenommen wird.

Operationen mit komplexen Zahlen

Mit den komplexen Zahlen können wir alle Operationen ausführen, die mit dem Realen durchgeführt werden. Einige sind leichter zu tun, wenn die Zahlen binomisch kommen, z. B. Summe und Subtraktion. Auf der anderen Seite sind Multiplikation und Division einfacher, wenn sie mit der polaren Form durchgeführt werden.

Schauen wir uns einige Beispiele an:

- Beispiel 1

Fügen Sie Z hinzu₁ = 2 + 5i und z₂ = -3 -8i

Lösung

Die realen Teile werden getrennt von den imaginären Teilen hinzugefügt:

z₁ + z₂ = (2 + 5i) + (-3 -8i) = -1 -3i

- Beispiel 2

Multiplizieren Z₁ = 4 cis 45º und z₂ = 5 cis 120º

Lösung

Es kann gezeigt werden, dass das Produkt von zwei komplexen Zahlen in polarer oder trigonometrischem Produkt angegeben wird durch:

z₁ . z₂ = r₁.R₂ Cis (φ₁ + φ₂)

Demzufolge:

z₁ . z₂ = (4 × 5) cis (45 + 120) = 20 cis 165º

Anwendung

Eine einfache Anwendung komplexer Zahlen besteht darin, alle Wurzeln einer Polynomgleichung wie die zu Beginn des Artikels gezeigt zu finden.

Im Fall von Gleichung x² - 10x + 34 = 0, beim Anwenden der Lösungsmittelformel wird sie erhalten:

Daher sind die Lösungen:

X₁ = 5 + 3i

X₂ = 5 - 3i

Verweise

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2. Figuera, j. 2000. Mathematik 1st. Diversifiziert. Co-Bo-Editionen.
3. Hoffmann, j. 2005. Auswahl der Mathematikfragen. Monfort Publikationen.
4. Jiménez, r. 2008. Algebra. Prentice Hall.
5. Wikipedia. Komplexe Zahlen. Abgerufen von: in.Wikipedia.Org