Ganzzahlzahlen

Was sind ganze Zahlen?

Ganze Zahlen bilden eine Reihe nützlicher Zahlen, um die vollständigen Objekte zu zählen, die hatten, und diejenigen, die nicht sind. Auch um diejenigen auf der einen und anderen Seite eines bestimmten Referenzortes zu zählen.

Auch mit den gesamten Zahlen kann die Subtraktion oder Differenz zwischen einer Zahl und einer anderen, die größer als er ist, durchgeführt werden und beispielsweise als Schuld besiedelt wird. Die Unterscheidung zwischen Gewinnen und Schulden wird mit Zeichen + bzw. - erstellt.

Abbildung 1. Die numerische Linie für ganze Zahlen. Quelle: Wikimedia Commons. Leomg/CC BY-SA (https: // creativecommons.Org/lizenzen/by-sa/3.0).

Deshalb enthält die gesamten Zahlen Folgendes:

-Positive Ganzzahlen, die geschrieben sind, die von einem +Zeichen oder einfach ohne Zeichen vorgesehen sind, da auch verstanden wird, dass sie positiv sind. Zum Beispiel: +1, +2, +3 ... und so weiter.

-Die 0, in der das Zeichen irrelevant ist, weil es es nicht hinzufügt, es von einer gewissen Menge zu subtrahieren. Aber die 0 ist sehr wichtig, da es die Referenz für die Ganzzahlen ist: Auf der einen Seite befinden sich die positiven und die Negative, wie wir in der oberen Figur sehen.

-Negative Ganzzahlen, die immer aus dem Zeichen geschrieben werden müssen -da mit ihnen die Beträge wie Schulden und alle, die sich auf der anderen Seite der Referenz befinden, unterschieden werden. Beispiele für negative Ganzzahlen sind: -1, -2, -3 ... und von da an.

Wie sind ganze Zahlen?

Am Anfang repräsentieren wir die gesamten Zahlen mit der Einstellung des Satzes: z = … -4, -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3, +4…, das ist. aufgeführt und organisiert. Aber eine sehr nützliche Darstellung ist das, was die numerische Linie verwendet. Dazu ist es notwendig, eine Linie zu zeichnen, die normalerweise horizontal ist und auf der 0 markiert und in identische Abschnitte unterteilt ist:

Figur 2. Darstellung ganzer Zahlen auf der numerischen Linie. Von 0 nach rechts sind die positiven Ganzzahlen und von 0 nach links die Negative. Quelle: f. Zapata.

Die Negative gehen links von 0 und die positiven gehen nach rechts. Die Pfeile auf der Zahlenlinie symbolisieren, dass die Zahlen weiterhin unendlich sein. Bei einer ganzen Zahl ist es immer möglich, einen zu finden, der größer oder anders als niedriger ist.

Der absolute Wert einer Ganzzahl

Der absolute Wert einer Ganzzahl ist der Abstand zwischen der Zahl und 0. Und Entfernungen sind immer positiv. Daher ist der absolute Wert der negativen Ganzzahl die Zahl ohne Anzeichen weniger.

Zum Beispiel beträgt der absolute Wert von -5 5. Der absolute Wert wird wie folgt mit Balken bezeichnet:

| -5 | = 5

Um es zu visualisieren, reicht es aus, die Räume auf der numerischen Linie von -5 bis 0 zu haben. Während der absolute Wert einer positiven Ganzzahl die gleiche Zahl ist, zum Beispiel | +3 | = 3, da seine Entfernung zu 0 3 Leerzeichen beträgt:

Kann Ihnen dienen: Sandwichgesetz: Erklärung und ÜbungenFigur 3. Der absolute Wert einer Ganzzahl ist immer eine positive Menge. Quelle: f. Zapata.

Eigenschaften

-Die Menge der ganzen Zahlen wird als z bezeichnet und enthält die Menge der natürlichen Zahlen n, wobei ihre Elemente unendlich sind.

-Eine Ganzzahlzahl und die folgende, die folgt (oder die, die ihr vorausgeht) immer in der Einheit unterscheidet. Zum Beispiel nach 5 auf 6, was 1 der Unterschied zwischen ihnen ist.

-Jede ganze Zahl hat einen Vorgänger und einen Nachfolger.

-Jede positive Ganzzahl ist größer als 0.

-Eine negative Ganzzahl ist immer weniger als 0 und diese positive Zahl. Nehmen wir zum Beispiel die Nummer -100, dies ist weniger als 2, als 10 und 50. Aber es ist auch weniger als -10, -20 und -99 und es ist größer als -200.

-0 hat keine Vorzeichenüberlegungen, da es nicht negativ oder positiv ist.

-Mit den gesamten Zahlen können die gleichen Operationen durchgeführt werden, die mit den natürlichen Zahlen durchgeführt werden, nämlich: Summe, Subtraktion, Multiplikation, Potenzierung und mehr.

-Das gesamte Gegenteil zu einer bestimmten Ganzzahl X ist -x und die Summe einer Ganzzahl mit seinem Gegenteil ist 0:

x + (-x) = 0.

Operationen mit ganzen Zahlen

- Zusatz

-Wenn die zu hinzugefügten Zahlen dasselbe Vorzeichen haben, werden ihre absoluten Werte hinzugefügt und das Ergebnis wird platziert, das Zeichen, dass die Addends haben. Hier sind einige Beispiele:

a) (+8) +( +9) = 8 +9 = +17

b) (-12) + ( - 10) = - (12 + 10) = -22

-Für den Fall, dass die Zahlen unterschiedlicher Vorzeichen haben, werden die absoluten Werte (das Hauptfach des Molls) subtrahiert und das Ergebnis wird wie folgt das Vorzeichen der Zahl mit dem höchsten Absolutwert platziert:

a) (-8) + (21) = 21 - 8 = 13

b) (-9) + (+4) = -(9-4) = -5

Eigenschaften der Summe der ganzen Zahlen

-Die Summe ist kommutativ, daher ändert die Reihenfolge der Addends die Summe nicht. Sei a und b zwei ganze Zahlen, es wird erfüllt, dass a+b = b+a

-0 ist das neutrale Element der Summe der ganzen Zahlen: a + 0 = a

-Jede gesamte Zahl, die mit ihrem Gegenteil hinzugefügt wird, beträgt 0. Das Gegenteil von + a ist -a und umgekehrt das Gegenteil von -a es + a. Daher: (+ a)+ (-a) = 0.

Figur 4. Vorzeichenregel für die Summe der ganzen Zahlen. Quelle: Wikimedia Commons.

- Subtraktion

Um ganze Zahlen zu subtrahieren, müssen Sie von dieser Regel geleitet werden: Die Subtraktion entspricht der Summe einer Zahl mit ihrem Gegenteil. Lassen Sie zwei Zahlen A und B dann:

A - b = a + (-b)

Angenommen, Sie müssen die folgende Operation durchführen: (-3) - (+7), dann:

(-3) -(+7) = (-3)+( -7) = -(3+7) = -10

- Multiplikation

Die Multiplikation ganzer Zahlen folgt bestimmten Regeln für die Zeichen:

-Das Produkt von zwei Zahlen mit Das gleiche Zeichen Es ist immer positiv.

-Wenn sich zwei Zahlen vermehren verschiedene Zeichen, Das Ergebnis ist immer negativ.

Kann Ihnen dienen: Was sind die Teile des Bruchs?? (Beispiele)

-Der Wert des Produkts entspricht der Multiplizierung der jeweiligen Absolutwerte.

Sofort einige Beispiele, die die oben genannten klären:

(-5) x (+8) = -5 x 8 = -40

(-10) x (-12) = 10 x 12 = 120

(+4) x (+32) = 4 x 32 = 128

Eigenschaften der Multiplikation ganzer Zahlen

-Die Multiplikation ist kommutativ. Seien Sie zwei ganze Zahlen A und B, es ist wahr, dass: a.B = b.a, was auch ausgedrückt werden kann als:

Die Reihenfolge der Faktoren verändert das Produkt nicht.

-Das neutrale Multiplikationselement ist 1. Zu einer Ganzzahl sein, daher zu.1 = 1

-Jeder Ganzzahl multipliziert mit 0 entspricht 0: a.0 = 0

Verteilungseigenschaft

Die Multiplikation erfüllt das Verteilungseigentum in Bezug auf die Summe. Ja A, B und C sind dann ganze Zahlen:

Zu.(b +c) = a.B + a.C

Dann ein Beispiel für die Anwendung dieser Eigenschaft:

(-3). [(-4) + 11] = (-3).(-4)+(-3).11 = 12 -33 = 12 + (-33) = -21

Potenzierung

-Wenn die Basis positiv ist, ist das Ergebnis der Operation immer positiv.

-Wenn die Basis negativ ist, ist das Ergebnis positiv, wenn der Exponent gleich ist. Und wenn der Exponent seltsam ist, ist das Ergebnis negativ.

- Aufteilung

In der Abteilung gelten die gleichen Vorschriftenregeln wie in der Multiplikation:

-Durch die Aufteilung von zwei Ganzzahlen desselben Zeichens ist das Ergebnis immer positiv.

-Wenn zwei Ganzzahlen verschiedener Zeichen geteilt sind, ist der Quotient negativ.

Zum Beispiel:

(-12) ÷ (-4) = 3

33 ÷ (-3) = -11

Wichtig: Die Teilung ist nicht kommutativ, mit anderen Worten zu ÷ b ≠ b ÷ a und wie immer ist die Trennung zwischen 0 nicht zulässig.

- Potenzierung

Seien Sie eine ganze Zahl und wir möchten sie auf einen Exponenten n anheben, dann müssen wir uns selbst multiplizieren, wie unten gezeigt:

Zu^N = a.Zu.Zu.Zu.… Zu

Berücksichtigen wir auch Folgendes unter Berücksichtigung, dass N eine natürliche Zahl ist:

-Wenn a negativ ist und N gleich ist, ist das Ergebnis positiv.

-Wenn a negativ und n ungerade ist, führt dies zu einer negativen Zahl.

-Wenn a positiv ist und N gerade oder seltsam ist, ist es immer eine positive Ganzzahl.

-Jede Ganzzahl, die auf 0 erhöht ist, entspricht 1: a⁰ = 1

-Jede Zahl hoch bis 1 ist gleich der Zahl: a¹ = a

Lassen Sie uns zum Beispiel feststellen, dass Sie finden möchten (-3)⁴ , Damit es sich viermal multiplizieren (-3) für sich selbst, wie folgt: (-3).(-3).(-3).(-3) = 81.

Ein weiteres Beispiel, auch mit einer negativen Ganzzahl, ist:

(-2)³ = (-2).(-2).(-2) = -8

Produkt gleicher Basismächte

Nehmen wir zwei Mächte der gleichen Basis an, wenn wir sie multiplizieren, erhalten wir eine weitere Macht mit derselben Basis, deren Exponent die Summe der gegebenen Exponenten ist:

Zu^N ·Zu^M = a^{n + m}

Gleiches Basispulververhältnis

Durch die Aufteilung der Kräfte derselben Basis ist das Ergebnis eine Macht mit derselben Basis, deren Exponent die Subtraktion der gegebenen Exponenten ist:

Kann Ihnen dienen: Winkel im Umfang: Typen, Eigenschaften, gelöste Übungen

Zu^N ÷ a^M = a^{n - m}

Dann zwei Beispiele, die diese Punkte klären:

(-2)³.(-2)⁵ = (-2) ³⁺⁵= (-2)⁸

5⁶ ÷ 5⁴ = 5^6-4 = 5²

Beispiele

Schauen wir uns einfache Beispiele an, um diese Regeln anzuwenden, und denken Sie daran, dass das Zeichen im Fall von positiven Ganzzahlen mit:

a) (+6) + (+14) = 6 + 14 = 20

b) (-8) + ( - 10) = - (8 + 10) = -18

c) (-16) + (+7) = -16 + 7 = -9

d) (+4) + (-8) + (-25) = [(+4) + (-8)] + (-25) = [4-8] -25 = -4 -25 = -29

e) (-8) -( + 15) = (-8) + (-15) = -8 -15 = -23

f) (+3) x (+9) = 3 x 9 = 27

g) (- 4) x (-11) = 4 x 11 = 44

h) (+5) x (-12) = -5 x 12 = -60

i) (-2)³ = (-2) x (-2) x (-2) = -8

Gelöste Übungen

- Übung 1

Eine Ameise bewegt sich auf die Zahlenlinie von Abbildung 1. Ausgehend von Punkt x = +3 führt die folgenden Verschiebungen durch:

-7 Einheiten bewegen sich nach rechts

-Jetzt werden 5 Einheiten nach links zurückgegeben

-Gehen Sie 3 Einheiten nach links.

-Es kehrt zurück und bewegt 4 Einheiten nach rechts.

Zu welchem ​​Zeitpunkt ist die Ameise am Ende der Route?

Lösung

Nennen wir die Verschiebungen. Wenn sie rechts sind, erhalten sie ein positives Zeichen und wenn sie auf dem linken negativen Zeichen sind. Auf diese Weise und ab x = +3 haben Sie:

-Erstes D: x₁ = +3 +7 = +10

-Zweite d: x₂ = +10 +(-5) = +5

-Dritte d: x₃ = +5 +(-3) = +2

-Viertes d: x₄ = +2 +4 = +6

Wenn die Ameise beendet, befindet sich ihr Gehen in der Position x = +6. Das heißt, es sind 6 Einheiten rechts von 0 auf der numerischen Linie.

- Übung 2

Lösen Sie den folgenden Vorgang:

36 + [- (-4 + (-5)- 7)].-[-6+5- (2+7-9)]+2 (-8+6)]

Lösung

Diese Operation enthält Anzeichen einer Gruppierung, die Klammern, Quadratklammern und Schlüssel sind. Beim Lösen müssen Sie sich zuerst nach den Quadratklammern und schließlich um die Klammern kümmern. Mit anderen Worten, Sie müssen von innen nach außen arbeiten.

In dieser Übung stellt der Punkt eine Multiplikation dar, aber falls zwischen einer Zahl und einer Klammung oder einem anderen Symbol, ist es keinen Sinn, genauso zu verstehen, dass es sich um ein Produkt handelt.

Als nächstes dienen die Farben als Leitfaden, um dem Ergebnis der Reduzierung von Klammern zu folgen, die die internen Gruppensymbole sind:

36 + [- (-4 + (-5)- 7)].-[-6+5- (2+7-9)]+2 (-8+6)] =

= 36 + [- (-16)].-[-6+ 5- (0)]+ 2 (-2)] =

= 36 + [16].-[-1] -4] =

= 52.1- 4] = 52.-3 = -156

- Übung 3

Lösen Sie die Gleichung ersten Grades:

12 + x = 30 + 3x

Lösung

Die Begriffe sind mit dem Unbekannten links von der Gleichheit und den numerischen Begriffen rechts gruppiert:

x - 3x = 30 - 12

- 2x = 18

X = 18 / (-2)

x = - 9