Imaginäre Zahlen Eigenschaften, Anwendungen, Beispiele

Der Imaginäre Zahlen Sie sind diejenigen, die die Gleichung, in der das Unbekannte, quadratische, entspricht, einer echten negativen Zahl entsprechen. Die imaginäre Einheit ist I = √ (-1).

In der Gleichung: z²= - a, z Es ist eine imaginäre Zahl, die wie folgt ausgedrückt wird:

 Z = √ (-a) = i√ (a)

Sein Zu Eine positive reelle Zahl. Ja A = 1, So z = i, Wo Yo ist die imaginäre Einheit.

Abbildung 1. Komplexe Ebene, die einige reelle Zahlen, einige imaginäre Zahlen und einige komplexe Zahlen zeigt. Quelle: f. Zapata.

Im Allgemeinen wird eine imaginäre Zahl Z immer in Form ausgedrückt: 

z = yoge

Wo Und Es ist eine echte Zahl und Yo ist die imaginäre Einheit.

Sowie reelle Zahlen werden in einer Zeile dargestellt, genannt die Echt geradlinig, Analog die imaginären Zahlen sind auf dem dargestellt Imaginärer.

Der Imaginärer Es ist immer orthogonal (90º -Form) zum Echt geradlinig und die beiden Zeilen definieren eine kartesische Ebene namens die Komplexe Ebene.

Abbildung 1 zeigt die komplexe Ebene und einige reelle Zahlen, einige imaginäre Zahlen und einige komplexe Zahlen werden darauf dargestellt:

X₁, X₂, X₃ Sie sind echte Zahlen

UND₁, UND₂, UND₃ Sie sind imaginäre Zahlen

Z₂ und z₃ Sie sind komplexe Zahlen

Die Zahl oder ist die reale Null und ist auch die imaginäre Null, so dass der Ursprung oder der Nullkomplex ist, der ausgedrückt wird:

0 + 0i 

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Eigenschaften

Die Menge der imaginären Zahlen wird bezeichnet mit:

I = …, -3i,…, -2i,… .,-Yo, .. .,0i, .. .,Yo, .. .,2i, .. .,3i,…

Und einige Operationen zu diesem numerischen Satz können definiert werden. Eine imaginäre Zahl wird nicht immer aus diesen Operationen erhalten, daher werden wir sie mit etwas mehr Details sehen:

Summe und Subtraktion von Imaginären

Imaginäre Zahlen können einander hinzufügen und subtrahieren und infolgedessen eine neue imaginäre Zahl geben. Zum Beispiel:

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 3i + 2i = 5i

4i - 7i = -3i

Imaginäres Produkt

Wenn das Produkt einer imaginären Zahl mit einer anderen gemacht wird, ist das Ergebnis eine reelle Zahl. Lassen Sie uns die folgende Operation durchführen, um zu überprüfen:

2i x 3i = 6 x i² = 6 x (√ (-1))² = 6 x (-1) = -6.

Und wie wir sehen, ist der -6 eine reelle Zahl, obwohl sie durch Multiplizieren von zwei reinen imaginären Zahlen erhalten wurde.

Produkt einer realen Zahl für eine andere imaginäre

Wenn eine reelle Zahl mit I multipliziert wird, ist das Ergebnis eine imaginäre Zahl, die einer 90 -Grad -Rotation entspricht.

Und ist das ich² entspricht zwei aufeinanderfolgenden Rotationen von 90 Grad, was dem Multiplizieren mit -1 entspricht, dh i² = -1. Es ist im folgenden Diagramm zu sehen:

Figur 2. Die Multiplikation durch die imaginäre Einheit und entspricht 90 ° Rotationen. Quelle: Wikimedia Commons.

Zum Beispiel:

-3 x 5i = -15i

-3 x i = -3i.

Potenzierung eines Imaginären

Die Potenzierung einer imaginären Zahl zu einem gesamten Exponenten kann definiert werden:

Yo¹ = i

Yo² = i x i = √ (-1) x √ (-1) = -1

Yo³ = i x i i² = -I

Yo⁴ = i² x i² = -1 x -1 = 1

Yo⁵ = i x i i⁴ = i

Im Allgemeinen musst du Yo^N = i^(n mod 4), Wo Mod Es ist der Rückstand der Trennung zwischen N Und 4.

Die Potenzierung von negativen Ganzzahlen kann ebenfalls hergestellt werden:

Yo^-1 = 1 / i¹ = i / (i x i¹) = I / (i²) = I / (-1) = -i

Yo-² = 1 / i² = 1/ (-1) = -1

Yo-³= 1 / i³ = 1 / (-i) = (-1) / i = -1 x i^-1 = (-1) x (-i) = i

Im Allgemeinen beträgt die imaginäre Zahl, die zu Power N an Power N angehoben ist,:

(Boge) i^N = b^N Yo^N = b^N i^(n mod 4)

Einige Beispiele sind die folgenden:

(5 i)¹² = 5¹² Yo¹² = 5¹² Yo⁰ = 5¹² x 1 = 244140625

(5 i)^elf = 5^elf Yo^elf = 5^elf Yo³ = 5^elf x (-i) = -48828125 i

(-2 i)¹⁰ = -2¹⁰ Yo¹⁰ = 2¹⁰ Yo² = 1024 x (-1) = -1024

Summe einer realen Zahl und einer imaginären Summe

Wenn eine reelle Zahl mit einem imaginären hinzugefügt wird, ist das Ergebnis weder real noch imaginär. Es handelt sich um eine neue Art von Zahl, die genannt wird Komplexe Zahl.

Wenn beispielsweise x = 3,5 und y = 3,75i, ist das Ergebnis die komplexe Zahl:

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Z = x + y = 3,5 + 3,75 i

Beachten Sie, dass die realen und imaginären Teile nicht in der Summe gruppiert werden können, sodass eine komplexe Zahl immer einen realen Teil und einen anderen imaginären Teil hat.

Diese Operation erweitert die Realzahlen auf die breiteste komplexe Zahlen.

Anwendungen

Der Name der imaginären Zahlen wurde vom französischen Mathematiker René Descartes (1596-1650) als Spott oder Meinungsverschiedenheit mit dem Vorschlag des italienischen Mathematikers des Raffaellle Century Bombelli vorgeschlagen.

Andere große Mathematiker wie Euler und Leibniz haben Descartes in dieser Meinungsverschiedenheit abgesungen und imaginäre Zahlen als als bezeichnet Amphibienzahlen, das wurde zwischen Sein und Nichts diskutiert.

Der Name der imaginären Zahlen wird heute beibehalten, aber seine Existenz und Bedeutung sind sehr real und spürbar, da sie in vielen Bereichen der Physik auf natürliche Weise erscheinen, wie z. B.:

-Die Relativitätstheorie.

-Im Elektromagnetismus.

-Quantenmechanik.

Übung mit imaginären Zahlen

- Übung 1

Finden Sie die Lösungen der folgenden Gleichung:

z² + 16 = 0

Lösung

z² = -16

Nehmen Sie die Quadratwurzel in beiden Mitgliedern, die Sie haben:

√ (z² ) = √ (-16)

± z = √ (-1 x 16) = √ (-1) √ (16) = i x 4 = 4i

Mit anderen Worten, die Lösungen der ursprünglichen Gleichung sind:

z = +4i oder z = -4i.

- Übung 2

Finden Sie das Ergebnis der Erhöhung der imaginären Einheit, um 5 abzüglich Subtraktion die imaginäre Einheit auf Strom zu -5 erhöht.

Lösung

Yo⁵ - Yo-⁵ = i⁵ - 1/i⁵ = i - 1/i = i - (i)/(i x i) = i - i/( - 1) = i + i = 2i

- Übung 3

Finden Sie das Ergebnis der folgenden Operation:

(3i)³ + 9i 

Lösung

3³ Yo³ - 9 = 9 (-i) + 9i = -9i + 9i = 0i

- Übung 4

Finden Sie die Lösungen der folgenden quadratischen Gleichung:

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(-2x)² + 2 = 0

Lösung

Die Gleichung wird wie folgt neu angeordnet:

(-2x)² = -2

Dann nehmen Sie eine Quadratwurzel in beiden Mitgliedern

√ ((-2x)²) = √ (-2)

± (-2x) = √ (-1 x 2) = √ (-1) √ (2) = i √ (2) = √2 i

Dann wird x endlich erhalten:

x = ± √2 / 2 i

Das heißt, es gibt zwei mögliche Lösungen:

x = (√2 / 2) i

Oder dieser andere:

x = - (√2 / 2) i

- Übung 5

Finden Sie den Wert von Z definiert durch:

Z = √ (-9) √ (-4) + 7

Lösung

Wir wissen, dass die Quadratwurzel einer negativen reellen Zahl eine imaginäre Zahl ist, zum Beispiel √ (-9) gleich √ (9) x √ (-1) = 3i.

Andererseits ist √ (-4) gleich √ (4) x √ (-1) = 2i.

Damit die ursprüngliche Gleichung ersetzt werden kann durch:

3i x 2i - 7 = 6 i² - 7 = 6 (-1) -7 = -6 -7 = -13

- Übung 6

Ermitteln Sie den Wert von Z, der sich aus der folgenden Teilung von zwei komplexen Zahlen ergibt:

Z = (9 - i²) / (3 + i)

Lösung

Der Expressions -Zähler kann die folgende Eigenschaft mithilfe der folgenden Eigenschaft fördern:

Eine Differenz der Quadrate ist das Produkt der Summe durch die Differenz der Binomien, ohne das Quadrat zu erhöhen.

So:

Z = [(3 - i) (3 + i)] / (3 + i)

Der daraus resultierende Ausdruck wird dann durch verbleibende Verbreitung vereinfacht

Z = (3 - i)

Verweise

1. Earl, r. Komplexe Zahlen. Erholt aus: Mathematik.Ochse.AC.Vereinigtes Königreich.
2. Figuera, j. 2000. Mathematik 1st. Diversifiziert. Co-Bo-Editionen.
3. Hoffmann, j. 2005. Auswahl der Mathematikfragen. Monfort Publikationen.
4. Jiménez, r. 2008. Algebra. Prentice Hall.
5. Wikipedia. Imaginäre Zahl. Abgerufen von: in.Wikipedia.Org