Irrationale Zahlengeschichte, Eigenschaften, Klassifizierung, Beispiele

Der irrationale Zahlen Sie sind diejenigen, deren Dezimalausdruck unendliche Figuren ohne sich wiederholendes Muster hat. Daher können sie nicht erhalten werden.

Zu den bekanntesten irrationalen Zahlen gehören:

Abbildung 1. Von oben nach unten die folgenden irrationalen Zahlen: PI, die Anzahl der Euler, die Aúrea und zwei Quadratwurzeln. Quelle: Pixabay.

Unter ihnen ist ohne Zweifel π (pi) am bekanntesten, aber es gibt noch viel mehr. Alle von ihnen gehören zu den reellen Zahlen, der numerischen Set, die rationale und irrationale Zahlen zusammenbringt.

Die Suspendierpunkte in Abbildung 1 zeigen, dass die Dezimalstellen auf unbestimmte Zeit folgen. Der Raum der aktuellen Taschenrechner ermöglicht es nur, einige anzuzeigen, um einige anzuzeigen.

Wenn wir sorgfältig schauen, sofern wir den Quotienten zwischen zwei Ganzzahlen erstellen, wird eine Dezimalzahl mit begrenzten Zahlen erhalten oder wenn nicht, mit unendlichen Zahlen, in denen eine oder mehrere wiederholt werden. Nun, dies geschieht nicht bei irrationalen Zahlen.

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Geschichte irrationaler Zahlen

Der große Mathematiker der Antike Pythagoras, geboren 582 zu.C In Samos, Griechenland, gründete die pythagoräische Denkschule und entdeckte den berühmten Satz, der seinen Namen trägt. Wir haben es nach links (die Babylonier konnten ihn schon lange zuvor kennenlernen).

Figur 2. Pythagoras -Theorem, das auf ein Seitendreieck von 1 angewendet wird. Quelle: Pixabay/Wikimedia Commons.

Nun, als Pythagoras (oder wahrscheinlich ein Jünger von ihm) den Satz auf ein rechtes Dreieck von Seiten anwand, die 1 entspricht, fand die irrationale Zahl √2.

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Er hat es so gemacht:

C = √1² + 1² = √1+1 = √2

Und er erkannte sofort, dass diese neue Zahl nicht aus dem Quotienten zwischen zwei anderen natürlichen Zahlen kam, die zu dieser Zeit bekannt waren.

Deshalb rief er ihn an irrational, Und die Entdeckung verursachte große Angst und Verwirrung unter den Pythagoräern.

Eigenschaften irrationaler Zahlen

-Die Menge aller irrationalen Zahlen wird mit dem Buchstaben i und manchmal wie q* oder q gekennzeichnet^C. Die Vereinigung zwischen irrationalen Zahlen I oder Q* und rationalen Zahlen Q führt zu dem Satz realer N -Zahlen.

-Mit irrationalen Zahlen können bekannte arithmetische Operationen durchgeführt werden: Summe, Subtraktion, Multiplikation, Aufteilung, Potenzierung und mehr.

-Die Trennung zwischen 0 ist nicht unter irrationalen Zahlen definiert.

-Die Summe und das Produkt zwischen irrationalen Zahlen sind nicht unbedingt eine andere irrationale Zahl. Zum Beispiel:

√2 x √8 = √16 = 4

Und 4 ist keine irrationale Zahl.

-Die Summe einer rationalen Zahl plus einer irrationalen Person führt jedoch zu einem irrationalen. Hier entlang:

1 + √2 = 2.41421356237…

-Das Produkt einer anderen rationalen Zahl von 0 durch eine irrationale Zahl ist ebenfalls irrational. Schauen wir uns dieses Beispiel an:

2 x √2 = 2.828427125…

-Die Umkehrung eines irrationalen Unternehmens führt zu einer anderen irrationalen Zahl. Versuchen wir einige:

1 / √2 = 0.707106781…

1 / √3 = 0.577350269…

Diese Zahlen sind interessant, weil sie auch die Werte einiger trigonometrischer Gründe bekannter Winkel sind. Ein Großteil der trigonometrischen Gründe sind irrationale Zahlen, aber es gibt Ausnahmen wie sen 30º = 0.5 = ½, was rational ist.

-In der Summe werden die kommutativen und assoziativen Eigenschaften erfüllt. Wenn A und B zwei irrationale Zahlen sind, bedeutet dies:

Kann Ihnen dienen: Übersprichtfunktion: Definition, Eigenschaften, Beispiele

A + b = b + a.

Und wenn C eine weitere irrationale Zahl ist, dann:

(A + b) + c = a + (b + c).

-Die Verteilungseigenschaft der Multiplikation in Bezug auf die Summe ist eine weitere bekannte Eigenschaft, die auch für irrationale Zahlen erfüllt ist. In diesem Fall:

Zu.(b+c) = a.B + a.C.

-Ein irrationales zu sein Gegenteil: -a. Wenn das Ergebnis hinzugefügt wird, ist es 0:

A+(-a) = 0

-Zwischen zwei verschiedenen rationalen, gibt es mindestens eine irrationale Zahl.

Ort einer irrationalen Zahl auf der realen Linie

Die reale Linie ist eine horizontale Linie, an der sich die realen Zahlen befinden, von denen die Irrationalen ein wichtiger Teil sind.

Um eine irrationale Zahl in der realen Linie in geometrischer Form zu finden, können wir den Pythagoras -Theorem, eine Regel und einen Kompass wert sein.

Als Beispiel werden wir √5 auf der realen Linie finden, für das wir ein Rechteckdreieck von Seiten zeichnen x = 2 Und y = 1, Wie das Bild zeigt:

Figur 3. Methode zum Auffinden einer irrationalen Zahl in der realen Linie. Quelle: f. Zapata.

Für den Pythagoras -Theorem ist der Hypotenuse eines solchen Dreiecks:

C = √2² + 1² = √4+1 = √5

Jetzt ist der Beat mit der Spitze in 0 platziert, wo es auch einen der Eckpunkte des rechten Dreiecks gibt. Die Spitze des Kompassstifts muss am Scheitelpunkt zu sein.

Es wird ein Umfangsbogen gezeichnet, der die reale Linie schneidet. Da der Abstand zwischen dem Zentrum des Umfangs und jedem Punkt desselben der Radius ist, der √5 wert ist, ist der Schnittpunkt auch √5 aus dem Zentrum.

Der Grafik ist zu sehen, dass √5 zwischen 2 und 2 liegt.5. Ein Taschenrechner bietet uns den ungefähren Wert von:

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√5 = 2.236068

Und so können ein Dreieck mit den entsprechenden Seiten bauen, andere irrationale, wie √7 und andere.

Klassifizierung irrationaler Zahlen

Irrationale Zahlen werden in zwei Gruppen eingeteilt:

-Algebraisch

-Transzendent oder transzendent

Algebraische Zahlen

Algebraische Zahlen, die irrational oder nicht sein können, sind Lösungen von Polynomgleichungen, deren allgemeine Form lautet:

Zu_N X^N + Zu_N-1X^N-1 + Zu_N-2X^N-2 +.. . +Zu₁x + a_entweder = 0

Ein Beispiel für Polynomgleichung ist eine solche Gleichung zweiten Grades:

X³ - 2x = 0

Es ist leicht zu demonstrieren, dass die irrationale Zahl √2 eine der Lösungen dieser Gleichung ist.

Transzendente Zahlen

Stattdessen treten transzendente Zahlen, obwohl irrational, niemals als Lösung einer Polynomgleichung auf.

Die transzendenten Zahlen, die in der angewandten Mathematik am häufigsten vorkommen.

Übung

Auf einem schwarzen Quadrat wird ein Grau in der in der Figur angegebenen Position platziert. Es ist bekannt, dass die Oberfläche des schwarzen Quadrats 64 cm beträgt². Wie viel sind die Längen beider Quadrate?

Figur 4. Zwei Quadrate, von denen die Länge der Seiten gefunden werden soll. Quelle: f. Zapata.

Antworten

Die Oberfläche eines Quadrats von Seite L ist:

A = l²

Da ist das schwarze Quadrat 64 cm² In der Fläche muss seine Seite 8 cm betragen.

Diese Maßnahme ist dasselbe wie Die Diagonale vom grauen Quadrat. Anwenden des Pythagoras -Theorems auf diese Diagonale und erinnert, dass die Seiten eines quadratischen Messens gleich haben werden:

8² = L_G² + L_G²

Wo l_G Es ist die Seite des grauen Quadrats.

Deshalb: 2L_G² = 8²

Auf beiden Seiten der Gleichheit anwenden:

L_G = (8/√2) cm

Verweise

1. Carena, m. 2019. Mathematikhandbuch für Präuniversität. Nationale Universität der Küste.
2. Figuera, j. 2000. Mathematik 9. Grad. Co-Bo-Editionen.
3. Jiménez, r. 2008. Algebra. Prentice Hall.
4. Bildungsportal. Irrationale Zahlen und ihre Eigenschaften. Abgerufen von: portaledukativ.Netz.
5. Wikipedia. Irrationale Zahlen. Geborgen von: ist.Wikipedia.Org.