Konzept der negativen Zahlen, Beispiele, Operationen

Der negative Zahlen Sie sind die links von der numerischen Linie, der immer ein Zeichen vorangegangen ist -. Durch Negative ist es möglich, Größen darzustellen, die unter oder links von 0 liegen.

Diese Zahlen nehmen aktiv am Alltag teil: Zum Beispiel, wenn jemand eine Schuld von 5 US -Dollar hat, aber nur 3 USD zahlen kann, schuldet 2 US -Dollar. Die Schuld wird mit einem negativen Zeichen bezeichnet, um sie von der bezahlten Summe zu unterscheiden.

Abbildung 1. Schema der negativen und positiven Zahlen

Niedrige Position des Meeresspiegels, Temperaturen unter dem Gefrierpunkt des Wassers und der niedrigeren Böden können durch negative Zahlen bezeichnet werden.

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Was sind negative Zahlen für?

Die Existenz der Negative erweitert die möglichen numerischen Operationen. Lassen Sie uns das Beispiel der Subtraktion von zwei Zahlen geben. Wenn diese Zahlen zu den Eingeborenen gehören 1, 2, 3, 4, 5 ... ist die Subtraktion nur dann sinn.

Das Ergebnis von Operation 10 - 7 = 3 ist vernünftig, da wir im Prinzip nicht mehr einen Betrag abnehmen können, als es darstellt.

Mit den Negativen würde diese andere Situation jedoch gut beschrieben: Wir möchten etwas kaufen, das 20 US -Dollar wert ist, aber wir haben nur 15 US. Die Schulden sind, wie wir gesagt haben, mit einem negativen Vorzeichen und damit 15 - 20 = -5 markiert, was als "weniger 5" gelesen wird.

Die Menge negativer ganzer Zahlen, die mit der der Eingeborenen verbunden sind, und 0 bilden die breiteste Menge der ganzen Zahlen Z.

Negative können aber auch fraktional oder dezimal sein und zu einem noch breiteren Satz gehören: die der realen R -Zahlen, einschließlich rational und irrational.

Bei allen werden bekannte arithmetische Operationen durchgeführt, die sich um den Betrieb nach einfachen Zeichenregeln kümmern, die nachstehend erläutert werden.

Operationen mit negativen Zahlen

Bevor Sie Operationen mit negativen Zahlen ausführen.

Kann Ihnen dienen: Unterschied zwischen einer gemeinsamen Bruch und einer Dezimalzahl

Betrachten Sie die in der Abbildung gezeigte Zahlenlinie, wobei die Negative links von 0 und die positiven rechts sind.

Figur 2. Die numerische Linie mit den Negativen rot. Quelle: Wikimedia Commons.

Die Pfeile der numerischen Linie in beiden Richtungen zeigen, dass es unendliche Zahlen gibt. Beachten Sie auch, dass der numerische Satz von Ganzzahlen ein geordneter Satz ist und jede negative Zahl unter 0 liegt und dass alle positiv.

Somit ist -4 weniger als 1 und -540 ist beispielsweise weniger als 84.

Absoluter Wert

Der Abstand zwischen einer beliebigen Zahl und 0 heißt Absolutwert. Diese Entfernung ist immer positiv und bezeichnet auf diese Weise durch vertikale Balken:

│-5│ = 5

│+√6│ = √6

│-3/4│ = 3/4

│-10.2│ = 10.2

Das heißt, der absolute Wert einer beliebigen Zahl, ob positiv oder negativ die positive Anzahl der Zahl. Dieses Konzept dient uns später, wenn wir mit negativen Zahlen arbeiten.

Zeichen

Ein weiteres sehr wichtiges Detail ist die Unterscheidung zwischen dem Zeichen der Anzahl und dem Vorzeichen der Operation.

Wenn eine Zahl positiv ist, wird die Anzahl der Zahl normalerweise weggelassen und es wird davon ausgegangen, dass sie ohnehin positiv ist, aber mit den Negativen, die nicht möglich sind, ist es notwendig, Klammern zu verwenden, sehen wir uns:

-Richtig: 17 - (-6) oder auch +17 - (-6)

-Falsch: 17 - -6

-Falsch: -5 + +7

-Richtig: - 5 + (+7) oder auch -5 + 7

Sobald die Konzepte des Absolutwerts, der Ordnung und der Bedeutung des negativen Vorzeichens klar sind, können wir zu Elementaroperationen übergehen.

Zusatz

Wir unterscheiden die folgenden Fälle, beginnend mit der Summe von zwei positiven, deren Verfahren bereits sehr vertraut ist:

-Fügen Sie zwei positive Zahlen hinzu: ( + a) + ( + b) = a + b

Was bedeutet, dass wir wie gewohnt hinzufügen, sehen wir:

(+8) + (+5) = 8 + 5 = 13

-Fügen Sie zwei negative Zahlen hinzu: (-a) + (-b) =-(a + b)

In diesem Fall fügen wir die absoluten Werte der Zahlen hinzu, und dem Ergebnis wird ein negatives Vorzeichen wie folgt vorgestellt:

Kann Ihnen dienen: Arten von Integralen

(-7) + (-11) = - (7+ 11) = - 18

-Fügen Sie ein negatives und positives hinzu: ( + a) + (-b)

Für diesen Vorgang werden die Absolutwerte subtrahiert und das Ergebnis trägt das Zeichen der Zahl mit dem höchsten Absolutwert. Lassen Sie uns einige Fälle machen:

a) (-16) + (+3)

Die jeweiligen Absolutwerte betragen 16 und 3, die Zahl mit dem höchsten Absolutwert ist 16, dessen Vorzeichen negativ ist, dann:

(-16) + (+3) = - (16 - 3) = -13

B) (+8) + (-3) = + (8-3) = +5 = 5

Die Summe der Negative ist ebenfalls kommutativ, was bedeutet, dass die Ordnung in den Anzeigen für das Ergebnis nicht wichtig ist.

Die vorherigen Regeln gelten, wenn Sie mehr als zwei Zahlen hinzufügen möchten, was mit der assoziativen Eigenschaft erfolgen kann: a + b + c = (a + b) + c = a + (b + c).

Bevor wir in diesem Fall ein Beispiel sehen, sehen wir zuerst die Subtraktion von zwei ganzen Zahlen an.

Subtraktion

Die Subtraktion ist definiert als die Summe des Gegenteils. Das Gegenteil von einer Zahl A ist -a, wie folgt:

-4 ist das Gegenteil von + 4

½ ist das Gegenteil von -½

Wenn sie uns bitten, die Subtraktion zweier Zahlen unabhängig vom Zeichen durchzuführen, fügen wir einfach das Gegenteil der zweiten hinzu:

a) (-53) -(+8) = (-53)+( -8) = -(53+8) = -61

b) (+7) - (-12) = (+7)+(+12) = 7+12 = 19

c) (+2) - (+π) = (+2)+( - π) = 2 - π

Beispiel

Führen Sie die folgende Operation (+4) + (-7) + (+19) durch (+4) + (-7) (+19)

Wir schreiben es mit Hilfe von quadratischen Klammern wie diese um, um den Vorgang zuerst anzuzeigen:

(+4) + (-7) + (+19) = [(+4) + (-7)] + (+19) = [-(4 -7)] + 19 = [-(-3)] + 19 = 19 - (-3) = 19 + (+3) = 22

Multiplikation

Die Vorzeichenregel zur Multiplikation ist in der folgenden Abbildung zusammengefasst:

Figur 3. Zeichenregel zur Multiplikation. Quelle: f. Zapata.

Multiplikationseigenschaften

-Amtivität: Die Reihenfolge der Faktoren verändert das Produkt nicht, daher ≠ = b.Wobei A und B negative, ganze oder Bruchzahlen sind.

Kann Ihnen dienen: Irrationale Zahlen: Geschichte, Eigenschaften, Klassifizierung, Beispiele

-Assoziativität: Lassen Sie A, B und C ganze Zahlen erfüllt, dass (a.B). C = a. (B.C)

-Verbreitung in Bezug auf die Summe: Lass A, B und C ganze Zahlen, es ist gültig, dass das gilt. (b+c) = a.B +a.C

Beispiel

(-3/2) x [(-5) + (+4)-( + 2)] = (-3/2) x (-5) + (-3/2) x (+4) + (--- 3/2) x (-2) = (15 - 12 + 6)/2 = 9/2

Der Betrieb zwischen quadratischen Klammern hätte ebenfalls aufgelöst werden und das Ergebnis multipliziert mit (-3/2) wie folgt:

(-3/2) x [-5 + 4-2] = (-3/2) x (-3) = 9/2

Aufteilung

Die Vorzeichenregel für die Aufteilung ist in der folgenden Abbildung aufgedeckt:

Figur 4. Zeichen Regel für die Aufteilung. Quelle: f. Zapata.

Die Aufteilung ist nicht kommutativ und normalerweise bei ÷ b ≠ B ÷ A, nicht die Trennung zwischen 0 erlaubt. Schauen wir uns ein Beispiel an:

(-54) ÷ (+3) = -18

Um dieses Ergebnis zu erzielen, wird der Quotient einfach durchgeführt und das Zeichen entsprechend der in der Abbildung gezeigten Tabelle ausgewählt, die der dritten Option nach oben entspricht.

Potenzierung

Potenzierung ist der Betrieb der Form zu^N, Wo ist die Basis und N ist der Exponent. Die Basis und der Exponent können ein Zeichen haben.

-Wenn die Basis negativ oder positiv ist und der Exponent ganz ist, ist das Ergebnis der Operation immer positiv.

-Wenn die Basis positiv ist und der Exponent vollständig das Ergebnis ist, ist das Ergebnis positiv.

-Und wenn die Basis negativ ist und der Exponent seltsam ist, ist das Ergebnis negativ.

Fraktionelle Exponenten werden abwechselnd als Wurzel ausgedrückt, beispielsweise eine quadratische Wurzel, die dem fraktionalen Exponenten ½ entspricht.

Schauen wir uns einige Beispiele an:

a) (-3)³ = (-3) x (-3) x (-3) = -27

b) 16 ^-1/2 = 1 / √16 = ¼

c) (+8) ^1/3 = Kubikwurzel von 8 = 2

Verweise

1. Baldor, a. 1986. Arithmetik. Codex -Editionen und -verteilungen.
2. Figuera, j. 2000. Mathematik 7. Grad. Co-Bo-Editionen.
3. Jiménez, r. 2008. Algebra. Prentice Hall.
4. Mathematik macht Spaß. So addieren und subtrahieren Sie positive und negative Zahlen. Erholt von: Mathisfun.com
5. Wikipedia. Negative Zahlen. Geborgen von: ist.Wikipedia.Org.