Perfekte Zahlen, wie Sie sie identifizieren und Beispiele

A Die perfekte Zahl ist eine natürliche Zahl, so dass so Die Summe seiner Divisors ist die gleiche wie die Zahl. Offensichtlich kann es nicht unter den Divisors zur Zahl selbst einbezogen werden.

Eines der einfachsten Beispiele für die perfekte Zahl ist 6, da seine Divisors: 1, 2 und 3 sind. Wenn wir die Divisoren hinzufügen, wird sie erhalten: 1 + 2 + 3 = 6.

Abbildung 1. Die Zahl 6 ist perfekt, da die Summe seiner Divisoren, nicht die Zahl selbst, Nummer 6 enthält. Quelle: Selbst gemacht

Die Summe der Divisors einer Ganzzahl, ohne die Zahl selbst, heißt es Aliquot. Daher entspricht eine perfekte Zahl ihrem Aliquot.

Wenn jedoch in der Summe der Teiler einer Zahl die Zahl selbst enthalten ist, dann ist eine perfekte Zahl eine, die die Summe aller durch 2 geteilten Divisors gleich der Zahl selbst entspricht.

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Geschichte

Die Mathematiker der Antike, insbesondere die Griechen.

Zum Beispiel behauptete Philo de Alejandría um das 1. Jahrhundert, dass 6 und 28 perfekte Zahlen sei.

Die perfekten Zahlen sind auch in der Natur vorhanden, zum Beispiel im nördlichen Pol des Saturn erscheint auch die perfekte Nummer 6, ein von der Cassini -Sonde gefundener Sechseck -verabreichtes Vortex, das von Wissenschaftlern fasziniert ist. 

Die Bienen Waben haben Zellen in hexagonaler Form, das heißt mit 6 Seiten.  Es wird gezeigt, dass das Polygon mit der perfekten Zahl 6 diejenige ist, die es ermöglicht, die Anzahl der Zellen im Bienenstock der Bienen zu maximieren, mit dem minimalen Wachs für seine Ausarbeitung.

Figur 2. Die perfekte Nummer 6 ist in Bienenwaben vorhanden. Es wird gezeigt, dass mit dieser Anzahl von Seiten die Menge an Wachs zur Bildung der Zellen minimal ist. Quelle: Pixabay.

Perfekte Zahlen Eigenschaften

Die Summe aller Divisoren einer natürlichen Zahl n wird mit σ (n) bezeichnet. In einer perfekten Zahl ist es wahr, dass: σ (n) = 2n.

Euklidformel und Kriterien

Euclid entdeckte eine Formel und ein Kriterium, mit dem Sie die perfekten Zahlen finden können. Diese Formel lautet:

2^(N-1) (2^N -1)

Die von der Formel erzeugte Zahl ist jedoch nur dann perfekt, wenn der Faktor (2)^N -1) Cousin sein.

Kann Ihnen dienen: rechteckige Komponenten eines Vektors (mit Übungen)

Mal sehen, wie die ersten perfekten Zahlen generiert werden:

Wenn n = 2 dann haben wir 2¹ (2² - 1) = 2 x 3 = 6, dass wir bereits gesehen haben, dass es perfekt ist.

Wenn n = 3 Sie 2 haben² (2³ - 1) = 4 x 7 = 28, was auch perfekt ist, wie es in Beispiel 1 ausführlich verifiziert wird.

Mal sehen, was mit n = 4 passiert. Indem wir in der euklidischen Formel ersetzt, haben wir:

2³ (2⁴ - 1) = 8 x 15 = 120

Es kann überprüft werden, dass diese Zahl nicht perfekt ist, wie in Beispiel 3 ausführlich dargestellt. Dies widerspricht nicht den euklidischen Kriterien, da 15 kein Cousin ist, eine notwendige Anforderung, dass das Ergebnis eine perfekte Zahl ist.

Mal sehen, was passiert, wenn n = 5. Anwenden der Formel, die wir haben:

2⁴ (2⁵ - 1) = 16 x 31 = 496

Als 31 ist eine Primzahl, daher muss die Nummer 496 nach Euklidkriterien perfekt sein. In Beispiel 4 wird ausführlich gezeigt, dass es effektiv ist.

Die Primzahlen, die das Formular 2 haben^P - 1 Sie werden Cousins ​​von Mersenne zu Ehren des Mönchs Marin Mersenne genannt, der die Primzahlen und die perfekten Zahlen im 17. Jahrhundert studierte.

Anschließend zeigte Leonhard Euler im achtzehnten Jahrhundert, dass alle durch die Euklidformel generierten perfekten Zahl Paare sind.

Bisher wurde ein perfekter gefunden, der seltsam ist.

Die größte perfekte Zahl bekannt

Bis zum aktuellen Datum sind 51 perfekte Zahlen bekannt, die alle durch die Formel- und Euklidkriterien generiert werden. Diese Zahl wurde erhalten, sobald Mersennes Cousin gefunden wurde, nämlich: (2)^82589933 - 1).

Die perfekte Nummer Nr. 51 ist (2^82589933) X (2^82589933 - 1) und hat 49724095 Digitos.

Eine perfekte Nummer ist ein Freund von sich selbst

In der Zahlentheorie wird gesagt, dass zwei Zahlen Freunde sind, wenn die Summe der Divisoren eines einen, ohne die Zahl selbst, gleich der anderen Zahl ist und umgekehrt.

Es kann Ihnen dienen: Linien- und Semi -River -Segment

Der Leser kann überprüfen. Andererseits beträgt die Summe der 284 -Divisoren, nicht 284, 220. Daher sind die Zahlen Paar 220 und 284 Freunde.

Aus dieser Sicht ist eine perfekte Nummer ein Freund von sich selbst.

Beispiele für perfekte Zahlen

Als nächstes sind die ersten acht perfekten Zahlen aufgeführt:

6

28

496

8128

33550336

8589869056

137438691328

2305843008139952128

Übungen

In den folgenden Übungen müssen die Teilnehmer einer Zahl berechnet werden, und dann die Summe von ihnen zu erstellen und zu überprüfen, ob die Zahl eine perfekte Zahl ist oder nicht.

Bevor wir uns mit den Übungen befassen, werden wir das Konzept überprüfen und zeigen, wie sie berechnet werden.

Zunächst müssen Sie sich daran erinnern, dass die Zahlen Cousins ​​sein können (wenn sie nur mit sich selbst und 1) oder Verbindungen unterteilt werden können (wenn sie sich als Produkt von Primzahlen zersetzen können).

Für eine Verbindung nummer N haben Sie:

N = a^N . B^M. C^P … R^k 

Wobei a, b, c ... r Primzahlen und N, M, P ... k sind Exponenten, die zu natürlichen Zahlen gehören, die ab 1 länger wert sein können.

In Bezug auf diese Exponenten gibt es eine Formel, um zu wissen. Sei C diese Menge dann: dann:

C = (n +1) (m +1) (p +1) ... (k +1)

Die Zersetzung von Nummer N als Produkt von Primzahlen und das Wissen darüber, wie viele Divisors, sowohl Cousins ​​als auch Nicht -Cousins, helfen, zu bestimmen, was diese Divisors sind.

Sobald jeder hat, außer der letzten, die in der Summe nicht benötigt wird, kann dies überprüft werden, ob es sich um eine perfekte Zahl handelt oder nicht.

- Übung 1

Stellen Sie sicher, dass die Nummer 28 perfekt ist.

Lösung

Die erste wird darin bestehen, die Zahl in ihren Hauptfaktoren zu zerlegen.

28 | 2
14 | 2
07 | 7
01 | 1

Seine Divisors sind: 1, 2, 4, 7, 14 und 28. Wenn wir auf 28 ausschließen, gibt die Summe der Divisors:

Kann Ihnen dienen: die Hälfte von 15

1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 3 + 4 + 7 + 14 = 7 + 7 + 14 = 14 + 14 = 28

Daher ist die 28 eine perfekte Zahl.

Zusätzlich beträgt die Summe aller seiner Divisors 28 + 28, so dass die Regel σ (28) = 2 x 28 ist.

- Übung 2

Entscheiden Sie, ob Nummer 38 perfekt ist oder nicht.

Lösung

Die Zahl wird in ihre Hauptfaktoren unterteilt:

39 | 3
13 | 13
01 | 1

Die Divisoren von 39 ohne die Zahl selbst sind: 1, 3 und 13. Summe 1 + 3 + 13 = 4 + 13 = 17 ist nicht gleich 39, daher ist 39 eine unvollkommene oder nicht -perfektion. 

- Übung 3

Finden Sie heraus, ob die Nummer 120 perfekt oder unvollkommen ist.

Lösung

Die Zahl wird in ihre Hauptfaktoren unterteilt:

120 | 2
060 | 2
 30 | 2
 15 | 3
  5 | 5
  1 | 1

Aus den Hauptfaktoren werden die Divisors gefunden:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 30, 40, 60 und 120

Wenn 120 perfekt waren, wenn alle seine Divisoren hinzugefügt werden, sollten 2 x 120 = 240 erhalten werden. 

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 8 + 10 + 12 + 15 + 20 + 24 + 30 + 40 + 60 + 120 = 360

Dieses Ergebnis unterscheidet sich deutlich von 240, daher wird der Schluss gezogen, dass Nummer 120 keine perfekte Zahl ist.

- Übung 4

Überprüfen Sie, ob Nummer 496, die durch die Euklidkriterien erhalten wurde.

Lösung

Die Zahl 496 wird in seine Hauptfaktoren unterteilt:

496 | 2
248 | 2
124 | 2
062 | 2
031 | 31
001 | 1

Dann sind ihre Divisors:

1, 2, 4, 8, 16, 31, 62, 124, 248, 496

Jetzt werden alle hinzugefügt, außer 496:

1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248 = 496

Bestätigen, dass es in der Tat eine perfekte Zahl ist.

Verweise

1. Baldor, a. 1986. Arithmetik. Codex -Editionen und -verteilungen.
2. Alles über Primzahlen. Freunde Zahlen. Erholt von: Krankenschwester.Org.
3. Wolfram Mathworld. Eulers Regel. Erholt von: Mathworld.Wolfram.com.
4. Wolfram Mathworld. Perfekte Zahl. Erholt von: Mathworld.Wolfram.com.
5. Wikipedia. Perfekte Zahlen. Abgerufen von: in.Wikipedia.Org.
6. Wikipedia. Freunde Zahlen. Geborgen von: ist.Wikipedia.Org.