Charakteristische Primzahlen, Beispiele, Übungen

Der Primzahlen, Auch absolute Cousins ​​genannt, sind jene natürlichen Zahlen, die nur untereinander teilbar sind und 1. In dieser Kategorie sind Zahlen wie: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 und viele weitere in dieser Kategorie kommen.

Andererseits ist eine zusammengesetzte Zahl von selbst durch 1 und mindestens eine weitere Zahl teilbar. Wir haben zum Beispiel auf 12, was durch 1, 2, 4, 6 und 12 teilbar ist. Nach Übereinkommen ist die 1 nicht in der Liste der Primzahlen oder in den Verbindungen enthalten.

Abbildung 1. Einige Primzahlen. Quelle: Wikimedia Commons.

Die Kenntnis der Primzahlen stammt aus der entfernten Zeit; Die alten Ägypter haben sie bereits behandelt und waren sicherlich lange zuvor bekannt.

Diese Zahlen sind sehr wichtig, da jede natürliche Zahl durch das Produkt von Primzahlen dargestellt werden kann, ist diese eindeutige Darstellung, außer in der Reihenfolge der Faktoren.

Diese Tatsache ist vollständig in einem Satz genannt, der genannt wird Der grundlegende Theorem der Arithmetik, Dies besagt, dass die Zahlen, die keine Cousins ​​sind.

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Eigenschaften der Primzahlen

Unter den Hauptmerkmalen der Primzahlen:

-Sie sind unendlich, da immer eine Primzahl gefunden werden kann.

-Wenn eine Primzahl P teilt sich nicht genau auf eine andere Zahl Zu, Es wird dann gesagt P Und Zu Sie sind Cousins ​​miteinander. In diesem Fall ist der einzige gemeinsame Divisor beides 1.

Es ist nicht notwendig zu Zu Sei absoluter Cousin. Zum Beispiel ist der 5 Cousin, und obwohl die 12 nicht sind, sind beide Zahlen Cousins ​​miteinander, da die beiden einen gemeinsamen Divisor zu 1 haben.

-Wenn eine Primzahl P Teilen Sie eine Kraft der Anzahl N, Es teilt auch a N. Betrachten Sie 100, was eine Leistung von 10 ist, insbesondere 10². Es kommt vor, dass die 2 sowohl 100 als auch 10 teilen.

-Alle Primzahlen sind ungerade bis auf 2, daher beträgt die letzte Ziffer 1, 3, 7 oder 9. Die 5 ist nicht enthalten, denn obwohl es seltsam und Cousin ist, ist es nie die letzte Figur einer anderen Primzahl. Tatsächlich sind alle Zahlen, die in 5 enden.

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-Ja P Es ist Cousin und Teil des Produkts von zwei Zahlen Zu.B, So P Teilen Sie einen von ihnen auf. Zum Beispiel teilt die Primzahl 3 das Produkt 9 x 11 = 99, da 3 ein Teil von 9 ist.

Wie man weiß, ob eine Zahl Cousin ist

Der Primalität Es ist der Name, der der Qualität des Cousins ​​gegeben wird. Nun, französische Mathematik Fermats kleiner Theorem, Das sagt so:

"Angesichts einer natürlichen Zahl einer Cousine P und jede natürliche Zahl Zu größer als 0, es wird erfüllt, dass Zu^P - Zu Es ist ein Vielfaches von P, so lange wie P Cousin sein ".

Wir können dies mit kleinen Zahlen bestätigen, zum Beispiel Annahme P = 4, dass wir bereits wissen, dass es nicht Cousin ist und a = 6:

6⁴ - 6 = 1296 - 6 = 1290

Die Zahl 1290 ist zwischen 4 nicht genau teilbar, daher ist 4 keine Primzahl.

Lassen Sie uns jetzt den Test mit P = 5 durchführen, der Cousin und A = 6 ist:

6⁵ - 6 = 7766 - 6 = 7760

7760 ist zwischen 5 teilbar, da eine beliebige Zahl, die bei 0 oder 5 endet. Tatsächlich 7760/5 = 1554. Da Fermats kleiner Theorem erfüllt ist, können wir sicherstellen, dass 5 eine Primzahl ist.

Der Test durch den Theorem ist effektiv und direkt mit kleinen Zahlen, bei denen die Operation leicht durchzuführen ist, aber was zu tun ist, wenn sie uns bitten, die Primalität einer großen Zahl herauszufinden?

In diesem Fall wird die Zahl nacheinander zwischen allen kleinen Primzahlen aufgeteilt, bis eine genaue Aufteilung oder dass der Quotient geringer ist als der Teiler.

Wenn eine Teilung genau ist, bedeutet dies, dass die Zahl zusammengesetzt ist und der Quotient geringer ist als der Divisor, dass die Zahl Cousin ist. Wir werden es im Jahr in die Praxis umsetzen 2 2.

Möglichkeiten, eine Primzahl zu finden

Es gibt unendliche Primzahlen und es gibt keine eindeutige Formel, um sie zu bestimmen. Beobachten Sie jedoch einige Primzahlen wie diese:

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3, 7, 31, 127 ..

Es wird beobachtet, dass sie in Form 2 sind^N - 1, mit n = 2, 3, 5, 7, 9 ... Wir versichern Ihnen:

2² - 1 = 4 - 1 = 3; 2³ - 1 = 8 - 1 = 7; 2⁵ - 1 = 32 - 1 = 31; 2⁷ - 1 = 128 - 1 = 127

Aber wir können das im Allgemeinen 2 nicht versichern^N - 1 Cousin sein, weil es einige Werte von gibt N für die es nicht funktioniert, zum Beispiel auf 4:

2⁴ - 1 = 16 - 1 = 15

Und Nummer 15 ist kein Cousin, da es in 5 endet. Eine der größten Primzahlen, die bekannt sind, die durch Computerberechnungen festgestellt wurden, ist in Form 2^N - 1 mit:

N = 57.885.161

Der Mersenne -Formel versichert uns, dass 2^P - 1 ist immer Cousin, so lange wie P Sei auch Cousin. Zum Beispiel ist der 31 Cousin, daher ist es sicher, dass 2³¹ - 1 Es ist auch:

2³¹ - 1 = 2.147.483.647

Die Formel ermöglicht es jedoch, nur einige Primzahlen zu ermitteln, nicht alle.

Eulers Formel

Das folgende Polynom ermöglicht es, Primzahlen zu finden, solange N zwischen 0 und 39 liegt:

P (n) = n² + N + 41

Später gibt es in dem Abschnitt mit gelösten Übungen ein Beispiel für die Verwendung.

Das Eratosten -Screening

Eratóstenes war ein Körperbau und mathematisch im alten Griechenland, das im dritten Jahrhundert lebte.C. Er hat eine grafische Methode entwickelt, um die Primzahlen zu finden, die wir mit kleinen Zahlen in die Praxis umsetzen können. Sie wird als Eratóstenes -Bildschirm bezeichnet (ein Bildschirm ist wie ein Sieb).

-Die Zahlen werden in einer Tabelle wie der in der Animation gezeigten Tabelle platziert.

-Dann sind die gleichmäßigen Zahlen beschriftet, außer dass die 2, von denen wir wissen, dass sie Cousin ist. Alle anderen sind mehrfach davon und daher keine Cousins.

-Die Vielfachen von 3, 5, 7 und 11 sind ebenfalls markiert, ausgenommen sie alle, weil wir wissen, dass sie Cousins ​​sind.

-Die Vielfachen von 4, 6, 8, 9 und 10 sind bereits markiert, da es sich um Verbindungen und damit ein Vielfaches der angegebenen Cousins ​​handelt.

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-Schließlich sind die verbleibenden Zahlen nicht markiert, Cousins.

Figur 2. Eratostenes Screening -Animation. Quelle: Wikimedia Commons.

Übungen

- Übung 1

Finden Sie mit dem Euler -Polynom für Primzahlen 3 Zahlen mehr als 100.

Lösung

Dies ist das Polynom, das Euler vorschlug, Primzahlen zu finden, die für n -Werte zwischen 0 und 39 betrieben werden.

P (n) = n² + N + 41

Durch Tanteo wählen wir einen Wert von n, zum Beispiel n = 8:

P (8) = 8² + 8 + 41 = 113

Da n = 8 eine Primzahl von mehr als 100 erzeugt, bewerten wir das Polynom für n = 9 und n = 10:

P (9) = 9² + 9 + 41 = 131

P (10) = 10² + 10 + 41 = 151

- Übung 2

Finden Sie heraus, ob die folgenden Zahlen Cousins ​​sind:

a) 13

b) 191

Lösung für

Die 13 ist klein genug, um Fermat's Little Theorem und die Hilfe des Taschenrechners zu verwenden.

Wir verwenden a = 2, damit die Zahlen nicht zu groß sind, obwohl sie auch A = 3, 4 oder 5 verwendet werden können:

2¹³ - 2 = 8190

8190 ist zwischen 2 teilbar, da es gerade ist, daher ist 13 Cousin. Der Leser kann es bestätigen, indem der gleiche Test mit a = 3 durchgeführt wird.

Lösung b

191 ist sehr groß, um den Theorem und einen gemeinsamen Taschenrechner auszuprobieren, aber wir können die Trennung zwischen jeder Primzahl tasten. Wir lassen sich durch 2 aus, weil 191 nicht gerade ist und die Abteilung nicht genau oder das Verhältnis von weniger als 2 ist.

Wir haben versucht, sich um 3 zu teilen:

191/3 = 63.666…

Und es gibt nicht genau, und der Quotient ist weniger als der Divisor (63.666 ... ist größer als 3)

Wir testen weiter. Bis es zwischen 17 teilt:

191/17 = 11, 2352 ..

Da es nicht genau ist und 11.2352 ... es ist weniger als 17, ist die Zahl 191 Cousin.

Verweise

1. Baldor, a. 1986. Arithmetik. Codex -Editionen und -verteilungen.
2. Prieto, c. Primo -Zahlen. Abgerufen von: Seiten.Matem.Unam.mx.
3. Eigenschaften von Primzahlen. Geborgen von: mae.Ufl.Edu.
4. Smartick. Primo -Zahlen: Wie man sie mit dem Sieb von Eratosten findet. Erholt von: Smartick.Ist.
5. Wikipedia. Primzahl. Geborgen von: ist.Wikipedia.Org.