Rationale Zahlen Eigenschaften, Beispiele und Operationen

Der Rationale Zahlen Es sind alle Zahlen, die als Teilung von zwei ganzen Zahlen erhalten werden können. Beispiele für rationale Zahlen sind: 3/4, 8/5, -16/3 und diejenigen, die in der folgenden Abbildung erscheinen. In einer rationalen Nummer wird der Quotient angegeben, um dies bei Bedarf später zu tun.

In der Abbildung wird jedes Objekt dargestellt, rund um Komfort. Wenn wir es auf der rechten Seite in 2 gleiche Teile teilen wollen, haben wir zwei Hälften und jeder ist 1/2.

Abbildung 1. Rationale Zahlen werden verwendet, um das Ganze in verschiedene Teile zu teilen. Quelle: Freesvg.

Indem wir es in 4 gleiche Teile teilen, erhalten wir 4 Teile und jeder ist 1/4 wert, wie im Bild des Zentrums. Und wenn Sie es in 6 gleichen Teilen verteilen müssen, wäre jeder Teil 1/6 wert, was wir im Bild links sehen.

Natürlich könnten wir es auch in zwei nicht -Gleiche Teile unterteilen, zum Beispiel könnten wir 3/4 Teile behalten und 1/4 Teil speichern. Andere Abteilungen sind ebenfalls möglich, z. B. 4/6 Teile und 2 Teile. Das Wichtigste ist, dass die Summe aller Teile 1 ist.

Auf diese Weise ist es offensichtlich, dass Sie mit rationalen Zahlen Dinge dividieren, zählen und verteilen können, wie Nahrung, Geld, Land und alle Arten von Objekten in Brüchen. Und so wird die Anzahl der Operationen, die mit den Zahlen durchgeführt werden können.

Rationale Zahlen können auch dezimal ausgedrückt werden, wie in den folgenden Beispielen zu sehen ist:

1/2 = 0,5

1/3 = 0,3333…

3/4 = 0,75

1/7 = 0,142857142857142857…

Später geben wir mit Beispielen an, wie man von einem Weg zur anderen übergeht.

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Rationale Zahlen Eigenschaften

Die rationalen Zahlen, deren Set wir mit dem Buchstaben Q bezeichnen werden, haben die folgenden Eigenschaften:

-Q enthält natürliche Zahlen N und ganze N -Zahlen.

Berücksichtigung dieser Zahl Zu Es kann als Quotienten miteinander und 1 ausgedrückt werden. Es ist leicht zu erkennen, dass es auch natürliche Zahlen und die Ganzzahlen gibt.

Somit kann die natürliche Nummer 3 als Bruchteil geschrieben werden, und auch -5:

3 = 3/1

-5 = -5/1 = 5/-1 = -(5/1)

Auf diese Weise ist dies ein numerischer Satz, der eine größere Anzahl von Zahlen abdeckt.

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-Rationale Zahlen können hinzugefügt, subtrahiert, multiplizieren und dividieren. Das Ergebnis der Operation ist eine rationale Zahl: 1/2 + 1/5 = 7/10; 1/2 - 1/5 = 3/10; (1/2) x (1/5) = 1/10; (1/2) ÷ (1/5) = 5/2.

-Zwischen jeder rationalen Zahlen kann immer eine weitere rationale Zahl gefunden werden. In der Tat gibt es zwischen zwei rationalen Zahlen rationale Unendliche. 

Zum Beispiel sind zwischen rational 1/4 und 1/2 rationale 3/10, 7/20, 2/5 (und viele mehr), die sie als Dezimalstellen ausdrücken können.

-Jede rationale Zahl kann ausgedrückt werden als: i) eine Ganzzahl oder ii) eine begrenzte Dezimalzahl (strenge) oder Zeitung: 4/2 = 2; 1/4 = 0,25; 1/6 = 0,1666666…

-Die gleiche Zahl kann durch unendliche äquivalente Brüche dargestellt werden, und alle gehören zu Q. Schauen wir uns diese Gruppe an:

Alle repräsentieren die Dezimalzahl 0.428571 ..

-Unter allen äquivalenten Fraktionen, die dieselbe Zahl darstellen, ist die nicht reduzierbare Fraktion, die einfachste von allen, die Kanonischer Vertreter dieser Zahl. Der kanonische Vertreter des vorherigen Beispiels ist 3/7.

Figur 2.- Der q -Satz rationaler Zahlen. Quelle: Wikimedia Commons. Uvm eduardo artur/cc by-s (https: // creativecommons.Org/lizenzen/by-sa/4.0).

Beispiele für rationale Zahlen

-Eigene Brüche, in denen der Zähler geringer ist als der Nenner:

-Unsachgemäße Fraktionen, deren Zähler größer ist als der Nenner:

-Natürliche Zahlen und ganze Zahlen:

-Äquivalente Brüche:

Dezimalpräsentation einer rationalen Zahl

Wenn der Zähler zwischen dem Nenner aufgeteilt ist, ist die Dezimalform der rationalen Zahl. Zum Beispiel:

2/5 = 0.4

3/8 = 0.375

1/9 = 0.11111 ..

6/11 = 0.545454…

In den ersten beiden Beispielen ist die Anzahl der Dezimalstellen begrenzt. Dies bedeutet, dass beim Erstellen der Abteilung eine Pause erhalten wird.

Andererseits ist in den nächsten beiden die Anzahl der Dezimalstellen unendlich und deshalb werden die Suspensive Punkte platziert. Im letzteren Fall gibt es ein Muster in den Dezimalstellen. Im Fall von Bruch 1/9 wird die Abbildung 1 auf unbestimmte Zeit wiederholt, während sie 6/11 54 ist.

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Wenn dies geschieht, wird gesagt, dass die Dezimalzeit eine Zeitung ist und wie folgt mit dem Zirgumakzent bezeichnet wird:

Verwandeln Sie eine Dezimalzahl in Bruch

Wenn es sich um eine begrenzte Dezimalzahl handelt, wird das Komma einfach beseitigt und der Nenner wird zur Einheit, gefolgt von so vielen Nullen wie Zahlen die Dezimalheit hat. Zum Beispiel um Dezimalzahl 1 zu transformieren 1.26 Im Fraktion ist es so geschrieben:

1.26 = 126/100

Dann wird die resultierende Fraktion bis zum Maximum vereinfacht:

126/100 = 63/50

Wenn die Dezimalzahl zuerst unbegrenzt ist, wird die Periode identifiziert. Dann werden diese Schritte befolgt, um die resultierende Fraktion zu finden:

-Der Zähler ist die Subtraktion zwischen der Zahl (kein Coma- oder Circumflex -Akzent) und der Teil, der den Circumflex -Akzent nicht trägt.

-Der Nenner ist eine Ganzzahl mit so vielen 9 wie Zahlen, die sich unter dem Circumflex befinden, und so viele oder wie Figuren im Dezimalenteil sind sie nicht unter dem Circumflex.

Befolgen wir dieses Verfahren, um die Dezimalzahl von 0,428428428 zu transformieren… im Fraktion.

-Zunächst wird die Periode identifiziert, was die Reihenfolge ist, die wiederholt wird: 428.

-Dann erfolgt der Betrieb des Subtrahierens der Zahl ohne Koma oder Akzent: 0428 des Teils, der keinen Umfang hat, was 0 ist, 0. Dies ist 428 - 0 = 428.

-Der Nenner wird gebaut, wissend, dass es unter dem Circumflex 3 Figuren gibt und alle unter dem Circumflex liegen. Daher ist der Nenner 999.

-Schließlich wird der Fraktion gebildet und vereinfacht, wenn möglich:

0.428 = 428/999

Es ist nicht möglich, mehr zu vereinfachen.

Rationale Zahlen Operationen

- Hinzufügen und subtrahieren

Brüche mit demselben Nenner

Wenn die Fraktionen den gleichen Nenner haben, fügen Sie sie hinzu und/oder subtrahieren Sie sie sehr einfach, da die Zähler einfach algebraisch hinzugefügt werden, so. Wenn möglich, ist es schließlich vereinfacht.

Beispiel

Führen Sie die folgende algebraische Summe durch und vereinfachen Sie das Ergebnis:

Die resultierende Fraktion ist bereits nicht reduzierbar.

Brüche mit unterschiedlichem Nenner

In diesem Fall werden die Addoren durch äquivalente Fraktionen mit demselben Nenner ersetzt, und dann wird das Verfahren bereits beschrieben. 

Beispiel

Algebraisch fügen Sie die folgenden rationalen Zahlen hinzu, die das Ergebnis vereinfachen:

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Die Schritte sind:

-Bestimmen Sie das minimale gemeinsame Multiple (MCM) der Nenner 5, 8 und 3:

MCM (5,8,3) = 120

Dies wird der Nenner der resultierenden Fraktion ohne Vereinfachung sein.

-Für jeden Bruch: Teilen Sie den MCM zwischen dem Nenner und multiplizieren Sie mit dem Zähler. Das Ergebnis dieser Operation wird mit seinem jeweiligen Zeichen im Fraktionszähler platziert. Auf diese Weise wird ein Fraktionsfraktion, der dem Original entspricht, jedoch mit dem MCM als Nenner.

Zum Beispiel ist der Zähler für den ersten Bruch wie folgt erstellt: (120/5) x 4 = 96 und wird erhalten:

Fahren Sie für die verbleibenden Fraktionen auf die gleiche Weise fort:

Schließlich werden die äquivalenten Fraktionen ersetzt, ohne ihr Zeichen zu vergessen, und die algebraische Summe der Zähler wird hergestellt:

(4/5) + (14/8) - (11/3) + 2 = (96/120) + (210/120) - (440/120) + (240/120) =

= (96+210-440+24) / 120 = -110 / 120 = -11/12

- Multiplikation und Division

Multiplikation und Abteilung werden nach den unten angegebenen Regeln durchgeführt:

Figur 3. Regeln zur Durchführung der Multiplikation und Aufteilung rationaler Zahlen. Quelle: f. Zapata.

In jedem Fall ist es wichtig zu beachten, dass eine Multiplikation kommutativ ist, was bedeutet, dass die Reihenfolge der Faktoren das Produkt nicht verändert. Dies geschieht nicht bei der Abteilung.

Beispiel 1

Führen Sie die folgenden Operationen durch und vereinfachen Sie das Ergebnis:

a) (5/3) x (8/15)

b) (-4/5) ÷ (2/9)

Antwort auf

(5/3) x (8/15) = (5 x 8)/(3 x 15) = 15/120 = 1/8

Antwort b

(-4/5) ÷ (2/9) = (-4 x 9)/(5 x 2) = -36/10 = -18/5

Beispiel 2     

Luisa hatte 45 Dollar. Er verbrachte einen zehnten Kauf eines Buches und 2/5 Teile dessen, was in einem Hemd übrig war. Wie viel Geld hat Luisa übrig? Das Ergebnis in einer irreduziblen Fraktion ausdrücken.

Lösung

Die Buchkosten (1/10) x 45 $ = 0.1 x 45 $ = 4.5 $

Deshalb blieb Luisa bei:

45 - 4.5 $ = 40.5 $

Mit diesem Geld ging Luisa zum Bekleidungsgeschäft und kaufte das Shirt, dessen Preis lautet:

(2/5) x 40.5 $ = 16.2 $

Jetzt hat Luisa im Portfolio:

40.5 - 16.2 $ = 24.3 $

Um es in Fraktion auszudrücken, ist es so geschrieben:

24.3 = 243/10

Das ist irreduzibal.

Verweise

1. Baldor, a. 1986. Arithmetik. Codex -Editionen und -verteilungen.
2. Carena, m. 2019. Mathematikhandbuch. Nationale Universität der Küste.
3. Figuera, j. 2000. Mathematik 8. Co-Bo-Editionen.
4. Jiménez, r. 2008. Algebra. Prentice Hall.
5. Rationale Zahlen. Geborgen von: cimanet.UOC.Edu.
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