Realzahlengeschichte, Beispiele, Eigenschaften, Operationen

Der reale Nummern Sie bilden das numerische Set, das natürliche Zahlen, Ganzzahlen, rationale und irrationale umfasst. Sie werden mit dem Symbol ℝ oder einfach bezeichnet R Und die Reichweite, die sie in Wissenschaft, Ingenieurwesen und Wirtschaft haben.

Die realen Zahlen wurden seit der Antike verwendet, obwohl ihnen dieser Name nicht gegeben wurde. Aus der Zeit, als Pythagoras seinen berühmten Satz entwickelte, entstanden Zahlen, die nicht als eher natürliche Zahlen oder ganze Zahlen erhalten werden konnten.

Abbildung 1. Venn -Diagramm zeigt, wie der Satz realer Zahlen die anderen numerischen Sätze enthält. Quelle> Wikimedia Commons.

Beispiele für Zahlen sind √2, √3 und π. Diese Zahlen werden genannt irrational, Im Gegensatz zu rationalen Zahlen, die aus Quotienten zwischen ganzen Zahlen stammen. Es war daher ein numerischer Satz erforderlich, der beide Arten von Zahlen abdeckt.

Der Begriff "realer Zahl" wurde von dem großen Mathematiker René Descartes (1596-1650) erstellt, um zwischen den beiden Arten von Wurzeln zu unterscheiden, die sich aus der Lösung einer Polynomgleichung ergeben können.

Einige dieser Wurzeln können Paare von negativen Zahlen sein, diese Descartes nannten sie "imaginäre Zahlen" und diejenigen, die es nicht waren, waren reelle Zahlen.

Die Konfession blieb im Laufe der Zeit bestehen und führte zu zwei großen numerischen Sätzen: reelle Zahlen und komplexe Zahlen, ein breiterer Satz, der reelle Zahlen umfasst, imaginäre und diejenigen, die in realer und teilweise imaginärer sind.

Die Entwicklung der realen Zahlen setzte seinen Kurs fort, bis 1872 der Mathematiker Richard Dedekind (1831-1936) mit allen Formalitäten, die die realen Zahlen durch die Anrufe Kortures Dedekind. Die Synthese seiner Arbeiten wurde in einem Artikel veröffentlicht, in dem das Licht im selben Jahr gelernt wurde.

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Beispiele für reelle Zahlen

Die folgende Tabelle zeigt Beispiele für reelle Zahlen. Dieses Set hat ebenso Untergruppe zu natürlichen Zahlen, Ganzzahlen, rational und irrational. Eine beliebige Anzahl dieser Sets ist an sich eine reelle Zahl.

Daher sind die 0, die Negative, die Positiven, die Brüche und Dezimalstellen reelle Zahlen.

Figur 2. Beispiele für reale Zahlen sind die Eingeborenen, die Ganzzahlen, die Rationalen, die Irrationalen und die Transzendenten. Quelle: f. Zapata.

Darstellung realer Zahlen in der realen Linie 

Reelle Zahlen können in der realen Linie dargestellt werden R, Wie das Bild zeigt. Es ist nicht notwendig, dass die 0 immer vorhanden ist, es ist jedoch bequem zu wissen. Deshalb ist es ein ausgezeichneter Bezugspunkt.

Auf der realen Linie wird eine Skala genommen, in der die Ganzzahlen gefunden werden:… 3, -2, -1, 1, 2, 3… . Der Pfeil zeigt an, dass sich die Linie bis in Unendlichkeit erstreckt. Aber das ist nicht alles, in einem Intervall werden wir immer unendliche reelle Zahlen finden.

Reelle Zahlen sind in der Reihenfolge dargestellt. Zunächst gibt es die Reihenfolge der ganzen Zahlen, in der positiv.

Diese Reihenfolge bleibt innerhalb der realen Zahlen. Die folgenden Ungleichheiten werden als Beispiel angezeigt:

A) -1/2 < √2

Sei < π

c) π> -1/2

Figur 3.- Die wahre Linie. Quelle: Wikimedia Commons.

Eigenschaften realer Zahlen

-Die realen Zahlen sind natürliche Zahlen, Ganzzahlen, rational und irrational.

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-Die kommutative Eigenschaft der Summe wird erfüllt: Die Reihenfolge der Addends ändert die Summe nicht. Wenn A und B zwei reelle Zahlen sind, ist es immer wahr:

A + b = b + a

-0 ist das neutrale Element der Summe: a + 0 = a

-Die assoziative Eigenschaft wird für die Summe erfüllt. Wenn A, B und C reelle Zahlen sind: (a + b) + c = a + (b + c).

-Das Gegenteil einer realen Zahl a ist -a.

-Die Subtraktion ist definiert als die Summe des Gegenteils: a - b = a + (-b).

-Die kommutative Eigenschaft des Produkts ist erfüllt: Die Reihenfolge der Faktoren verändert das Produkt nicht: a.B = b.Zu

-Die assoziative Eigenschaft wird auch auf das Produkt angewendet: (a.B).C = a.(B.C)

-Das 1 ist das neutrale Multiplikationselement: a.1 = a

-Die Verteilungseigenschaft der Multiplikation in Bezug auf die Zugabe ist gültig: a. (b+c) = a.B + a.C

-Die Aufteilung durch 0 ist nicht definiert.

-Jede reelle Zahl A, außer 0, hat multiplikativ umgekehrt zu^-1 so dass a.Zu^-1 = 1.

-Wenn a eine echte Zahl ist: a⁰ = 1 und a¹ = a.

-Der absolute Wert oder Modul einer reellen Zahl ist der Abstand zwischen dieser Zahl und 0.

Operationen mit realen Zahlen

Mit den realen Zahlen können Sie die Operationen ausführen, die mit den anderen numerischen Sätzen durchgeführt werden, einschließlich Summe, Subtraktion, Multiplikation, Teilung, Verbesserung, Strahlung, Logarithmen und mehr.

Wie immer ist die Teilung durch 0 nicht definiert, es gibt auch keine Logarithmen negativer Zahlen oder 0, obwohl es wahr ist, dass log 1 = 0 und dass Logarithmen von Zahlen zwischen 0 und 1 negativ sind.

Anwendungen

Die Anwendungen realer Zahlen auf alle Arten von Situationen sind sehr unterschiedlich. Reale Zahlen erscheinen als Reaktion auf viele Probleme in exakten Wissenschaften, Computer, Ingenieurwesen, Wirtschaft und Sozialwissenschaften.

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Alle Arten von Größen und Beträgen wie Entfernungen, Zeiten, Kräften, Schallintensität, Geld und vielem mehr haben ihren Ausdruck in realer Anzahl.

Die Übertragung von Telefonsignalen, das Bild und der Klang eines Videos, die Temperatur einer Klimaanlage, eines Heizung oder eines Kühlschranks können digital gesteuert werden, was bedeutet.

Gleiches passiert, wenn eine Banktransaktion online durchgeführt wird oder Instant Messaging konsultiert wird. Die realen Zahlen sind überall.

Übung gelöst

Lassen Sie uns mit Übungen sehen, wie diese Zahlen in gemeinsamen Situationen funktionieren, mit denen wir täglich sind.

Übung 1

Die Post akzeptiert nur Pakete, für die die Länge plus die Konturmessung 108 Zoll nicht überschreitet. Damit das Paket als akzeptiert werden, muss es erfüllt werden, dass:

L + 2 (x + y) ≤ 108

a) Werden Sie ein Paket übergeben, das 6 Zoll breit, 8 Zoll groß und 5 Fuß lang misst?

b) Was ist mit einem, der 2 x 2 x 4 Fuß misst³?

c) Was für ein Paket am höchsten akzeptabel ist, dessen Basis quadratisch ist und 9 x 9 Zoll misst²?

Antwort auf

L = 5 Fuß = 60 Zoll

x = 6 Zoll

y = 8 Zoll

Die zu behebende Operation ist:

L + 2 (x + y) = 60 + 2 (6 + 8) Zoll = 60 + 2 x 14 Zoll = 60 + 28 Zoll = 88 Zoll

Das Paket wird akzeptiert.

Antwort b

Die Abmessungen dieses Pakets sind niedriger als die von Paket a), daher können beide passieren.

Antwort c

In diesem Paket:

x = l = 9 Zoll

Es muss erfüllt werden, dass:

9+ 2 (9+ y) ≤ 108

27 + 2y ≤ 108

2y ≤ 81

und ≤ 40.5 Zoll

Verweise

1. Carena, m. 2019. Mathematikhandbuch für Präuniversität. Nationale Universität der Küste.
2. Diego, a. Reelle Zahlen und ihre Eigenschaften. Erholt von: Mathematik.Us.Edu.ar.
3. Figuera, j. 2000. Mathematik 9. Grad. Co-Bo-Editionen.
4. Jiménez, r. 2008. Algebra. Prentice Hall.
5. Stewart, J. 2006. Präzision: Mathematik zur Berechnung. 5. Auflage. Cengage Lernen.