Transzendente Zahlen, die Formeln, Beispiele, Übungen sind

Der Transzendente Zahlen Sie sind diejenigen, die aufgrund einer Polynomgleichung nicht erhalten werden können. Das Gegenteil einer transzendenten Zahl ist a algebraische Nummer, die Lösungen einer Polynomgleichung des Typs sind:

Zu_N X^N + Zu_N-1 X^N-1 +… + A₂ X² + Zu₁ x + a₀ = 0

Wo die Koeffizienten zu_N, Zu_N-1,… Zu₂, Zu₁, Zu₀ Sie sind rationale Zahlen, genannt Polynomkoeffizienten. Wenn eine X -Zahl eine Lösung der vorherigen Gleichung ist, ist diese Zahl nicht transzendent.

Abbildung 1. Zwei Zahlen von großer Bedeutung in der Wissenschaft sind transzendente Zahlen. Quelle: Public Domainpartures.Netz.

Wir werden einige Zahlen analysieren und feststellen, ob sie transzendent sind oder nicht:

a) 3 ist nicht transzendent, da es eine Lösung von x - 3 = 0 ist.

b) -2 kann nicht transzendent sein, da es eine Lösung von x + 2 = 0 ist.

c) ⅓ Es ist 3x - 1 = 0 Lösung

d) Eine Lösung der Gleichung x² - 2x + 1 = 0 ist √2 -1, sodass die Zahl per Definition nicht transzendent ist.

e) noch ist √2, weil es das Ergebnis von Gleichung x ist² - 2 = 0. Durch das Anheben von √2 quadratisch führt es zu 2, die von 2 abgezogen werden, spielt keine Rolle von Null. √2 ist also eine irrationale Zahl, aber nicht transzendent.

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Was sind transzendente Zahlen?

Das Problem ist, dass es keine allgemeine Regel gibt, sie zu erhalten (später werden wir eine Form sagen), aber einige der berühmtesten sind die Zahl Pi und das Neper -Nummer, bezeichnet jeweils von: π Und Und.

Die Zahl π

Die Nummer π Es scheint natürlich zu beobachten, dass der mathematische Quotient zwischen dem Umfang P eines Kreises und seinem Durchmesser D, unabhängig davon, ob es sich um einen kleinen oder großen Kreis handelt, immer die gleiche Zahl angibt, genannt Pi:

π = P/D ≈ 3,14159…

Dies bedeutet, dass, wenn der Durchmesser des Umfangs als Messeinheit angenommen wird, für alle, ob groß oder klein, der Umfang immer p = 3,14 wert ist… = π, Wie in der Animation von Abbildung 2 zu sehen ist.

Kann Ihnen dienen: Bolzano TheoremFigur 2. Die Umfangslänge eines Kreises beträgt manchmal die Länge des Durchmessers, der ungefähr 3,1416 beträgt.

Um mehr Dezimalstellen zu bestimmen, müssen Sie mehr Präzision P und D messen und dann den Quotienten berechnen, der auf mathematische Weise durchgeführt wurde. Die Schlussfolgerung ist, dass die Dezimalstellen des Quotienten kein Ende haben und nie wiederholt werden, also die Zahl π Zusätzlich zu transzendent ist es auch irrational.

Eine irrationale Zahl ist diese Zahl, die nicht als Aufteilung von zwei ganzen Zahlen ausgedrückt werden kann. 

Es ist bekannt, dass jede transzendente Zahl irrational ist, aber es ist nicht wahr, dass alle irrationalen transzendenten sind. Zum Beispiel ist √2 irrational, aber nicht transzendent.

Figur 3. Transzendente Zahlen sind irrational, aber die gegenseitige Aussage ist nicht wahr.

Die Zahl e

Die transzendente Zahl ist die Grundlage der neperischen Logarithmen und ihr Dezimalansatz lautet:

E ≈ 2.718281828459045235360… .

Wenn Sie die Nummer schreiben wollten Und Genau, es wäre notwendig, Decimal Infinite zu schreiben, da jede transzendente Zahl irrational ist, wie bereits gesagt.

Die ersten zehn Ziffern von Und Sie sind leicht zu erinnern:

2.7 1828 1828 und obwohl es einem sich wiederholenden Muster zu folgen scheint, wird dies nicht in den Dezimalstellen der Ordnung von mehr als neun erreicht.

Eine formalere Definition von Und ist der nächste:

Was bedeutet, dass der genaue Wert von Und Die in dieser Formel angegebene Operation wird erreicht, wenn die natürliche Zahl N Es neigt dazu, unendlich zu sein.

Dies erklärt, warum wir nur Ansätze erhalten können Und, Da die Zahl n so groß ist, dass n platziert ist, können Sie immer eine finden N Alten.

Suchen wir nach einigen Ansätzen selbst:

-Wenn n = 100 dann (1 + 1/100)¹⁰⁰ = 2.70481, das im ersten Dezimalwert mit dem "wahren" Wert von e kaum übereinstimmt.

-Wenn Sie n = 10 ausgewählt werden.000 haben Sie (1 + 1/10.000)^10.000 = 2.71815, die in den ersten drei Dezimalstellen mit dem „exakten“ Wert von E übereinstimmen.

Kann Ihnen dienen: homologe Seiten

Dieser Prozess sollte befolgt werden, um den "wahren" Wert von e zu erhalten. Ich glaube nicht, dass wir Zeit haben, es zu erreichen, aber lassen Sie uns noch einen Versuch machen:

Lassen Sie uns n = 100 verwenden.000:

(1 + 1/100.000)^100.000 = 2,7182682372

Dass es nur vier Dezimalstellen hat, die mit dem Wert übereinstimmen.

Wichtig ist zu verstehen, dass je größer der Wert von n ist, um zu berechnen und_N, näher wird vom wahren Wert sein. Dieser wahre Wert wird jedoch nur gehalten, wenn n unendlich ist.

Figur 4. Es wird grafisch gezeigt, da der höhere Wert von n näher an E liegt, aber um den genauen Wert N zu erreichen, muss unendlich sein.

Andere transzendente Zahlen

Abgesehen von diesen berühmten Zahlen gibt es weitere transzendente Zahlen, zum Beispiel:

- 2^√2

Jede algebraische Zahl, die nicht 0 oder 1 ist und zu einem irrationalen Exponenten erhöht ist, ist eine transzendente Zahl.

-Die Nummer 10 von Champerynowne: 

C_10 = 0,123456789101112131415161718192021… .

-Die Nummer von Champernowne auf Basis 2:

C_2 = 0,110111001011011… .

-Die γ- oder konstante Gamma-Anzahl von Euler-Mascheroni:

γ ≈ 0,577 215 664 901 532 860 606

Dies wird durch die folgende Berechnung erhalten:

γ ≈ 1 + ½ + ⅓ + ¼ +… + 1/n - ln (n)

Wenn N Sei sehr groß. Um den genauen Wert der Gamma -Nummer zu haben, müsste es berechnet werden N unendlich. Etwas Ähnliches wie das, was wir oben getan haben.

Und es gibt noch viele weitere transzendente Zahlen. Der in Russland geborene große Mathematiker Georg Cantor, der zwischen 1845 und 1918 lebte, zeigte, dass die Reihe der transzendenten Zahlen viel größer ist als die Menge der algebraischen Zahlen.

Formeln, bei denen die transzendente Zahl π erscheint

Der Umfang der Umfangsumfang

P = π d = 2 π r, wobei P der Umfang des Durchmessers und R der Radius des Umfangs ist. Es sollte daran erinnert werden, dass:

Kann Sie dienen: Wie viel müssen Sie zu 3/4 hinzufügen, um 6/7 zu erhalten??

-Der Durchmesser des Umfangs ist das längste Segment, das zwei Punkte davon verbindet und immer durch sein Zentrum verläuft,

-Der Radius ist die Hälfte des Durchmessers und ist das Segment, das von der Mitte zur Kante führt.

Kreisbereich

A = π r² = ¼ π d²

Oberfläche einer Kugel

S = 4 π r^2.

Ja. Obwohl es nicht scheint, ist die Oberfläche einer Kugel dieselbe wie die von vier Kreisen desselben Radius wie die Kugel.

Kugelvolumen

V = 4/3 π r³

Übungen

- Übung 1

Die "exotische" Pizzeria verkauft drei Durchmesser -Pizzen: 30 cm klein, durchschnittlich 37 cm und große 45 cm. Ein Kind ist sehr hungrig und erkannte, dass zwei kleine Pizzen die gleichen Kosten wie ein großer Kosten haben. Was wird für ihn besser sein, kaufen zwei kleine Pizzen oder eine große?

Abbildung 5.- Die Fläche einer Pizza ist proportional zum Quadrat des Radius und ist die Verhältnismäßigkeitskonstante. Quelle: Pixabay.

Lösung

Je größer die Fläche, desto größer ist die Menge an Pizza, aus diesem Grund wird die Fläche einer großen Pizza berechnet und mit der von zwei kleinen Pizzen verglichen:

Große Pizza = ¼ π d² = ¼ ≤3,1416 Planung² = 1590,44 cm²

Kleine Pizza = ¼ π d² = ¼ ≤3,1416º30² = 706,86 cm²

Daher haben zwei kleine Pizzen einen Bereich von 

2 x 706,86 = 1413,72 cm² .

Es ist klar: Es wird mehr Pizza geben, die ein einzelnes Groß als zwei kleine kauft.

- Übung 2

Die „exotische“ Pizzeria verkauft auch eine Semi -Man -Pizza von 30 cm für die gleiche rechteckige Form von 30 x 40 cm Seite. Welches würdest du nehmen?

Abbildung 6.- Die Oberfläche eines Semi -Speakers ist doppelt so hoch wie die kreisförmige Oberfläche der Basis. Quelle: f. Zapata.

Lösung

Wie im vorherigen Abschnitt angegeben, ist die Oberfläche einer Kugel viermal höher als die eines Kreises mit demselben Durchmesser, sodass ein halbschild mit einem Durchmesser von 30 cm:

30 cm Semi -Man -Pizza: 1413,72 cm² (doppelt so kreisförmig mit dem gleichen Durchmesser)

Rechteckige Pizza: (30 cm) x (40 cm) = 1200 cm² .

Semi -Man -Pizza hat eine größere Fläche.

Verweise

1. Fernández J. Die Zahl e. Herkunft und Kuriositäten. Erholt von: Sojatematik.com
2. Genießen Sie die Mathematik. Eulers Nummer. Erholt von: genießeMatimaticas.com.
3. Figuera, j. 2000. Mathematik 1st. Diversifiziert. Co-Bo-Editionen.
4. Garcia, m. Die Zahl E in der Elementarberechnung. Erholt von: Mathematik.Ciens.UCV.gehen.
5. Wikipedia. PI -Nummer. Erholt von: Wikipedia.com
6. Wikipedia. Transzendente Zahlen. Erholt von: Wikipedia.com