Stationäre Wellen Formeln, Eigenschaften, Typen, Beispiele

Der stehende Wellen Sie sind Wellen, die sich in einer begrenzten Hälfte ausbreiten und in einem Teil des Raum.

Sie sind die Grundlage für die in den Musikinstrumenten erzeugten Geräusche. Sie werden auch in angespannten Membranen wie Trommeln oder Innenrohre und Strukturen wie Brücken und Gebäuden erstellt.

Animation einer stationären (roten) Welle, die durch die Überlagerung einer linken (blauen) und rechten Welle (grün) erzeugt wird. Quelle: LookangMany Dank an den Autor der Originalsimulation = Wolfgang Christian und Francisco Schembre Autor von Easy Java Simulation = Francisco Schembre/CC BY-SA (https: // creativeCommons.Org/lizenzen/by-sa/4.0)

Wenn Sie an beiden Enden ein festes Seil haben, z Interferenz.

Wenn sich die Wellen in Phase befinden, sind die Grate und Täler ausgerichtet und führen zu einer Welle mit doppelter Amplitude. In diesem Fall wird die Rede von konstruktiven Einmischungen sein.

Aber wenn die Wellen, die sich einmischen. Es ist dann eine zerstörerische Störung.

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Formeln und Gleichungen

Die Hauptelemente der Welle, um sie in Raum und Zeit darzustellen, sind seine Amplitude A, seine Wellenlänge λ und seine Winkelfrequenz ω.

Elemente einer Welle. Quelle: Wikimedia Commons.

In der mathematischen Darstellung wird es bevorzugt, k zu verwenden, als die Wellennummer o Häufigkeit, mit der die Welle pro Einheit stattfindet. Deshalb wird es durch die Länge der λ -Welle definiert, die der Abstand zwischen zwei Tälern oder zwei Graten ist:

K = 2π/ λ

Während Winkelfrequenz Es bezieht sich auf die Zeit oder Dauer einer vollständigen Schwingung, wie beispielsweise:

Ω = 2π/ t

Und auch die Frequenz F wird gegeben durch:

F = ω / 2π

Deshalb:

F = 1/t

Zusätzlich bewegen sich die Wellen mit Geschwindigkeit v entsprechend:

v = λ.F

Mathematischer Ausdruck der stationären Welle

Mathematisch können wir eine Welle durch die Sinusfunktion oder die Kosinusfunktion ausdrücken. Angenommen, es gibt Wellen mit gleicher Amplitude A, Wellenlänge λ und Frequenz ω, die sich entlang eines Seils und in entgegengesetzten Sinnen ausbreiten:

Und₁ = Eine sin (kx - ωt)

Und₂ = Eine sin (kx + ωt)

Beim Hinzufügen finden wir die resultierende Welle und_R:

Und_R = y₁ + Und₂ = A sen (kx - ωt) + a sin (kx + ωt)

Es gibt eine trigonometrische Identität, um die Summe zu finden:

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sin α + sin β = 2 sin (α + β)/2 . cos (α - β)/2

Durch diese Identität die resultierende Welle und_R bleibt übrig:

Und_R = [2a Sen KX] . cos ωt

Lage von Knoten und Bauch

Antinodos oder Bäuche und Knoten

Die resultierende Welle hat Amplitude zu_R = 2ase kx, was von der Position des Partikels abhängt. Dann an den Punkten, für die Sen Kx = 0, wird die Amplitude der Welle abgebrochen, dh es gibt keine Vibration.

Diese Punkte sind:

Kx = π, 2π, 3π ..

Als k = 2 π/ λ:

(2 π/ λ) x = π, 2π, 3π ..

x = λ/2, λ, 3λ/2 ..

In solchen Punkten tritt zerstörerische Störungen auf und sie werden genannt Knoten. Sie sind durch einen Abstand von λ/2 getrennt, wie aus dem vorherigen Ergebnis abgeleitet.

Und zwischen zwei aufeinanderfolgenden Knoten sind die Antinodos oder Bauch, in der die Amplitude der Welle maximal ist, da die konstruktive Störung auftritt. Sie treten auf, wenn:

sin kx = ± 1

Kx = ± π/2, 3π/2, 5π/2 ..

Wieder k = 2 π/ λ und dann:

x = λ /4, 3λ /4, 5λ /4, ..

Bauch oder Antinoden und Knoten in einer stationären Welle, die auf einem Seil mit festem Ende bei x = 0 erzeugt wird. Quelle: Wikimedia Commons.

Normale Modi an einem Seil

Die Grenzbedingungen am Seil bestimmen, wie Wellenlängen und Frequenzen sind. Wenn ein Seil in Länge L durch seine beiden Enden fixiert ist, kann es nicht mit einer Frequenz vibrieren, da die Punkte, an denen das Seil fixiert ist, bereits Knoten sind.

Zusätzlich beträgt die Trennung zwischen benachbarten Knoten λ/2, und zwischen Knoten und Bauch ist sie λ/4, auf diese Weise werden nur für bestimmte Wellenlängen stationär Die:

(λ/2) = l, mit n = 1, 2, 3, 4 .. .

Deshalb:

λ = 2l/n

Die Harmonischen

Die unterschiedlichen Werte werden genannt Harmonische. So haben wir:

-Erste Harmonik: λ = 2l

-Zweite Harmonik: λ = l

-Dritte Harmonik: λ = 2 l/3

-Harmonischer Raum: λ = l/2

Usw.

Geschwindigkeit und Frequenz

Obwohl sich die stationäre Welle nicht zu bewegen scheint, ist die Gleichung immer noch gültig:

v = λ. F

Deshalb:

v = (2l/n) . F

F = NV/2L

Nun kann gezeigt werden, dass die Geschwindigkeit, mit der sich eine Welle in einem Seil bewegt, von der T -Spannung im selben und ihrer linearen Massedichte μ (Masse pro Länge) abhängt:

Deshalb:

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Merkmale stationärer Wellen

-Wenn die Wellen stationär sind, verbreitet sich die resultierende Welle nicht wie ihre Komponenten, die von einem Ort zum anderen wechseln. Es gibt Punkte, an denen y = 0 ist, weil es keine Schwingung gibt: die Knoten, mit anderen Worten, die Amplitude zu_R Es ist Null.

-Der mathematische Ausdruck einer stationären Welle besteht aus dem Produkt eines räumlichen Teils (der von der X -Koordinate oder den Raumkoordinaten abhängt) und eines zeitlichen Teils.

-Unter den Knoten oszilliert die resultierenden schwarzen Wellen an einem Ort, während die Wellen, die von einem Ort zum anderen gehen, veraltet sind.

-Nur in den Knoten wird Energie nicht transportiert, da dies proportional zum Quadrat der Amplitude ist, aber zwischen den Knoten gefangen ist.

-Der Abstand zwischen benachbarten Knoten ist die halbe Wellenlänge.

-Die Punkte, an denen das Seil festgelegt ist.

Leute

Stationäre Wellen in einer Dimension

Die Wellen in einem festen Seil sind Beispiele für stationäre Wellen in einer Dimension, deren mathematische Beschreibung wir in den vorherigen Abschnitten angeboten haben.

Stationäre Wellen in zwei und drei Dimensionen

Stationäre Wellen können auch in zwei und drei Dimensionen präsentiert werden, was eine etwas komplexere mathematische Beschreibung ist.

Beispiele für Rennen

Feste Saiten

-Eine Saite, die durch Extreme festgelegt wird, die von Hand oder mit einem Kolben durch den anderen geschwächt wird, erzeugt stationäre Wellen entlang seiner Länge.

Musikinstrumente

Stationäre Wellen werden in Musikinstrumenten wie Violoncello erstellt. Quelle: Pixabay.

-Beim Spielen von Streichinstrumenten wie Gitarre, Harfe, Geige und Klavier.

Stlover -Wellen werden auch in Luftrohre wie Organrohre erzeugt.

Gebäude und Brücken

Stationäre Wellen entstehen in Strukturen wie Brücken und Gebäuden. Ein bemerkenswerter Fall war der der Tacoma Narrows Suspension Bridge in der Nähe der Stadt Seattle, USA,. Kurz nachdem er 1940 eingeweiht wurde, brach diese Brücke wegen der stationären Wellen zusammen, die im Wind entstanden sind.

Die Windfrequenz entsprach der Eigenfrequenz der Brücke, die in stationären Wellen entsteht, die ihre Amplitude erhöhten, bis die Brücke zusammenbrach. Das Phänomen ist als Resonanz bekannt.

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Seiches

In den Häfen gibt es ein sehr merkwürdiges Phänomen namens Seiche, in denen die Wellen des Meeres große Schwingungen produzieren. Dies liegt daran.

Port Waters bewegen sich mit ihrer eigenen Frequenz sowie denen des Ozeans. Wenn beide Gewässer ihren Frequenzen entsprechen, gibt es aufgrund von Resonanz eine große stationäre Welle, wie es bei der Tacoma Bridge passiert ist.

Der Seiches Sie können auch in Seen, Stauseen, Schwimmbädern und anderen Wasserkörpern auftreten, die durch Oberflächen begrenzt sind.

Fisch-Tanks

Stationäre Wellen können in einem von einer Person transportierten Fischbogen erzeugt werden, wenn die Frequenz, mit der die Person der Häufigkeit der Wasserschwung ist.

Übung gelöst

Das Gitarrenseil hat l = 0.9 m und lineare Teigdichte μ = 0.005 kg/m. Es ist 72 n Spannung ausgesetzt und sein Schwingungsmodus zeigt die Abbildung mit Amplitude 2a = 0.5 cm.

Stationäre Wellen auf einem Gitarrenseil. Quelle: Bauer, w. Physisch.

Finden:

a) Ausbreitungsgeschwindigkeit

b) Wellenfrequenz

c) die entsprechende stationäre Wellengleichung.

Lösung für

Durch:

Wird erhalten;

V = [72 n/(0).005 kg/m)]^1/2  = 120 m/s.

Lösung b

Der Abstand zwischen zwei benachbarten Knoten beträgt daher λ/2: daher:

(2/3) l - (1/3) l = λ/2

(1/3) l = λ/2

λ = 2l/3 = 2 x 0.90 m / 3 = 0.60 m.

Wie v = λ.F

F = (120 m/ s)/ 0.60 m = 200 s^-1= 200 Hz.

Lösung c

Die Gleichung ist:

Und_R = [2a Sen KX] . cos ωt

Wir müssen Werte ersetzen:

K = 2π/ λ = k = 2π/ 0.60 m = 10 π/3

F = ω / 2π

Ω = 2π x 200 Hz = 400 π Hz.

Die 2A -Amplitude ist bereits durch die Aussage angegeben:

2a = 0.5 cm = 5 x 10 ^-3 M.

Deshalb:

Und_R = 5 x 10 ^-3 M . sin [(10π/3) x] . cos (400πt) =

= 0.5 cm . sin [(10π/3) x] . cos (400πt)

Verweise

1. Bauer, w. 2011. Physik für Ingenieurwesen und Wissenschaften. Band 1. Mc Graw Hill.
2. Figueroa, d. (2005). Serie: Physik für Wissenschaft und Ingenieurwesen. Band 7. Wellen und Quantenphysik. Herausgegeben von Douglas Figueroa (USB).
3. Giancoli, d.  2006. Physik: Prinzipien mit Anwendungen. 6. Ed Prentice Hall.
4. Serway, r., Jewett, J. (2008). Physik für Wissenschaft und Ingenieurwesen. Band 1. 7. Ed. Cengage Lernen.
5. Tipler, p. (2006) Physik für Wissenschaft und Technologie. 5. ed. Band 1. Redaktion zurückgekehrt.
6. Wikipedia. Seiche. Geborgen von: ist.Wikipedia.Org.