Lineares Wellenkonzept, Eigenschaften, Beispiele

Der Lineare Wellen Dies sind diejenigen, in denen das Überlagerungsprinzip anwendbar ist, dh solche, in denen die Wellenform und ihre Raumzeitentwicklung als Summe der Grundlösungen erreicht werden können, zum Beispiel des harmonischen Typs. Nicht alle Wellen treffen das Überlagerungsprinzip, das nicht entspricht, heißt nicht lineale Wellen.

Die "lineare" Konfession ergibt sich aus der Tatsache, dass lineare Wellen eine Differentialgleichung in teilweisen Derivaten erfüllen, in denen alle Begriffe, die die abhängige Variable oder ihre Derivate betreffen.

Die Wellen, die in der Ferne zu sehen sind. Quelle: Pixabay.

Andererseits erfüllen nicht lineale Wellen Wellengleichungen mit quadratischen oder höheren Grad in der abhängigen Variablen oder in ihren Derivaten.

Manchmal ist es verwirrt, lineare Wellen mit Längswellen zu.

Aber sowohl Längswellen als auch Transversal können wiederum linear oder nicht linear sein, abhängig von anderen Faktoren der Amplitude der anfänglichen Störung und der Umgebung, in der sie sich ausbreiteten.

Es tritt im Allgemeinen auf, dass, wenn die anfängliche Störung einer geringen Amplitude ist, die Gleichung, die die Ausbreitung der Welle beschreibt.

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Differentialgleichung in linearen Wellen

In einem linearen Medium kann eine begrenzte Wellenform in Raum und Zeit durch die Summe der Sinus- oder Cosinus -Wellenfunktionen unterschiedlicher Frequenzen und Wellenlängen über Fourier -Serien dargestellt werden. 

Lineare Wellen haben immer eine Differentialgleichung des zugeordneten linearen Typs, dessen Lösung die Vorhersage der Störung in hinteren Momenten einer anfänglichen Störung darstellt.

Die klassische lineare Wellengleichung in einer einzelnen räumlichen Dimension, deren Lösungen lineare Wellen sind, lautet:

In der vorherigen Gleichung oder repräsentiert die Störung einer bestimmten physischen Menge in der Position X Und im Moment T, das heißt oder Es ist eine Funktion von X Und T:

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u = u (x, t)

Zum Beispiel, wenn es sich um eine Schallwelle in der Luft handelt, oder Es kann die Variation des Drucks in Bezug auf seinen Wert darstellen, ohne zu stören.

Im Falle einer elektromagnetischen Welle oder repräsentiert das elektrische Feld oder das magnetische Feld senkrecht zur Ausbreitungsrichtung.

Im Falle eines angespannten Seils, oder repräsentiert die Kreuzverschiebung in Bezug auf das Gleichgewicht des Seilgleichgewichts, wie in der folgenden Abbildung gezeigt:

Wellenform in einem bestimmten Zeitpunkt, im Fall von linearen Wellen ist diese Form die Überlappung von sinusförmigen Wellen unterschiedlicher Frequenz und Wellenlängen. Quelle: f. Zapata.

Differentialgleichungslösungen

Wenn Sie zwei oder mehr Lösungen der linearen Differentialgleichung haben, ist jede Lösung multipliziert mit einer Konstante eine Lösung und auch die Summe von ihnen. 

Im Gegensatz zu nichtlinearen Gleichungen lassen Wavelin-Gleichungen harmonische Lösungen des Typs zu: 

oder₁= A · unter (koge × - ωollar) Und oder₂= A · unter (këx + ωollar) 

Dies kann durch einfache Substitution in der linearen Wellengleichung verifiziert werden.

Die erste Lösung repräsentiert eine progressive Welle, die nach rechts voranschreitet, während die zweite nach links schnell C = ω/k.

Harmonische Lösungen sind charakteristisch für lineare Wellengleichungen.

Andererseits ist die lineare Kombination von zwei harmonischen Lösungen auch eine Lösung für die lineare Wellengleichung, zum Beispiel:

U = a₁ cos (k₁· X - ω₁≤T) + a₂ Waschbecken₂· X - ω₂≤t) ist Lösung.

Das relevanteste Merkmal von linearen Wellen ist, dass jede Form der Welle, wie komplex, auch durch eine Summe einfache harmonische Wellen in Brust und Cosinus erhalten werden kann:

u (x, t) = a₀ + ∑_N ZU_N cos (k_N· X - ω_N≤T) + ∑_M B_M Waschbecken_M· X - ω_M≤t).

Dispersive und nicht dispersivere lineare Wellen

In der klassischen linearen Wellengleichung, C repräsentiert die Geschwindigkeit der Ausbreitung des Impulses.

Nicht dispersive Wellen

In Fällen, wo C Es ist ein konstanter Wert, zum Beispiel die elektromagnetischen Wellen im Hohlraum, dann ein Impuls im ersten Moment t = 0 Form f (x) Es verbreitet sich nach:

u (x, t) = f (x - cfinden)

Ohne Verzerrung zu erlitten. In diesem Fall wird gesagt, dass das Medium nicht entworfen ist.

Dispersive Wellen

In dispersiven Medien kann die Ausbreitungsgeschwindigkeit jedoch von der Wellenlänge λ abhängen: C = C (λ).

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Elektromagnetische Wellen sind dispersiv, wenn sie durch ein materielles Medium reisen. Auch die Oberflächenwellen des Wassers reisen mit unterschiedlicher Geschwindigkeit gemäß der Wassertiefe.

Die Geschwindigkeit, mit der sich eine harmonische Welle ausbreitet Aësen (koge × - ωollart) Ist Ω/k = c und die Phasengeschwindigkeit wird genannt. Wenn das Medium dispersiv ist, dann C Es ist eine Wellenzahlfunktion k: C = C (k), Wo k Es hängt mit der Wellenlänge durch K = 2π/λ.

Dispersionsbeziehungen

Die Beziehung zwischen Frequenz und Wellenlänge wird als die bezeichnet Dispersionsverhältnis, das wurde in Bezug auf die Winkelfrequenz ausgedrückt Ω und die Wellenzahl k Ist: Ω = c (k) ≤K.

Einige Dispersionsbeziehungen Merkmale linearer Wellen sind die folgenden:

In den Wellen, in denen die Wellenlänge (Abstand zwischen Graten) viel größer ist als die Tiefe H, Aber dass seine Breite viel geringer ist als die Tiefe, die die Dispersionsbeziehung ist:

Ω = √ (gh) ≤K

Von dort aus wird der Schluss gezogen, dass sie sich mit konstanter Geschwindigkeit ausbreiten √ (gh) (nicht dispersiver halb).

Aber die Wellen in sehr tiefen Gewässern sind dispersiv, da ihr Dispersionsverhältnis lautet:

ω = √ (g/k) ≤K

Dies bedeutet diese Phasengeschwindigkeit Ω/k Es ist variabel und hängt von der Wellenzahl und damit der Wellenlänge der Welle ab.

Gruppengeschwindigkeit

Wenn sich zwei harmonische lineare Wellen überlappen, sich jedoch mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten vorantreiben, stimmt die Gruppengeschwindigkeit (dh der Wellenpaket) nicht mit der Phasengeschwindigkeit überein.

Gruppengeschwindigkeit v_G Es ist definiert als die Frequenzableitung in Bezug auf die Wellenzahl im Dispersionsverhältnis: v_G = Ω '(k).

Die folgende Abbildung zeigt die Überlappung oder Summe von zwei harmonischen Wellen oder₁= Aësen (k)₁· X - ω₁≤t) Und oder₂= Aësen (k)₂· X - ω₂≤t) Das reist mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten v₁= Ω₁/k₁ Und v₂= Ω₂/k₂. Beachten Sie, wie sich die Gruppengeschwindigkeit von der Phasengeschwindigkeit unterscheidet. In diesem Fall ist die Gruppengeschwindigkeit ∆ω/∆k.

Es kann Ihnen dienen: Magnetische Eigenschaften von MaterialienLineare (blaue) Welle in einem dispersiven Medium. Die rote Kurve wurde hinzugefügt, um hervorzuheben, dass sich die Gruppengeschwindigkeit von der Ausbreitungsgeschwindigkeit unterscheidet

Abhängig vom Dispersionsverhältnis können die Phasengeschwindigkeit und die Gruppengeschwindigkeit in die entgegengesetzten Richtungen sogar die entgegengesetzten Richtungen haben.

Beispiele für lineare Wellen

Elektromagnetische Wellen

elektromagnetische Wellen, die elektromagnetische Strahlung ausmachen

Elektromagnetische Wellen sind lineare Wellen. Seine Wellengleichung wird aus den Gleichungen des Elektromagnetismus (Maxwell -Gleichungen) abgeleitet, die ebenfalls linear sind.

Schrödinger's Gleichung

Es ist die Gleichung, die die Dynamik der Partikel im atomaren Maßstab beschreibt, in dem die welligen Eigenschaften relevant sind, beispielsweise im Fall von Elektronen im Atom.

Dann ist die "Elektronenwelle" oder Wellenfunktion, wie sie auch genannt wird, eine lineare Welle.

Wellen in tiefem Wasser

Lineare Wellen sind auch solche, bei denen die Amplitude viel niedriger ist als die Wellenlänge und Wellenlänge viel größer als die Tiefe. Die Wellen im tiefen Wasser folgen der linearen Theorie (bekannt als Airys wellige Theorie).

Die Welle, die sich dem Ufer nähert und das charakteristische Kamm bildet, das gerollt ist (und Surfer liebt), ist eine nichtlineare Welle.

Klang

Da der Schall eine kleine Störung des atmosphärischen Drucks ist, wird er als lineare Welle angesehen. Die Schockwelle einer Explosion oder Wellenfront einer Überschallebene ist jedoch typische Beispiele für nichtlineare Wellen.

Wellen auf einem angespannten Seil

Die Wellen, die sich durch ein angespanntes Seil ausbreiten.

Lineare Wellen an den Saiten spiegeln sich an ihren Enden und überlappen sich, wodurch stationäre Wellen oder Schwingungsmodi entstehen.

Verweise

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