Eindimensionale Wellen mathematischer Ausdruck und Beispiele

Der Eindimensionale Wellen Sie sind diejenigen, die sich in eine Richtung ausbreiten. Ein gutes Beispiel für sie ist die Welle, die sich entlang eines angespannten Seils wie das einer Gitarre bewegt.

In einer flachen Welle kreuzen, Die Partikel vibrieren vertikal (sie klettern und gehen nach unten, sehen den roten Pfeil in Abbildung 1), aber es ist eindimensional, weil die Störung in einer Richtung unterwegs ist, folgt dem gelben Pfeil.

Abbildung 1: Das Bild repräsentiert eine eindimensionale Welle. Beachten Sie, dass Grate und Täler parallele Linien miteinander und senkrecht zur Ausbreitungsrichtung bilden. Quelle: Selbst gemacht.

Eindimensionale Wellen erscheinen im Alltag ziemlich häufig. Der folgende Abschnitt beschreibt einige Beispiele von ihnen und auch von Wellen, die nicht eindimensional sind, um die Unterschiede klar festzustellen.

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Beispiele für eindimensionale Wellen und nicht eindimensionale Wellen

Eindimensionale Wellen

Dies sind einige Beispiele für eindimensionale Wellen, die leicht beobachtet werden können:

- Ein Schallpuls, der durch einen geraden Balken reist, da es sich um eine Störung handelt, die sich in der gesamten Stange ausbreitet.

- Eine Welle, die durch einen Wasserkanal reist, auch wenn die Verschiebung der Wasseroberfläche nicht parallel zum Kanal ist.

- Wellen, die sich auf einer Oberfläche oder durch den dreidimensionalen Raum ausbreiten können.

Nichtdimensionale Wellen

Ein Beispiel für eine nicht dimensionale Welle findet sich in den Wellen, die auf einer Oberfläche von stillem Wasser gebildet werden, wenn ein Stein fallen gelassen wird. Es ist eine zweidimensionale Wellenfront der zylindrischen Welle.

Kann Ihnen dienen: HebelarmFigur 2. Das Bild stellt ein Beispiel für eine eindimensionale Welle dar. Beachten Sie, dass Grate und Täler Kreise bilden und die Ausbreitungsrichtung radial nach außen ist. Dann ist es eine zweidimensionale kreisförmige Welle. Quelle: Pixabay.

Ein weiteres Beispiel für die nicht gewerkschaftsdimensionale Welle ist die Schallwelle, die durch Explosion in einer bestimmten Höhe einen Feuerwerkskörper erzeugt. Dies ist eine dreidimensionale Welle mit kugelförmigen Wellenfronten.

Mathematischer Ausdruck einer eindimensionalen Welle

Die allgemeinste Art, eine eindimensionale Welle auszudrücken, die sich ohne Abschwächung in positive Richtung der Achse ausbreitet X und mit Geschwindigkeit v Es ist mathematisch:

und (x, t) = f (x - v.T)

In diesem Ausdruck Und repräsentiert die Störung in der Position X Sofort T. Die Wellenform wird durch die Funktion gegeben F. Beispielsweise ist die in Abbildung 1 gezeigte Wellenfunktion:  und (x, t) = cos (x - v t) und das Bild der Welle entspricht dem Moment t = 0.

Eine solche Welle, die von einer Cosinus- oder Sinusfunktion beschrieben wird, wird genannt Harmonische Welle. Obwohl es nicht die einzige Wellenform ist, die existiert, ist sie von größter Bedeutung, da jede andere Welle als Überlappung oder Summe von harmonischen Wellen dargestellt werden kann. Es ist der Bekannte Fourier -Theorem, so verwendet, um Signale aller Art zu beschreiben.

Wenn die Welle in die negative Richtung der X -Achse reist, ändert sich einfach v von -v In Argument: Sein:

und (x, t) = g (x + v t)

Abbildung 3 zeigt die Animation einer Welle, die nach links reist: Es handelt sich um eine Form, die als Funktion bezeichnet wird Lorentziana und sie Der mathematische Ausdruck ist:

Kann Ihnen dienen: Arbeiten: Formel, Einheiten, Beispiele, Übungen

und (x, t) = 1 / (1 + (x + 1)⋅T)²

In diesem Beispiel ist die Ausbreitungsgeschwindigkeit v = 1, -eine Platzeinheit für jede Zeiteinheit-.

Figur 3. Beispiel einer lorentzschen Welle, die schnell nach links reist v = 1. Quelle: Vorbereitet von f. Zapata mit GeoGebra.

Eindimensionale Wellengleichung

Die Wellengleichung ist eine Gleichung in teilweisen Derivaten, deren Lösung natürlich eine Welle ist. Es stellt die mathematische Beziehung zwischen dem räumlichen Teil und seinem zeitlichen Teil fest und hat die Form:

Die Lösung, die genau die Funktion y (x, t) ist, kann durch Austausch und Entwicklung in dieser Gleichung überprüft werden. Zum Beispiel Funktionen f (x - v t)  Und  G (x + vt)  erwähnt, sie sind Wellengleichungslösungen.

Gelöstes Beispiel

Dann haben Sie den allgemeinen Ausdruck Y (x, t) für eine harmonische Welle:

und (x, t) = a⋅cos (k⋅x ± ω⋅t + θo)

a) Beschreiben Sie die physikalische Bedeutung der Parameter A, k, ω Und θo.

b) Welche Bedeutung hat die Vorzeichen ± für das Argument des Coseno??

c) Stellen Sie sicher, dass der gegebene Ausdruck tatsächlich die Lösung der Wellengleichung des vorherigen Abschnitts ist und die Geschwindigkeit finden v der Verbreitung.

Lösung für)

Die Merkmale der Welle befinden sich in den folgenden Parametern:

-ZU repräsentiert die Amplitude oder "Wellenhöhe".

-K ist in Wellennummer Und es hängt mit der Wellenlänge zusammen λ durch K = 2π/ λ.

-Ω Es ist fWinkelausdehnung Und es hängt mit dem zusammen Zeitraum T Wellenschwingung durch

Ω = 2π/ t.

-θo Es ist der Anfangsphase, welches mit dem Ausgangspunkt der Welle zusammenhängt.

Kann Ihnen dienen: Statische Reibung: Koeffizient, Beispiel, Übung

Lösung b)

Negatives Vorzeichen wird genommen, wenn die Welle in die positive Richtung der x -Achse und in der positiven Vorzeichen bewegt wird.

Lösung c)

Stellen Sie sicher, dass der gegebene Ausdruck eine Lösung für die Wellengleichung ist: Die partielle Ableitung der Funktion wird entnommen und (x, t) In Bezug auf X zweimal wird es teilweise von T zweimal abgeleitet, und dann treffen sich beide Ergebnisse, um Gleichheit zu erhalten:

Zweite abgeleitet von x: ∂²und/ ∂x²= -K². ZU⋅cos (k⋅x ± ω⋅t + θo)

Zweite abgeleitet von T: ∂²und/ ∂t²= -Ω². ZU⋅cos (k⋅x ± ω⋅t + θo)

Diese Ergebnisse werden in der Wellengleichung ersetzt:

 -k². ZU⋅cos (k⋅x ± ω⋅t + θo) = (1/v²) (-Ω². ZU⋅cos (k⋅x ± ω⋅t + θo))

Soviel ZU Wenn der Cosinus vereinfacht wird, da sie auf beiden Seiten der Gleichheit erscheinen und das Argument des Cosinus gleich ist, wird der Ausdruck auf:

-k² = (1/v²) (-Ω²)

Das ermöglicht, eine Gleichung zu erhalten v bezüglich Ω Und k:

v² = Ω² / k²

v = ± Ω / k

Verweise

1. E-edukativ. Gleichung eindimensionaler harmonischer Wellen. Erholt von: E-Dukativ.Kathedu.Ist
2. Der Rincón der Physik. Wellenklassen. Abgerufen von: Physik.Blogspot.com.
3. Figueroa, d. 2006. Wellen und Quantenphysik. Serie: Physik für Wissenschaft und Ingenieurwesen. Herausgegeben von Douglas Figueroa. Simon Bolivar University. Caracas, Venezuela.
4. Physiklabor. Wellenbewegung. Erholt von: fisicalab.com.
5. Peirce, a. Vortrag 21: die einzige dimensionale Wellengleichung: D'Alemberts Lösung. Abgerufen von: UBC.AC.
6. Wellengleichung. Abgerufen von: in.Wikipedia.com