Hyperbolische Paraboloid -Definition, Eigenschaften und Beispiele

A Hyperbolisches Paraboloid Es ist eine Oberfläche, deren allgemeine Gleichung in kartesischen Koordinaten (x, y, z) der folgenden Gleichung erfüllt:

(für)² - (und B)² - Z = 0.

Die Konfession der "Paraboloid" ergibt. Während das Adjektiv "hyperbolisch" auf die Tatsache zurückzuführen ist, dass die Gleichung einer Hyperbola feste Werte von z hat. Die Form dieser Oberfläche ähnelt der eines Reitstuhls.

Abbildung 1. Hyperbolisches Paraboloid z = x² - Und². Quelle: f. Zapata durch Wolfram Mathematica.

[TOC]

Beschreibung des hyperbolischen Paraboloids

Um die Art des hyperbolischen Paraboloids zu verstehen, wird die folgende Analyse durchgeführt:

1.- Der spezielle Fall wird a = 1, b = 1 genommen, das heißt, dass die kartesische Gleichung des Paraboloids als z = x bleibt² - Und².

2.- Sie gelten als parallele Ebenen der ZX -Ebene, dh y = ctte.

3.- Mit y = ctte ist es z = x² - C, die Gleichnisse mit den Zweigen auf und Scheitelpunkt unterhalb der XY -Ebene repräsentiert.

Figur 2. Kurvenfamilie z = x² - C. Quelle: f. Zapata durch GeoGebra.

4.- Mit x = ctte ist z = c - y², Dies repräsentiert Gleichnisse mit den Zweigen nach unten und dem Scheitelpunkt über der XY -Ebene.

Figur 3. Kurvenfamilie z = c - und². Quelle: f. Zapata durch GeoGebra.

5.- Mit z = ctte ist c = x² - Und², die Hyperbel in Ebenen parallel zur XY -Ebene darstellen. Wenn c = 0 es gibt zwei Zeilen (A +45º und -45º in Bezug auf die x -Achse), die am Ursprung auf der XY -Ebene abgefangen werden.

Figur 4. Familie der Kurven x² - Und² = C. Quelle: f. Zapata durch GeoGebra ..

Eigenschaften von hyperbolischem Paraboloid

1.- Vier verschiedene Punkte im dreidimensionalen Raum definieren ein und nur ein hyperbolisches Paraboloid.

Es kann Ihnen dienen: Eigenschaften begrenzen (mit Beispielen)

2.- Hyperbolisches Paraboloid ist a Doppel regulierte Oberfläche. Dies bedeutet, dass für jeden Punkt eines hyperbolischen Paraboloids zwei verschiedene Linien für jeden Punkt eines hyperbolischen Paraboloids vollständig an das hyperbolische Paraboloid gelangen, obwohl es sich um eine gekrümmte Oberfläche handelt. Die andere Oberfläche, die keine Ebene ist und doppelt reguliert ist, ist die Revolution Hyperboloid.

Genau die zweite Eigenschaft des hyperbolischen Paraboloid.

Die zweite Eigenschaft des hyperbolischen Paraboloids ermöglicht eine alternative Definition: Es ist die Oberfläche, die durch eine gerade mobile Linie parallel zu einer festen Ebene erzeugt werden kann und zwei feste Linien schneidet, die als Führung dienen. Die folgende Abbildung verdeutlicht diese alternative Definition von hyperbolischem Paraboloid:

Abbildung 5. Hyperbolisches Paraboloid ist eine doppelt regulierte Oberfläche. Quelle: f. Zapata.

Beispiele gelöst

- Beispiel 1

Zeigen, dass die Gleichung: Z = xy, entspricht einem hyperbolischen Paraboloid.

Lösung

Eine Transformation wird in die x- und y -Variablen angewendet, die einer Drehung der kartesischen Achsen in Bezug auf die Z von +45 Achse entsprechen. Die alten X- und Y -Koordinaten werden gemäß den folgenden Beziehungen in das neue x 'e und' verwandelt:

x = x ' - y'

y = x ' + und'

Während die Z -Koordinate gleich bleibt, ist das z = z '.

Durch Ersetzen in Gleichung z = x und wir haben: wir haben:

z '= (x' - y ') (x' + y ')

Bei der Anwendung des bemerkenswerten Produkts der Differenz durch die Summe, die der Differenz der Quadrate entspricht, ist es:

Z '= x'² - Und'²

Dies entspricht eindeutig der ursprünglich von hyperbolischen Paraboloid angegebenen Definition.

Das Abfangen der Ebenen parallel zur XY -Achse mit dem hyperbolischen Paraboloid z = x und bestimmen äquilaterale Hyperbolas, die die Ebenen x = 0 e y = 0 Asymptoten haben.

Kann Ihnen dienen: Miletus wie Theorem

- Beispiel 2

Bestimmen Sie die Parameter Zu Und B des hyperbolischen Paraboloids, der durch die Punkte A (0, 0, 0) fließt; B (1, 1, 5/9); C (-2, 1, 32/9) und D (2, -1, 32/9).

Lösung

Nach seinen Eigenschaften bestimmen vier Punkte im dreidimensionalen Raum ein einzelnes hyperbolisches Paraboloid. Die allgemeine Gleichung lautet:

Z = (x/a)² - (und B)²

Wir ersetzen die angegebenen Werte:

Für Punkt A haben Sie 0 = (0/a)² - (0/b)², Gleichung, die unabhängig von den Werten der Parameter a und b erfüllt ist.

Das Ersetzen von Punkt B wird erhalten:

5/9 = 1/a² - 1 b²

Während für Punkt C es bleibt:

32/9 = 4/a² - 1 b²

Schließlich wird es für Punkt D erhalten:

32/9 = 4/a² - 1 b²

Das ist identisch mit der vorherigen Gleichung. Kurz gesagt, das Gleichungssystem sollte gelöst werden:

5/9 = 1/a² - 1 b²

32/9 = 4/a² - 1 b²

Die zweite Gleichung des ersten Subtrahierens wird erhalten:

27/9 = 3/a² das impliziert das² = 1.

In ähnlicher Weise wird die zweite Gleichung des Vierfachens des ersten Subtrahiere und erhalten:

(32-20)/9 = 4/a² - 4/a² -1 b² + 4/b²

Das ist vereinfacht als:

12/9 = 3/b² ⇒ b² = 9/4.

Kurz gesagt, das hyperbolische Paraboloid, das durch die Punkte A, B, C und D verleitet wird, hat eine kartesische Gleichung, die durch:

Z = x² - (4/9) und²

- Beispiel 3

Nach den Eigenschaften des hyperbolischen Paraboloids sind zwei Linien, die vollständig darin enthalten sind. Für den Fall z = x^2 - y^2 Die Gleichung der beiden Linien finden, die durch Punkt P (0, 1, -1) eindeutig zum hyperbolischen Paraboloid gehören, so dass alle Punkte dieser Linien auch zur Dasselbe.

Lösung

Unter Verwendung des bemerkenswerten Produkts der Quadrate kann die Gleichung des hyperbolischen Paraboloids wie folgt geschrieben werden:

Kann Ihnen dienen: viereckiger: Elemente, Eigenschaften, Klassifizierung, Beispiele

(x + y) (x - y) = c z (1/c)

Wobei C eine Nicht -Null -Konstante ist.

Die Gleichung x + y = c z und Gleichung x - y = 1/c entsprechen zwei Ebenen mit normalen Vektoren N= y M=. Das Vektorprodukt m x n = Die Richtung des Linienübergriffs der beiden Flugzeuge gibt uns. Dann hat eine der Linien, die durch Punkt P fließt und zum hyperbolischen Paraboloid gehört, eine parametrische Gleichung:

= + t

Um C zu bestimmen, ersetzen wir Punkt P in Gleichung x + y = c z und erhalten:

C = -1

In ähnlicher Weise haben Sie jedoch unter Berücksichtigung der Gleichungen (x - y = k z) und (x + y = 1/k) die parametrische Gleichung der Linie:

= + s mit k = 1.

Kurz gesagt, die beiden Zeilen:

= + t y = + s

Sie sind vollständig im hyperbolischen Paraboloid z = x enthalten² - Und² durch den Punkt gehen (0, 1, -1).

Angenommen, t = 1, was uns den Punkt (1,2, -3) in der ersten Zeile gibt. Sie müssen überprüfen, ob es sich auch auf dem Paraboloid z = x befindet² - Und²:

-3 = 1² - 2² = 1 - 4 = -3

Was bestätigt, dass es tatsächlich zur Oberfläche des hyperbolischen Paraboloids gehört.

Das hyperbolische Paraboloid in der Architektur

Abbildung 6. Ozeanographie von Valencia (Spanien).Quelle: Wikimedia Commons.

Das hyperbolische Paraboloid wurde in der Architektur von den großen Avantgarde-Architekten verwendet, darunter die Namen des spanischen Architekten Antoni Gaudí (1852-1926) und insbesondere die Spanier der spanischen Félix Candela (1910-1997) sind insbesondere insbesondere die spanischen Félix-.

Im Folgenden finden Sie einige Arbeiten, die auf dem hyperbolischen Paraboloid basieren:

-Kapelle der Stadt Cuernavaca (Mexiko) Arbeit des Architekten Félix Candela.

-Die Ozeanografie von Valencia (Spanien), auch von Félix Candela.

Verweise

1. Enzyklopädie der Mathematik. Herrliche Oberfläche. Erholt von: Enzyklopädie.Org
2. Llera Rubén. Hyperbolisches Paraboloid. Erholt von: Rubenllera.WordPress.com
3. Weisstein, Eric W. „Hyperbolisches Paraboloid.”Von MathWorld-a Wolfram Web Resource. Erholt von: Mathworld.Wolfram.com
4. Wikipedia. Paraboloid. Abgerufen von: in.Wikipedia.com
5. Wikipedia. Paraboloid. Geborgen von: ist.Wikipedia.com
6. Wikipedia. Herrliche Oberfläche. Abgerufen von: in.Wikipedia.com