Parallelepiped

Die Parallelepipeds sind sechs geometrische Figuren, bei denen Gegensätze parallel zueinander sind. Beispiel: ein Ziegelstein, ein Schuhkarton, ein Eimer usw.

Was ist ein Parallelepiped?

A parallelepiped Es ist ein geometrischer Körper, der aus sechs Gesichtern gebildet wird, deren Hauptmerkmal darin besteht. Es ist ein gemeinsames Polyeder in unserem täglichen Leben, da wir es in Schuhkartons, der Form eines Ziegels, der Form einer Mikrowelle usw. finden können.

Das Parallelepiped ist ein Polyeder und enthält ein endliches Volumen und alle Gesichter sind flach. Es ist Teil der Gruppe der Prismen, die die Polyeder sind, in denen alle Eckpunkte in zwei parallelen Ebenen enthalten sind.

Elemente der Parallelepiped

Gesichter

Sie sind jede der Regionen, die durch Parallelogramme gebildet werden, die das Parallelepiped begrenzen. Ein parallelepiped hat sechs Gesichter, in denen jedes Gesicht vier angrenzende Gesichter und ein Gegenteil enthält. Zusätzlich ist jedes Gesicht parallel zu seinem Gegenteil.

Perspektive einer Parallelepiped

Kanten

Sie sind die gemeinsame Seite von zwei Gesichtern. Insgesamt hat ein Parallelepiped zwölf Kanten.

Scheitel

Es ist der gemeinsame Punkt von drei Gesichtern, die zwei bis zwei angrenzend sind. Ein parallelepiped hat acht Eckpunkte.

Scheitelpunkte eines parallelepiped

Diagonale

Bei zwei Gesichtern eines Parallelepip -gegenüberliegenden Gesichter können wir ein Liniensegment zeichnen, das vom Scheitelpunkt eines Gesichts zum gegenüberliegenden Scheitelpunkt des anderen geht.

Dieses Segment ist als parallelepiped Diagonal bekannt. Jeder parallelepiped hat vier Diagonalen.

Diagonalen eines parallelepipierten

Center

Es ist der Punkt, an dem sich alle Diagonalen kreuzen.

Der Punkt in der Abbildung zeigt das Zentrum an, an dem sich alle Diagonalen kreuzen

Eigenschaften der Parallelepiped

Wie bereits erwähnt, hat dieser geometrische Körper zwölf Kanten, sechs Gesichter und acht Eckpunkte.

In einem parallelepiped können drei von vier Kanten gebildete Sätze identifiziert werden, die parallel zueinander sind. Darüber hinaus entsprechen die Kanten dieser Sätze auch der Eigenschaft, die gleiche Länge zu haben.

Eigenschaften der Parallelepiped

Ein weiteres Eigentum.

Darüber hinaus entsprechen die Parallelepipeds, die konvexe Polyeder sind. Diese Beziehung ist in Form der folgenden Gleichung angegeben:

C + V = a + 2

Diese Funktion ist als Eulers Merkmal bekannt. Wobei C die Anzahl der Gesichter und die Anzahl der Scheitelpunkte und die Anzahl der Kanten ist.

Arten von Paralleepípedos

Wir können die Parallelepípedos basierend auf ihren Gesichtern nach folgenden Typen klassifizieren:

Orthoedro

Sie sind die Parallelepípedos, in denen ihre Gesichter aus sechs Rechtecken bestehen. Jedes Rechteck ist senkrecht mit denen, mit denen es die Kante teilt. Sie sind am häufigsten in unserem täglichen Leben, dies ist die übliche Form von Schuhen und Ziegelkisten.

Orthoedro parallelepiped

Regulärer Würfel oder Hexaedro

Dies ist ein besonderer Fall des vorherigen, bei dem jedes der Gesichter ein Quadrat ist.

Kann Ihnen dienen: EllipseRegulärer Würfel oder Hexaedro

Der Würfel ist auch Teil der geometrischen Körper, die als platonische Festkörper bezeichnet werden. Ein platonischer Feststoff ist ein konvexes Polyeder, so dass sowohl seine Gesichter als auch seine inneren Winkel gleich sind.

Romboedro

Es ist ein Parallelepiped, der einen Rhombus hat. Diese Rhombus sind alle gleich zueinander, da sie Kanten teilen.

Ein Romboedro

Romboiedro

Seine sechs Gesichter sind Rhomboid. Erinnern Sie sich, dass ein Rhomboid ein Vier -Seiten -Polygon und vier Winkel ist, die zwei bis zwei gleich sind. Die Rhomboide sind die Parallelogramme, die weder quadratisch noch Rechtecke noch Rhombus sind.

Romboiedro

Andererseits sind die schrägen parallelepipeds diejenigen, in denen mindestens eine Höhe nicht mit seiner Kante übereinstimmt. In dieser Klassifizierung können wir Rhomboedros und Rhomboiedros einbeziehen.

Schräg parallelepiped

Diagonale Berechnung

Um die Diagonale eines Orthoedro zu berechnen, können wir den Pythagoras -Theorem für r verwenden³.

Erinnern Sie sich daran, dass ein Orthoedro das Merkmal hat, dass jede Seite senkrecht zu den Seiten ist, die die Kante teilt. Aus dieser Tatsache können wir ableiten, dass jede Kante senkrecht mit denen ist, die den Scheitelpunkt teilt.

Um die Länge einer Diagonale eines Orthoedro zu berechnen, gehen wir wie folgt vor:

1. Wir berechnen die Diagonale eines der Gesichter, die wir von der Basis setzen werden. Dafür verwenden wir den Pythagoras -Theorem. Nennen wir das diagonale d_B.

2. Dann mit d_B Wir können ein neues Rechteckdreieck bilden, so dass die Hypotenuse des Dreiecks die diagonale D -beantragte D ist.

3. Wir verwenden den Pythagoras -Theorem wieder und wir haben die Länge dieser Diagonale:

Eine andere Möglichkeit, diagonaler grafischer zu berechnen, ist die Summe der freien Vektoren.

Erinnern Sie sich daran, dass zwei freie Vektoren A und B hinzugefügt werden, indem der Schwanz des Vektors B mit der Spitze des Vektors a platziert wird.

Der Vektor (A + B) ist derjenige, der im Schwanz A beginnt und an der Spitze von B endet.

Betrachten Sie eine Parallelepip, für die wir eine Diagonale berechnen wollen. Wir identifizieren die Kanten mit bequemen orientierten Vektoren.

Dann fügen wir diese Vektoren hinzu und der resultierende Vektor wird die Diagonale der Parallelepiped sein.

Bereich eines Parallelepips

Die Fläche eines Parallelepiped erfolgt durch die Summe jedes der Gesichterbereiche.

Wenn wir eine der Seiten als Basis bestimmen,

ZU_L + 2_B = Gesamtfläche

Wohin_L Es ist gleich der Summe der Bereiche aller Seiten neben der Basis, als Seitenbereich bezeichnet und nach_B Es ist der Basisbereich.

Abhängig von der Art der Parallelepiped, mit der wir arbeiten, können wir diese Formel neu schreiben.

Gebiet eines Orthoedro

Wird durch die Formel gegeben

A = 2 (AB + BC + CA).

Beispiel 1

Berechnen Sie die folgende Orthoedro mit den Seiten a = 6 cm, b = 8 cm und c = 10 cm.

Verwenden der Formel für den Bereich eines Orthoedro müssen wir müssen

A = 2 [(6) (8) + (8) (10) + (10) (6)] = 2 [48 + 80 + 60] = 2 [188] = 376 cm².

Beachten Sie, dass als Orthoedro die Länge eines seiner vier Diagonalen gleich ist.

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Verwenden des Pythagoras -Theorems für den Raum, den wir müssen

D = (6² + 8² + 10²)^1/2 = (36 + 64 + 100)^1/2 = (200)^1/2

Würfelbereich

Da jede Kante die gleiche Länge hat, haben wir das a = b und a = c. Ersetzen in der vorherigen Formel, die wir haben

A = 2 (aa + aa + aa) = 2 (3a²) = 6a²

A = 6a²

Beispiel 2

Die Schachtel einer Spielekonsole hat die Form eines Würfels. Wenn wir diese Schachtel mit Geschenkpapier wickeln möchten, wie viel Papier würden wir damit verbringen, zu wissen, dass die Länge der Ränder des Würfels 45 cm beträgt?

Mit der Formel des Würfelbereichs bekommen wir das

A = 6 (45 cm)² = 6 (2025 cm²) = 12150 cm²

Bereich eines Rhomboedro

Da alle seine Gesichter gleich sind, reicht es aus, um die Fläche eines von ihnen zu berechnen und ihn mit sechs zu multiplizieren.

Wir haben, dass die Fläche eines Rhombus von seinen Diagonalen mit der folgenden Formel berechnet werden kann

ZU_R = (Dd)/2

Unter Verwendung dieser Formel folgt, dass die Gesamtfläche des Rhomboedro ist

ZU_T = 6 (dd)/2 = 3dd.

Beispiel 3

Die Gesichter des nächsten Rhomboedro werden durch einen Rhombus gebildet, dessen Diagonale d = 7 cm und d = 4 cm sind. Ihre Gegend wird sein

A = 3 (7 cm) (4 cm) = 84 cm².

Bereich eines Rhomboiedro

Um die Fläche eines Rhomboiedro zu berechnen, müssen wir die Fläche der Rhomboide berechnen, die sie komponieren. Da die Parallelepipeds die Eigenschaft erfüllen, dass die gegenüberliegenden Seiten den gleichen Bereich haben, können wir die Seiten in drei Kollegen assoziieren.

Auf diese Weise haben wir, dass Ihre Gegend sein wird

ZU_T = 2b₁H₁ + 2B₂H₂ + 2B₃H₃

Wo b_Yo sind die mit den Seiten und h verbundenen Basen_Yo seine relative Höhe entspricht den Basen.

Beispiel 4

Betrachten Sie die folgenden parallelepiped,

wobei Seite a und Seite a '(ihre gegenüberliegende Seite) basieren b = 10 und pro Höhe H = 6. Der markierte Bereich hat einen Wert von

ZU₁ = 2 (10) (6) = 120

B und B 'haben B = 4 und H = 6, dann

ZU₂ = 2 (4) (6) = 48

Und C und C 'haben auch B = 10 und H = 5

ZU₃ = 2 (10) (5) = 100

Schließlich ist der Bereich von Rhomboiedro

A = 120 + 48 + 100 = 268.

Volumen eines parallelepipierten

Die Formel, die uns das Volumen eines Parallelepiped gibt.

V = a_CH_C

Abhängig von der Art der Parallelepiped kann diese Formel vereinfacht werden.

Somit haben wir zum Beispiel, dass das Volumen eines Orthoedro von gegeben wird

V = ABC.

Wobei a, b und c die Länge der orthoedro -Kanten darstellen.

Und im speziellen Fall des Würfels ist

V = a³

Beispiel 1

Es gibt drei verschiedene Modelle für Cookie -Boxen, die Sie wollen.

Der erste ist ein Würfel, dessen Kante eine Länge von a = 10 cm hat.

Sein Volumen beträgt V = 1000 cm³

Die zweite ist b = 17 cm, c = 5 cm, d = 9 cm.

Und daher ist sein Volumen V = 765 cm³

Und der dritte hat E = 9 cm, f = 9 cm und g = 13 cm.

Und sein Volumen beträgt V = 1053 cm³

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Daher ist die Box mit dem größten Volumen die dritte.

Eine andere Methode, um das Volumen eines parallelepiped zu erhalten, besteht darin, auf Vektoralgebra zurückzugreifen. Insbesondere das dreifache Skalarprodukt.

Eine der geometrischen Interpretationen des dreiköpfigen Skalarprodukts ist das Volumen des Parallelepiped, dessen Kanten drei Vektoren sind, die den gleichen Scheitelpunkt wie ein Ausgangspunkt teilen.

Auf diese Weise, wenn wir parallelepiped haben und wissen, was sein Volumen ist, reicht es aus, es in einem Koordinatensystem in R darzustellen³ übereinstimmen einen seiner Eckpunkte mit dem Ursprung.

Dann repräsentieren wir die Kanten, die dem Ursprung mit Vektoren übereinstimmen, wie in der Abbildung gezeigt.

Und auf diese Weise haben wir, dass das Volumen der besagten Parallelepiped gegeben ist

V = | Axb ∙ c |

Oder äquivalent ist das Volumen die Determinante der 3 × 3 -Matrix, die durch die Komponenten der Kantenvektoren gebildet wird.

Beispiel 2

Durch Darstellung der folgenden parallelepiped in r³ Wir können sehen, dass die Vektoren, die bestimmen, die folgenden sind

u = (-1, -3.0), v = (5, 0, 0) und W = (-0).25, -4, 4)

Verwenden des dreiköpfigen Produkts, das wir haben

V = | (Uxv) ∙ W |

Uxv = (-1, -3,0) x (5, 0, 0) = (0,0, -15)

(Uxv) ∙ w = (0,0,- 15) ∙ (-0).25, -4, 4) = 0 + 0 + 4 ( - 15) = - 60

Dies kommt zu dem Schluss, dass V = 60

Betrachten Sie nun die folgenden parallelepipen in r³ deren Kanten von den Vektoren bestimmt werden

A = (2, 5, 0), b = (6, 1, 0) und c = (3, 4, 4)

Die Verwendung von Determinanten gibt uns das

So haben wir, dass das Volumen der besagten Parallelepiped 112 beträgt.

Beide sind gleichwertige Möglichkeiten zur Berechnung des Volumens.

Perfektes parallelepiped

Es ist als Euler -Brick (oder Euler -Block) für eine Orthoedro bekannt, die die Eigenschaft erfüllt, dass sowohl die Länge seiner Kanten als auch die Länge der Diagonalen jeder seiner Gesichter ganze Zahlen sind.

Während Euler nicht der erste Wissenschaftler war, der die Orthoeder studierte, die dieses Eigentum treffen, fand er interessante Ergebnisse zu ihnen.

Der kleinste Euler-Ziegelstein wurde von Paul Halcke (1662-1731) entdeckt, und die Längen seiner Kanten betragen a = 44, b = 117 und c = 240.

Ein offenes Problem in der Zahlentheorie ist wie folgt:

Gibt es perfekte Orthoeder??

Gegenwärtig hat diese Frage noch keine Antwort, da es nicht möglich war, zu beweisen, dass es keine Körper gibt, aber niemand wurde gefunden worden.

Was bisher gezeigt wurde, ist, dass die perfekte Parallelepiped tun. Der erste, der entdeckt wurde.

Verweise

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