Bis eine Linienformel und Gleichungen, Repräsentation, Beispiele

Der ausstehende Linie Es ist die Tangente des Winkels θ, dass diese Linie mit der horizontalen Achse bildet, die durch Konvent. Die Steigung einer Linie ist immer konstant und deshalb ist es eines der wichtigsten Eigenschaften.

Um es zu berechnen, müssen Sie zwei Punkte der Linie kennen, deren Koordinaten sind (x x₁,Und₁) und (x₂,Und₂). Zwischen beiden Punkten wird ein Segment gezogen, das zur Linie gehört, und dann werden die Segmente, die den Abstand zwischen x darstellen₁ und x₂, und zwischen und₁ und und₂, wie in der unteren Figur.

Abbildung 1. Die Steigung einer Linie ist die Tangente des Winkels θ. Quelle: Wikimedia Commons.

Die drei Segmente bilden ein rechtes Dreieck, dessen Beine sind: Δx = x₂ - X₁  und Δy = und₂ - Und₁. Sie entsprechen jeweils einer horizontalen Verschiebung und einer anderen vertikalen Vertikalen.

Jetzt wird ein Quotient definiert, genannt Tangente des Winkels θ und abgekürzte TG θ, das genau die Steigung ist M der Linie:

m = tg θ = Δy / Δx

Beachten Sie, dass dieser Winkel für eine Linie konstant bleibt, unabhängig von den Punkten zur Berechnung seiner Tangente. In jedem Fall bietet uns dieser Wert ein Maß dafür, wie geneigt es ist, die Linie.

Durch die Koordinaten der ausgewählten Punkte bleibt die Steigungsformel bestehen:

M = (y - y₁ ) / (X₂ - X₁)

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Grafische Darstellung

Im Folgenden haben wir mehrere Situationen, in denen das Konzept der Steigung relevant ist. Sein Wert kann leicht berechnet werden, indem die jeweilige vertikale und horizontale Verschiebung gemessen und dann den zu Beginn angegebenen Quotienten angezeigt wird.

Dies gibt uns eine Vorstellung von der Steigung oder dem Niedergang einer Struktur, wie z. B. einer Rampe, einem Dach oder einer Straße:

Kann Ihnen dienen: Zufällige Stichprobe: Methodik, Vor-, Nachteile, Beispiele Figur 2. Von links nach rechts wurde der Hang einer Rampe, eines Daches und der Hang einer Straße, letzteres in Prozent ausgedrückt. Quelle: Stewart, J. Precáculculo und Wikimedia Commons (rechtes Bild).

Die in Abbildung 2 links gezeigte Steigung der Rampe beträgt M = 1/12, das Dach ist m = 1/3 und die Straße wird in Prozentsatz ausgedrückt. Ein 10 % Prozentsatz bedeutet, dass pro 100 Meter, die horizontal voranschreiten, 10 Meter hoch verdienen:

Figur 3. Ein Fahrzeug steigt durch einen Hang, dessen Neigung 10% beträgt. Quelle: f. Zapata.

In diesem Fall beträgt die Steigung 10/100 = 0.1, das als Prozentsatz 10% ausdrückt.

Arten von Hang

Die Steigung einer Linie kann positiv, negativ oder null sein. Zum Beispiel hat die in Abbildung 1 gezeigte Linie eine positive Steigung. Wir schätzen es sofort, weil wir sehen, dass die Linie "angehoben" wird, wenn wir sie von links nach rechts sehen.

Wenn die Linie von links nach rechts herabsteigt, ist die Steigung negativ. Und wenn eine Linie horizontal ist, ist ihre Neigung null.

Schließlich ist die Steigung für vertikale Linien nicht definiert.

Die grafische Darstellung jedes Typs finden Sie unten:

Figur 4. Die Linien entsprechend Ihrem Hang. Quelle: f. Zapata.

Wie wird die Steigung eine Linie berechnet?

Die Berechnung der Steigung ist sehr einfach, Sie müssen nur vertikale Verschiebung und horizontale Verschiebung finden und dann den Quotienten zwischen den beiden machen.

Wenn Sie die Zeichnung der Linie in der kartesischen Ebene haben, wählen diese Verschiebungen zwei Punkte der Linie P aus₁ Und P₂, Bestimmung ihrer Koordinaten und Anwendung der zu Beginn angegebenen Definition:

Kann Ihnen dienen: Was repräsentiert die Länge der Sechseckverschiebung

M = (y - y₁ ) / (X₂ - X₁ )

Da ist der Wert der Steigung unabhängig von der Wahl von p₁ Und P₂ , Wir werden einen Punkt P von Koordinaten (x, y) auswählen, der zur Linie gehört, deren Koordinaten nicht bekannt sind, und einen anderen Punkt P₁ deren Koordinaten sind: (x₁,Und₁).

Der Hang ist:

M = (y - y₁) / (x - x₁)

Wir können das löschen Und:

und und₁ = m (x - x₁)

Nehmen wir nun den Punkt p₁ Es ist der Schnittpunkt der Linie mit der vertikalen Achse der Koordinaten (0, b). Ersetzen Sie dies in der vorherigen Gleichung:

und - b = m (x - 0) → y = mx + b

Dieser Ausdruck ist als Gleichung der Linie in der Form bekannt Anhängig - Kreuzung, Da die Linie eindeutig bestimmt ist, wenn ihre Steigung und ihr Schnitt zur vertikalen Achse bekannt sind.

Zu wissen, dass nur die Steigung ausreicht, um eine Linie in der Ebene zu charakterisieren, da unendliche Gerade den gleichen Hang haben könnte, was bedeutet, dass sie parallel sind, aber andere Punkte durchgehen können.

Gelöste Übungen

- Übung 1

Ermitteln Sie die in der folgende Abbildung gezeigte Steigung der Linie:

Abbildung 5. Durch die Grafik einer Linie werden zwei Punkte ausgewählt, um ihre Steigung zu berechnen. Quelle: f. Zapata.

Lösung

P₁ Und P₂ Sie sind zwei einfache Punkte, die für die Berechnung dienen, und stellt auch fest, dass sie die jeweiligen Kreuzungen mit den Koordinatenachsen sind.

Die Koordinaten jedes Punktes sind:

P₁ (4.0) und p₂ (0,4)

Durch Ersetzen der Steigungsgleichung:

m = (4 - 0) / (0 - 4) = 4 / ( - 4) = -1

Die Steigung ist negativ, was nach der Beobachtung der Grafik erwartet wurde.

Kann Ihnen dienen: Komplexe Zahlen: Eigenschaften, Beispiele, Operationen

- Übung 2

Finden Sie die Gleichung der Linie, die durch den Punkt (1, -6) fließt und parallel zur Linie y = 2x - 3 ist.

Lösung

Die Steigung der gesuchten Linie muss die gleiche sein wie die von y = 2x - 3, wie sie parallel sind. Für diese Zeile ist die Steigung M = 2, daher hat derjenige, den wir suchen, die Form:

und und₁ = 2 (x - x₁)

Jetzt ersetzen wir den Punkt, durch den unsere Linie passt: x₁ = 1 und₁ = -6.

und - (-6) = 2 (x - 1)

Daher y = 2x - 2 - 6 → y = 2x - 8

Beispiele

Zwei Mengen können so zusammenhängen, dass Ihr Diagramm eine gerade Linie ist. In diesem Fall wird gesagt, dass die Mengen eine lineare Abhängigkeit haben und die Steigung der Linie als Grund für die Änderung einer Variablen zur anderen interpretiert werden kann.

Beispiel 1

Angenommen, ein Pool ist mit Wasser zu a gefüllt Rate zeitlich konstant. Je mehr Zeit vergeht, desto mehr Wasser wird es gespeichert. Nun, die Rate, zu der der Pool gefüllt ist, ist genau die Steigung der Linie, die das Volumen auf die Zeit bezieht:

Abbildung 6. Die Neigung als Grund für Veränderungen. Quelle: Stewart, J./PxFuel.

In diesem Beispiel ist der Pool mit einer Rate von 6/3 Gallonen pro Minute oder 2 Gallonen/Minute gefüllt.

Beispiel 2

Wenn sich ein Mobile in einer geraden Linie mit konstanter Geschwindigkeit bewegt, hängt die Steigung des Positionsdiagramms von der Zeit ab als die Geschwindigkeit. Das Diagramm zeigt ein Mobiltelefon mit positiver Geschwindigkeit, was bedeutet, dass es sich vom Ursprung entfernen.

Abbildung 7. Die Steigung des Versus -Zeit -Diagramms ist die Geschwindigkeit des Mobilfunks in einer gleichmäßigen geradlinigen Bewegung. Quelle: Wikimedia Commons/Pixabay.

Verweise

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