Pentadecágono -Elemente, Klassifizierung, Merkmale, Übung

A PentadecGegner Es ist eine flache Figur, die mit fünfzehn direkten Segmenten gebaut wurde und bestimmt. Diese Art von Zahlen heißt Polygon und sie werden nach der Anzahl der Seiten benannt, die haben.

Das Dreieck mit drei Seiten und Viereckern von vier sind Beispiele für sehr vertraute Polygone, aber die Polygone haben möglicherweise mehr Seiten.

Abbildung 1.  Regelmäßiges Pentagon mit roten Eckpunkten. Quelle: Wikimedia Commons.

Die Grundelemente der Pentadecágono sind die gleichen wie bei jedem Polygon, unabhängig von der Anzahl der Seiten, die sie besitzt. Diese Elemente sind:

-Seiten, Welches sind die Segmente, die den Pentadecágono für insgesamt 15 ausmachen.

-Scheitelpunkte, Auch 15, die die Enden der angrenzenden Seiten sind.

-Innere Winkel, Diejenigen, die im Pentadecágono zwischen zwei benachbarten Seiten gebildet werden.

-Externe Winkel, zwischen einer Seite und der Verlängerung einer der aufeinanderfolgenden Seiten gebildet.

-Diagonale, Die Liniensegmente, die zwei nicht -adjazenten Eckpunkte beitreten.

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Einstufung

Ein Pentadecágono kann sein regulär entweder irregulär, Abhängig von der Größe ihrer Seiten und dem Maß seiner inneren Winkel. Wenn Sie alle Seiten und die gleichen Innenwinkel -Quilátero und Equiangle haben - ist es regelmäßig, wie in Abbildung 1 gezeigt, ansonsten ist es unregelmäßig.

Es kann auch als klassifiziert werden als konvex entweder konkav. Ein konkaves Pentagon hat einen oder mehrere innere Winkel von mehr als 180 °, während man immer konvexe Winkel von weniger als 180 ° hat. Das reguläre Pentagon ist konvex.

Ein weiteres Klassifizierungskriterium wird berücksichtigt, wenn seine nicht aufeinanderfolgenden Seiten - oder deren Erweiterungen - geschnitten werden oder nicht. Wenn sie nicht geschnitten werden, wie im Fall von Abbildung 1, wird gesagt, dass es sich um ein einfaches Pentadecágon handelt. Und wenn sie geschnitten werden, dann ist es komplex.

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Das reguläre Pentagon

Das reguläre Pentagon, dessen Seiten und Innenwinkel das gleiche Maß haben, ist eine Figur großer Symmetrie, da die folgenden zusätzlichen Elemente für die zuvor beschriebenen definiert sind:

-Center: Der Punkt, den die Equidista der Eckpunkte und die Seiten entsprechen.

-Radio: Die Entfernung vom Zentrum zu einem der regulären Pentagon -Scheitelpunkte.

-Zentralwinkel: Derjenige, der seinen Scheitelpunkt in der Mitte der Figur hat und seine Seiten durch zwei benachbarte Scheitelpunkte gehen.

-Apothema, Es ist das senkrechte Segment, das sich mit der Mitte der Figur in die Mitte einer Seite verbindet.

Figur 2. Zentrum, Apothem, Radio und bemerkenswerte Winkel eines Pentadecágono. Quelle: Wikimedia Commons/f. Zapata.

- Eigenschaften des regulären Pentagon

Innere Winkel

Die folgende Formel wird verwendet, um die Maßnahme I der inneren Winkel eines normalen Polygons zu berechnen, wo N Es ist die Anzahl der Seiten:

In dieser Formel, der Maßnahme I wird in Grad erhältlich, um sie in Radianes auszudrücken, wird es mit dem π/180 -Faktor multipliziert. Mal sehen, was das Maß für die inneren Winkel des regulären Pentagon ist und n = 15 ersetzt:

I = [(15-2) × 180º]/15 = 156º

Äquivalent zu 13π/15 Radiern. Da die inneren Winkel des regulären Pentagons weniger als 180 ° sind, ist es ein konvexes Polygon.

Summe der inneren Winkel

Es ist möglich, die Summe der inneren Winkel nach der folgenden Formel zu berechnen:

S = (N-2) x 180º

Wie immer repräsentiert N die Anzahl der Seiten. Diese Formel gilt für n = 3, 4, 5 .. .

N = 15 machen wir:

S = (15 - 2) x 180º = 2340º

Externe Winkel

Ein innerer Winkel und ein externer Winkel sind ergänzend, dh seine Summe beträgt 180 °, wie in Abbildung 2 angegeben. Daher misst ein äußerer Winkel der Pentadecágono:

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180 º - 156º = 24º.

Umfang und Bereich

Der Umfang ist das Maß für die Polygonkontur und fügt leicht alle Seiten hinzu. Ja Zu Es ist die Länge der Seite, es reicht aus, um sich mit zu vermehren N, Die Anzahl der Seiten.

Für ein normales Pentagon von Seite A ist der Umfang P::

P = 15a

Wenn es sich um eine unregelmäßige Figur handelt, in der sich das Maß der Seiten unterscheidet, fügt der Umfang die Länge aller Seiten hinzu.

Was die Fläche betrifft, können wir ihn auf verschiedene Weise berechnen. Zum Beispiel haben wir die Formel, mit der Sie sie erhalten können, die Länge A seiner Seiten zu kennen:

Durch die Durchführung der angegebenen Operationen bleibt es ungefähr:

A = 17.6426 ·²

Es gibt eine andere Option, die auf reguläre Polygone anwendbar ist. Es geht darum, sie in Grunddreiecke zu unterteilen, die dem Polygon gleich sind, um. Die Höhe des Dreiecks ist die Länge des Apothems l_ZU, oben definiert.

Die Fläche des Dreiecks wird mit der gut bekannten Formel berechnet: Basis x Höhe /2. Auf diese Weise lautet der einzelnen Dreiecksbereich:

Bereich = a. L_ZU /2

Um die Gesamtfläche des Polygons zu haben, reicht es aus, sich mit der Anzahl der Seiten n zu multiplizieren, was in diesem Fall 15 beträgt:

A = 15 · a · l_ZU /2

Und da der Umfang der Figur P = 15º ist, dann:

A = p · l_ZU /2

Diagonale

Die Diagonalen sind die Segmente, die zwei nicht aufeinanderfolgende Scheitelpunkte vereinen, wie oben angegeben. Zu wissen, wie viele Diagonalen ein reguläres Polygon hat N Seiten, einschließlich Pentadecágono, gibt es die folgende Formel:

Wobei D die Anzahl der Diagonalen ist.

Jetzt ersetzen wir n = 15, um die Gesamtdiagonalen zu erhalten:

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D = [15 × (15-3)]/2 = 90 Diagonalen.

Konstruktion mit Regel und Kompass

Pentadecágono wird mit Regel und Kompass aus einem Umfang ausgebaut. Der 360º muss in 15 gleiche Teile von jeweils 24 ° unterteilt werden. Zunächst werden die in der Animation angegebenen Hilfskonstruktionen durchgeführt, um einen Winkel von 60 ° zu erhalten, der sich in die Abteilung in 36 ° und 24 ° unterteilt.

Figur 3. Konstruktion mit Herrschaft und Kompass eines regulären Pentagon. Quelle: Wikimedia Commons.

Übung gelöst

Wenn der Umfang eines in einem Radius -Kreis registrierten Pentadecágono 12,56 cm beträgt. Berechnung:

a) das Radio.

b) Ihre Gegend.

Figur 4. Pentadecágono: Zentralwinkel, innerer Winkel und rotes Apothema. Quelle: Wikimedia Commons/f. Zapata.

Lösung für

Der Umkreis ist p = 1500 = 12.56 cm, deshalb die Seite von Pentadecágono ist 0.8373 cm. Das Radio Wir können es mit Hilfe eines der Dreiecke in Abbildung 4 berechnen.

Das Apothem l_ZU Entspricht der Höhe des Dreiecks, das rot gezeichnet ist, was den Winkel von 24 ° in zwei Winkel von jeweils 12 ° unterteilt.

Es gibt zwei rechte Dreiecke mit einem inneren Winkel von jeweils 12 °, und auf jeden können wir Trigonometrie anwenden, um die Hypotenuse zu finden, die die Länge r des Radius ist.

Hier entlang:

Sen 12º = (a /2) /r

R = (a /2) /sen 12º = (0).8373 cm / 2) / sen12º = 2.01 cm.

Lösung b

Wir können den Pentadecágono -Bereich unter Verwendung der Formel berechnen:

A = p · l_ZU /2

Wir kennen bereits den Umfang p = 12.56 cm und die Länge des Apothems wird durch die Tangente oder den 12º -Kosinus berechnet:

Cos 12º = l_ZU / R

L_ZU = R. cos 12 º = 2.01 cm. cos 12 º = 1.97 cm

Austausch:

A = 12.56 cm · 1.97 cm /2 = 12.35 cm²

Verweise

1. Alexander, d. 2013. Geometrie. 5. Auflage. Cengage Lernen.
2. Mathematik lernen. Geometrische Figuren. Erholt von: Rodrigoanchorena.Wixsit.com.
3. Sangaku -Mathematik. Elemente eines Polygons und seiner Klassifizierung. Erholt von: Sangakoo.com.
4. Wikipedia. Pentadecágono. Geborgen von: ist.Wikipedia.Org.
5. Wolfram Math World. Pentadecagon. Erholt von: Mathworld.Wolfram.com.