Demonstration der kreisförmigen Permutationen, Beispiele, Übungen gelöst

Der Kreisförmige Permutationen Sie sind verschiedene Arten von Gruppen aller Elemente eines Satzes, wenn sie im Kreis bestellt werden müssen. In dieser Art von Permutation werden die Ordenimporte und die Elemente nicht wiederholt.

Angenommen, Sie möchten beispielsweise die Anzahl der anderen Anordnungen als die Ziffern von eins bis vier wissen, um jede Zahl in einen der Eckpunkte eines Rhombus zu setzen. Dies wären insgesamt 6 Arrangements:

Es sollte nicht verwechselt werden, dass die Nummer eins in allen Fällen als feste Position in der oberen Position des Rhombus liegt. Kreislaufpermutationen ändern sich aufgrund der Wende der Anordnung nicht. Das Folgende ist eine oder dieselbe Permutation:

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Demonstration und Formeln

Im Beispiel der verschiedenen kreisförmigen Anordnungen von 4 Ziffern, die sich in den Eckpunkten eines Rhombus befinden, ist die Anzahl der Anordnungen (6) wie folgt zu finden:

1- In jedem der vier Ziffern wird in einem der Eckpunkte als Ausgangspunkt angenommen und der nächste Scheitelpunkt wird fortgeschritten. (Es ist gleichgültig, wenn es in Richtung der Uhr oder in die entgegengesetzte Richtung zur Uhr gedreht wird)

2- Es gibt 3 Optionen, um den zweiten Scheitelpunkt auszuwählen. Dann gibt es zwei Optionen zum Auswählen des dritten Scheitelpunkts und natürlich gibt es nur eine Auswahloption für den vierten Scheitelpunkt.

3- Somit wird die Anzahl der kreisförmigen Permutationen, die mit (4 - 1) P (4 - 1) bezeichnet werden, durch das Produkt der Auswahloptionen in jeder Position erhalten:

.

Im Allgemeinen ist die Anzahl der kreisförmigen Permutationen, die mit allen N -Elementen eines Satzes erreicht werden können,:

(N - 1) p (n - 1) = (n - 1)!  = (N - 1) (n - 2)… (2) (1)

Überprüfen Sie das (n -1)!  Es ist als faktorial bekannt und wird das Produkt aller Zahlen aus der Nummer (n -1) bis Nummer eins abkürzen, beide enthalten.

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Beispiele

Beispiel 1

Wie viele verschiedene Möglichkeiten haben 6 Personen, die an einem kreisförmigen Tisch sitzen können??

Sie möchten die Anzahl der verschiedenen Möglichkeiten finden, wie 6 Personen um einen runden Tisch sitzen können.

N ° Sitzen = (6 - 1) P (6 - 1) = (6 - 1)!

Anzahl der Sitzen = 5*4*3*2*1 = 120 verschiedene Wege

Beispiel 2

Wie viele verschiedene Möglichkeiten haben 5 Personen, die sich auf den Eckpunkten eines Pentagon befinden, um sich zu befinden?

Die Anzahl der Möglichkeiten, wie sich 5 Personen in jedem der Eckpunkte eines Pentagon befinden können.

N ° von Möglichkeiten, sich zu befinden, = (5 - 1) P (5 - 1) = (5 - 1)!

N ° von Möglichkeiten, sich zu befinden = 4*3*2*1 = 24 verschiedene Formen

Gelöste Übungen

- Übung 1

Ein Juwelier erwirbt 12 verschiedene Edelsteine, um sie an den Stunden einer Uhr zu finden, die sich auf das königliche Haus eines europäischen Landes vorbereitet.

a) Wie viele verschiedene Möglichkeiten haben Sie, die Steine ​​auf der Uhr zu bestellen?

b) Wie viele verschiedene Formen haben Sie, wenn der Stein, der mit 12 ist, einzigartig ist?

c) Wie viele verschiedene Formen, wenn der Stein der 12 einzigartig ist und die Steine ​​der anderen drei Kardinalpunkte 3, 6 und 9; Es gibt drei bestimmte Steine, die ausgetauscht werden können, und der Rest der Stunden wird dem Rest der Steine ​​zugeordnet?

Lösungen

a) die Anzahl der Möglichkeiten, alle Steine ​​zu bestellen; Das heißt.

Anzahl der Anordnungen in der Uhr = (12 - 1) P (12 - 1) = (12 - 1)!

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Anzahl der Anordnungen in der Uhr = 11*10*9*8*7*6*5*4*3*2*1

N ° der Anordnungen in der Uhr = 39976800 verschiedene Formen

b) fragt sich, wie viele verschiedene Ordnungsweisen wissen, dass der Stein des Griffs der 12 einzigartig und fest ist; Das heißt.

N ° der Anordnungen in der Uhr = (11 - 1) p (11 - 1) = (11 - 1)!

Anzahl der Anordnungen in der Uhr = 10*9*8*7*6*5*4*3*2*1

N ° der Anordnungen in der Uhr = 3628800 verschiedene Formen

c) Schließlich wird die Anzahl der Möglichkeiten, alle Steine ​​zu bestellen, mit Ausnahme des Steins der 12, die festgelegt sind, die Steine ​​der 3, 6 und 9, die 3 Steine ​​haben, die zugewiesen werden müssen; das heißt 3! Anordnungsmöglichkeiten und die Anzahl der kreisförmigen Anordnungen mit den verbleibenden 8 Steinen.

N ° der Anordnungen in der Uhr = 3!*[(8-1) P (8-1)] = 3!*(8-1)!

Anzahl der Anordnungen in der Uhr = (3*2*1) (8*7*6*5*4*3*2*1)

N ° der Anordnungen in der Uhr = 241920 verschiedene Formen

- Übung 2

Der Lenkungsausschuss eines Unternehmens besteht aus 8 Mitgliedern und trifft sich auf einem ovalen Tisch.

a) Wie viele verschiedene Planungsformen rund um den Tisch haben das Komitee?

b) Angenommen, der Präsident sitzt in einer Vereinbarung des Ausschusses im Tischleiter, wie viele verschiedene Planungsformen der Rest des Ausschusses haben?

c) Angenommen, der Vizepräsident und der Sekretär fühlen in jeder Vereinbarung des Ausschusses, wie viele verschiedene Planungsformen der Rest des Ausschusses betreiben?

Lösungen

a) Sie möchten die Anzahl der verschiedenen Möglichkeiten finden, die 12 Mitglieder des Ausschusses rund um den ovalen Tisch zu bestellen.

Ausschussvereinbarungen Nr. (12 - 1) P (12 - 1) = (12 - 1)!

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Ausschussvereinbarnungsnummer = 11*10*9*8*7*6*5*4*3*2*1

Ausschussvereinbarnungsnummer = 39976800 verschiedene Formen

b) Da sich der Präsident des Ausschusses in einer festen Position befindet.

Ausschussvereinbarungen Nr. (11 - 1) P (11 - 1) = (11 - 1)!

Ausschussvereinbarnungsnummer = 10*9*8*7*6*5*4*3*2*1

Ausschussvereinbarungen Nr. 3628800 verschiedene Formen

c) Der Präsident befindet sich in einer festen Position und befindet sich an den Seiten der Vizepräsident und der Sekretär mit zwei Möglichkeiten der Vereinbarung: Vizepräsident auf der rechten Seite und Sekretär links oder Vizepräsident links und Sekretär rechts. Dann möchten Sie die Anzahl der verschiedenen Möglichkeiten finden, die verbleibenden 9 Mitglieder des Ausschusses rund um die ovale Tabelle zu ordnen und sich mit den beiden Arrangements zu vermehren, die der Vizepräsident und der Sekretär haben.

Ausschussvereinbarungen Nr. 2*[(9-1) P (9-1)] = 2*[(9-1)!]

Ausschussvereinbarungen Nr. 2*(8*7*6*5*4*3*2*1)

Ausschussvereinbarnungsnummer = 80640 verschiedene Formen

Verweise

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2. Canavos, g. (1988). Wahrscheinlichkeit und Statistik. Anwendungen und Methoden. McGraw-Hill/Interamerikaner aus Mexiko s. ZU. von c. V.
3. Glas, g.; Stanley, J. (neunzehn sechsundneunzig). Statistische Methoden, die nicht auf Sozialwissenschaften angewendet werden. Hispanoamerican Hall Hall s. ZU.
4. Spiegel, m.; Stephens, l. (2008). Statistiken. Vierter Aufl. McGraw-Hill/Interamerikaner aus Mexiko s. ZU.
5. Walpole, r.; Myers, r.; Myers, s.; Ye, Ka. (2007). Wahrscheinlichkeit und Statistik für Ingenieure und Wissenschaftler. Achtel ed. Pearson Education International Prentice Hall.
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