Mathematik

Hexagonale Pyramide

Hexagonale Pyramide
Abbildung 1. Auf der linken Seite eine sechseckige Pyramide und nach rechts sind ihre sieben Seiten im Flugzeug eingesetzt: In der Mitte die sechseckige Basis und um die sechs dreieckigen Gesichter. Quelle: f. Zapata.

Was ist eine sechseckige Pyramide?

Eine hexagonale Pyramide ist eine dreidimensionale geometrische Figur, deren Base Es ist ein Sechseck (sechs Seitigen Polygon) und hat auch sechs Gesichter dreieckig, die in einer bestimmten Höhe der Basis an einem Punkt genannt werden Apex entweder Scheitel.

Insgesamt hat die hexagonale Pyramide sieben Gesichter, wenn die Basis die Seite der Seite ist, so dass es sich auch um ein Polyeder ist, das wie Heptaeder, Wort, das aus der griechischen Sprache abgeleitet ist ("Hept" bedeutet sieben).

Wenn die Dreiecke, die die Seiten bilden gerade Pyramide. Und wenn das Sechseck der Basis abgesehen davon regelmäßig ist, dann ist es ein a Regelmäßige sechseckige Pyramide, Wie in Abbildung 1 gezeigt.

Wenn das Sechseck der Basis nicht regelmäßig ist oder die Dreiecke, die die Gesichter bilden Oblicual Hexagonal Pyramide.

Eigenschaften der sechseckigen Pyramide

Figur 2.- Die sechseckige Pyramide und seine Hauptelemente. Quelle: f. Zapata.

Die Hauptmerkmale und Elemente der sechseckigen Pyramide sind die folgenden:

-Base, Es ist ein Sechseck, das regelmäßig oder unregelmäßig sein kann.

-Gesichter, Sie haben eine Dreiecksform und insgesamt 6.

-Scheitelpunkt oder Apex der Pyramide, Zufallspunkt der sechs dreieckigen Gesichter.

-Rand, Segment, in dem zwei der Pyramidengesichter zusammenfallen. Der seitliche Kanten Sie sind die Zufallssegmente der lateralen Gesichter, während die Ränder der Basis die Segmente sind, in denen eine Seite des Sechsecks zusammenfällt und eine Seite des angrenzenden Dreiecks. In Abbildung 2 wird die Kante mit dem Buchstaben "a" bezeichnet.

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-Höhe, Als "H" bezeichnet, ist es die vom Scheitelpunkt bis zur Basis der Pyramide gemessene Entfernung.

-Pyramidenapotheme, Segment, das den Scheitelpunkt mit dem Mittelpunkt auf einer Seite der Basis verbindet.

-Basisapotheme, Es wird nur definiert, wenn das Sechseck regelmäßig ist. Es besteht aus einem Segment, das sich in die Mitte des Sechsecks mit dem Zentrum eines seiner Seiten verbindet.

Formeln für den Bereich und das Volumen

Die Oberfläche der hexagonalen Pyramide, ob regulär oder unregelmäßig, wird berechnet, indem die Bereiche der Seitenflächen und die Fläche der sechseckigen Basis hinzugefügt werden:

A = aBase + ∑ateuer Seite

In der Formel repräsentiert das Symbol „∑“ eine Summe, um die Summe der sechs Bereiche der seitlichen Gesichter zusammenzufassen.

Für die reguläre sechseckige Pyramide gibt es eine Formel, um den Bereich zu finden:

A = 3L ∙ (APBase + APPyramide)

Wo:

  • L ist ein Rand der Basis (die Seite des Sechsecks).
  • APBase Es ist das Apothem der Basis
  • APPyramide Es ist das Apothem der Pyramide.

Wenn die Pyramide nicht regelmäßig ist, entweder weil die Basis kein normales Sechseck ist oder weil die Pyramide schräg ist, müssen die Bereiche jeder einzelnen separat berechnet und dann hinzufügen.

Die reguläre sechseckige Pyramide hat auch eine Formel für Volumen:

V = l ∙ apBase∙ h

Hier repräsentiert "H" die Höhe der Pyramide.

Und wenn die sechseckige Pyramide nicht regelmäßig ist, gibt es eine allgemeine Formel, die für alle Pyramiden anwendbar ist, um sein Volumen zu berechnen:

V = ⅓ ∙ aBase ∙ h

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Numerisches Beispiel

Für die reguläre sechseckige Pyramide, deren Dimensionen sind:

Basisapothe: 4 cm

Basiskantenlänge: 7 cm

Pyramidenapotheme: 15 cm

Höhe: 10 cm

Berechnen Sie Folgendes:

a) sechseckiger Grundfläche.

b) Oberfläche der Pyramide.

c) das Volumen

Lösung für

Der Bereich eines regulären Sechsecks ist:

A = ½ (Umfang × Apothema) = ½ (6L × APBase)

A = 3l ∙ apBase  = 3 × 7 cm × 4 cm = 84 cm2

Lösung b

A = 3L ∙ (APBase + APPyramide) = 3L ∙ apBase  + 3l ∙ apPyramide = 84 cm2 + (3 × 7 cm × 15 cm) = 399 cm2.

Lösung c

Das Volumen kann durch die allgemeine Formel gefunden werden:

V = ⅓ ∙ aBase ∙ H = ⅓ ∙ 84 cm2 ∙ 10 cm = 280 cm3

Wie man eine sechseckige Pyramide macht?

Materialien

  • Papier, Karton oder Karton.
  • Regel und Kader
  • Graphitstift und farbige Markierungen
  • Schere
  • Kleber für Handwerk.

Verfahren

  1. Übertragen Sie die unten gezeigte Vorlage auf der gewünschten Skala auf Karton oder Karton mit Hilfe von Graphitstift, Regel und Kader. Eine andere Option besteht darin, die Abbildung in einen Dokumenttyp oder eine bearbeitbare Zeichnung zu kopieren und sie zu vergrößern, bis Sie die gewünschten Abmessungen haben.
  2. Sobald die Vorlage auf Papier oder Karton verschoben ist, muss sie mit großer Sorgfalt geschnitten werden.
  3. Biegen Sie nun an den gepunkteten Linien, um die Pyramide zu formen, und stellen Sie sicher, dass die Seiten richtig passen.
  4. Falten Sie auch die Wimpern, vergewissern Sie sich, dass sie gut passen, und fügen Sie dann Kleber hinzu, drücken Sie sie sorgfältig, damit sie an Ort und Stelle sind, und formen Sie die Figur.
  5. Dekorieren Sie die Pyramide mit farbigen Markierungen.
Figur 3.- Vorlage zum Schneiden und Zusammenstellen einer sechseckigen Pyramide. Quelle: f. Zapata.

Beispiele für hexagonale Pyramiden

Nach dem Basissexagon können hexagonale Pyramiden:

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-Konvex, Wenn alle inneren Winkel des Sechsecks weniger als 180 ° sind.

-Konkav, Wenn ein oder mehrere der inneren Winkel des Sechsecks mehr als 180 ° misst.

Die reguläre sechseckige Pyramide von Abbildung 1 ist konvex, da alle inneren Winkel der Basis weniger als 180 ° messen. Um genau zu sein, messen die inneren Winkel des regulären Sechskantes alle 120º.

Danach variiert die Form der hexagonalen Pyramiden, wie damals gezeigt.

Oblicual Hexagonal Pyramide

Im Bild von Abbildung 4 wird eine schräge hexagonale Pyramide beobachtet, deren Basis regelmäßig ist. Beachten Sie das Dreieck, das das Gesicht im Vordergrund bildet, ein Dreieck mit seinen drei verschiedenen Seiten (Skalendreieck), im Gegensatz zu der Pyramide in Abbildung 1, deren Gesichter iosschenkelische Dreiecke sind. Wenn eine Linie vom Scheitelpunkt in die Mitte des Sechsecks gezogen wird, stellt sich heraus, dass sie in Bezug auf die Vertikale geneigt ist.

Figur 4. Beispiel für schräge hexagonale Pyramide. Quelle: f. Zapata durch GeoGebra.

Concava und schräge hexagonale Pyramide

Die Grundlage dieser hexagonalen Pyramide enthält einen inneren Winkel, dessen Maß mehr als 180 ° ist. Daher handelt es sich um eine konkave Pyramide, zusätzlich zu schrägen.

Abbildung 5. Schräge und konkave hexagonale Pyramide. Quelle: f. Zapata durch GeoGebra.