Konvexe Polygondefinition, Elemente, Eigenschaften, Beispiele

A konvexes Polygon Es handelt. Zu seinen Eigenschaften gehören Folgendes:

1) Es besteht aus n aufeinanderfolgenden Segmenten, in denen sich die letzten Segmente dem ersten verbinden. 2) Keine der Segmente wird so gekreuzt, dass die Ebene in einem Innenraum und einem anderen Äußeren abgriffen wird. 3) Jeder der Winkel des inneren Bereichs ist streng niedriger als ein flacher Winkel.

Abbildung 1. Polygone 1, 2 und 6 sind konvex. (Vorbereitet von Ricardo Pérez).

Eine einfache Möglichkeit zu bestimmen, ob ein Polygon konvex ist oder nicht die Linie berücksichtigt, die durch eine seiner Seiten fließt, die zwei Semiplanes bestimmt. Wenn auf jeder Linie, die einerseits passt.

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Elemente eines Polygons

Jedes Polygon besteht aus den folgenden Elementen:

- Seiten

- Scheitelpunkte

Die Seiten sind jeweils aufeinanderfolgende Segmente, aus denen das Polygon besteht. In einem Polygon kann keines der Segmente, die es ausmachen.

Die Eckpunkte sind die Gewerkschaftspunkte von zwei aufeinanderfolgenden Segmenten. In einem Polygon entspricht die Anzahl der Eckpunkte immer der Anzahl der Seiten.

Wenn zwei Seiten oder Segmente eines Polygonkreuzes, haben Sie ein Kreuzpolygon. Der Kreuzungspunkt wird nicht als Scheitelpunkt angesehen. Ein Kreuzpolygon ist ein nicht konvexes Polygon. Die abgestürzten Polygone sind gekreuzte Polygone und daher nicht konvex.

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Wenn ein Polygon alle seine Seiten derselben Länge hat, gibt es dann ein normales Polygon. Alle regulären Polygone sind konvex. 

Konvexe und nicht konvexe Polygone

Abbildung 1 zeigt mehrere Polygone, einige von ihnen sind konvex und andere nicht. Lassen Sie uns sie analysieren:

Nummer 1 ist ein Drei -Seiten -Polygon (Dreieck) und alle inneren Winkel sind weniger als 180 °, daher handelt es sich um ein konvexes Polygon. Alle Dreiecke sind konvexe Polygone.

Die Zahl 2 ist ein vierseitiges Polygon (viereckig), bei dem keiner der Seiten abgefangen wird und auch jeder der Innenwinkel weniger als 180 ° ist. Es ist dann ein vierseitiges konvexes Polygon (konvexes Viereck).

Auf der anderen Seite ist Nummer 3 ein vierseitiges Polygon, aber einer seiner Innenwinkel ist größer als 180 °, sodass es den Konvexitätszustand nicht erfüllt. Das heißt, es ist ein nicht konvexes Polygon, das als konkaves Viereck bezeichnet wird.

Die Zahl 4 ist ein Four -Segment -Polygon (Seiten), von denen zwei abgefangen werden. Die vier Innenwinkel betragen weniger als 180 °, aber als zwei Seiten kreuzen sie sich ein nicht konvexes Kreuzpolygon (Quervierecker).

Ein weiterer Fall ist Nummer 5. Dies ist ein fünfseitiges Polygon.

Schließlich hat die Zahl 6, die auch fünf Seiten hat, alle Innenwinkel von weniger als 180 °, so dass es sich um ein fünfseitiges konvexes Polygon handelt (konvexes Pentagon).

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Konvexe Polygoneigenschaften

1- Ein nicht erbruschtes Polygon oder einfaches Polygon teilt die Ebene, die sie in zwei Regionen enthält. Die Innenregion und die äußere Region sind das Polygon der Grenze zwischen den beiden Regionen.

Wenn das Polygon außerdem konvex ist, gibt es eine innere Region, die einfach verwandt ist. Dies bedeutet, dass die Einnahme von zwei Punkten der inneren Region immer durch ein Segment vereint werden kann, das in seiner Gesamtheit in die innere Region gehört.

Figur 2. Ein konvexes Polygon ist einfach verwandt, während ein Konkav nicht ist. (Vorbereitet von Ricardo Pérez).

2- Der gesamte innere Winkel eines konvexen Polygons ist weniger als ein flacher Winkel (180 °).

3- Alle Innenpunkte eines konvexen Polygons gehören immer zu einer der semidefinierten durch die Linie, die zwei aufeinanderfolgende Scheitelpunkte durchläuft.

4- In einem konvexen Polygon sind alle Diagonalen vollständig im inneren Polygonbereich enthalten.

5- Die inneren Punkte eines konvexen Polygons gehören in seiner Gesamtheit zum konvexen Winkelsektor, der durch jeden inneren Winkel definiert ist.

6- Jedes Polygon, in dem sich alle Eckpunkte auf einem Umfang befinden, ist ein konvexes Polygon, das als zyklisches Polygon bezeichnet wird.

7- Jedes zyklische Polygon ist konvex, aber nicht jedes konvexe Polygon ist zyklisch.

8- Jedes nicht erbruschte Polygon (einfaches Polygon), das alle seine Seiten mit gleicher Länge aufweist, ist konvex und ist als reguläres Polygon bekannt.

Diagonale und Winkel in konvexen Polygonen

9- Die Gesamtzahl der Diagonalen eines konvexen Polygons von N-Seiten ist durch die folgende Formel angegeben:

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N = ½ n (n - 3)

Demonstration: In einem konvexen Polygon der N -Seiten jedes Scheitelpunkts werden n - 3 Diagonalen gezeichnet, da der Scheitelpunkt selbst und die beiden benachbarten ausgeschlossen sind. Da es N -Scheitelpunkte gibt, werden sie in insgesamt n - 2) Diagonalen gezeichnet, aber jede Diagonale wurde zweimal gezeichnet, sodass die Anzahl der Diagonalen (ohne Wiederholung) n (n -2)/2 ist.

10- Die Summe der Innenwinkel eines konvexen Polygons von N-Seiten ist durch die folgende Beziehung angegeben:

S = (n - 2) 180º

Demonstration: N-3-Diagonalen stammen aus einem Scheitelpunkt, der N-2-Dreiecke definiert. Die Summe der inneren Winkel jedes Dreiecks beträgt 180 °. Die Gesamtsumme der N-2-Dreieckswinkel beträgt (N-2)*180º, was mit der Summe der inneren Winkel des Polygons übereinstimmt.

Beispiele

Beispiel 1

Zyklisches Sechseck, es ist ein sechsseitiges Polygon und sechs Eckpunkte, aber alle Scheitelpunkte befinden sich im gleichen Umfang. Alle zyklischen Polygon sind konvex.

Zyklisches Sechseck.

Beispiel 2

Bestimmen Sie den Wert der inneren Winkel einer regulären Engon.

Lösung: Enegon ist ein 9 -seitiges Polygon, aber es reguliert auch alle seine Seiten und Winkel gleich.

Die Summe aller inneren Winkel eines 9 -seitigen Polygons lautet:

S = (9 - 2) 180º = 7 * 180º = 1260º 

Es gibt jedoch 9 interne Winkel gleicher Messung α, daher muss die folgende Gleichheit erfüllt werden:

S = 9 α = 1260º

Von wo aus folgt, ist das α -Maß für jeden inneren Winkel der regulären Engon:

α = 1260º/9 = 140º