Regelmäßige Polygoneneigenschaften, Elemente, Winkel, Beispiele

Der Reguläre Polygone Sie sind diejenigen, die alle Seiten und ihre gleichen inneren Winkel haben. In der folgenden Abbildung gibt es eine Reihe verschiedener Polygone, die flache Zahlen sind, die durch eine geschlossene Kurve begrenzt sind, und nur diejenigen, die hervorgehoben werden, erfüllen die Bedingungen, um regelmäßig zu sein.

Zum Beispiel ist das gleichseitige Dreieck ein reguläres Polygon, da seine drei Seiten genauso messen, ebenso wie seine inneren Winkel, die jeweils 60 º wert sind.

Abbildung 1. Regelmäßige Polygone sind solche, deren Seiten und Innenwinkel gleich sind, wie das gleichseitige Dreieck und das Quadrat. Quelle: Wikimedia Commons.

Das Quadrat ist ein Viereck mit vier Seiten gleicher Maßnahmen und deren innere Winkel 90 ° beträgt. Es folgt das reguläre Pentagon mit fünf Seiten gleicher Größe und fünf inneren Winkeln von jeweils 108 °.

Wenn ein Polygon regelmäßig ist, wird dieses Wort zu seinem besonderen Namen hinzugefügt, so dass wir das reguläre Sechseck, das reguläre Heptagon und so weiter haben.

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Eigenschaften von regulären Polygonen

Die wichtigsten Eigenschaften regulärer Polygone können wie folgt zusammengefasst werden:

-Die Seiten messen dasselbe, deshalb sind sie es Gleichgewicht.

-Sind Gleich, Nun, alle seine inneren Winkel haben eine gleiche Maßnahme.

-Sie können sich immer in einem Umfang registrieren, was bedeutet, dass sie perfekt in einen passen, was genannt wird umschriebener Umfang.

-Für ein reguläres Polygon von N -Seiten ist das Maß eines inneren Winkels α:

α = [180 (n-2)]/n

-N-3)/2 Diagonale können aus den Eckpunkten eines Polygons gezogen werden, ob regelmäßig oder nicht.

-Die Summe von Außenwinkel Es entspricht 360 °.

Figur 2. Registrierter Umfang und Umfang umschrieben dem regulären Polygon. Quelle: f. Zapata.

Elemente eines regulären Polygons

Dann präsentieren wir die Hauptelemente eines regulären Polygons, die in der unteren Figur sichtbar gemacht haben.

Figur 3. Elemente des regulären Polygons. Quelle: f. Zapata.

Scheitel

Gemeinsamer Punkt mit zwei aufeinanderfolgenden Seiten, die als V in der Figur bezeichnet werden.

Seite

Es ist das Segment, das zwei aufeinanderfolgende Eckpunkte des Polygons verbindet und als ℓ oder l bezeichnet wird.

Diagonale

Segment, das zwei nicht aufeinanderfolgende Scheitelpunkte des Polygons verbindet, in der Abbildung ist es als bezeichnet als D.

Center

Es ist das gemeinsame Zentrum des registrierten Umfangs und des umschriebenen Umfangs, der durch den Brief oder gekennzeichnet ist oder. Es kann auch als der einzige Punkt angesehen werden.

Radio

Es ist das Radio R des umschriebenen Umfangs und stimmt mit dem Abstand zwischen O und einem Scheitelpunkt zusammen.

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Apothema

Es wird genannt Apothema zum Radius des in das Polygon eingeschriebenen Umfangs, der in der Figur mit einem Buchstaben dargestellt ist Zu. Das Apothem ist senkrecht zur Seite und vereint dies mit dem Zentrum O (Rotsegment in Abbildung 3).

Kennt der Radius R und die Länge der Seite, das Apothem wird berechnet durch:

Da das Apothem tatsächlich eine der Kategorien eines Rechteckdreiecks ist (siehe Abbildung 3), ist der andere Kateto der Wert von ℓ/2 (die Hälfte einer Seite) und das Hypotenuse das Radio R des Polygons.

Wenn das Pythagoras -Theorem auf das Dreieck angewendet wird, wird diese Gleichung erhalten, die nicht nur für Sechseck, sondern auch für ein reguläres Polygon gültig ist.

Zentralwinkel

Es ist der Winkel, dessen Scheitelpunkt mit dem Zentrum zusammenfällt oder deren Seiten die Segmente sind, die das Zentrum mit zwei aufeinanderfolgenden Eckpunkten vereinen. Seine Maßnahme in sexagesimalen Grad beträgt 360º/n, wo N Es ist die Anzahl der Seiten des Polygons.

Sagita

Es ist der Unterschied zwischen dem Radius des Polygons und dem Apothem (siehe Abbildung 3). Sagita als s:

S = r - a

Umfang und Bereich

Umfang

Es kann leicht berechnet werden, indem die Längen der Seiten hinzugefügt werden. Da jede Seite die gleiche Länge l ist und es N -Seiten gibt, wird der Umfang P ausgedrückt als:

P = n.L

Bereich

In einem regulären Polygon wird das Gebiet A durch das Produkt zwischen dem Semi-Perimeter (Hälfte des Umfangs) und der Apotheme-Länge angegeben Zu.

A = p.A /2

Da der Umfang von der Anzahl der Seiten n abhängt, stellt sich heraus, dass:

A = (nl).A /2

Zwei reguläre Polygone können den gleichen Umfang haben, auch wenn sie nicht die gleiche Anzahl von Seiten haben, da dies dann von der Länge der Seiten abhängen würde.

In Buch V von Your Sammlung, Der Mathematiker Pappus von Alexandria (290-350), der letzte der großen griechischen Mathematiker der Antike, zeigte, dass unter allen regulären Polygonen mit demselben Umfang der mit der größten Fläche mit der größten Anzahl von Seiten ist.

Winkel

Abbildung 4 zeigt die relevanten Winkel in einem regulären Polygon, die mit den griechischen Buchstaben α, β und γ gekennzeichnet sind.

Zentralwinkel

Zuvor erwähnen wir den zentralen Winkel, unter den Elementen des regulären Polygons, der Winkel, dessen Scheitelpunkt sich in der Mitte des Polygons befindet, und die Seiten sind die Segmente, die das Zentrum mit zwei aufeinanderfolgenden Eckpunkten vereinen.

Um das Maß des zentralen Winkels α zu berechnen, wird 360º durch n geteilt, die Anzahl der Seiten. Oder 2π Radians zwischen n:

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α = 360º/n

Äquivalent in Radians zu:

α = 2π /n

Innenwinkel oder innerer Winkel

In Abbildung 4 ist der innere Winkel β derjenige, dessen Scheitelpunkt mit einer der Figuren zusammenfällt und ihre Seiten auch Seiten der Figur sind. Es wird in sexagesimalen Grad berechnet von:

β = [180 (n-2)]/n

Oder in Radians verwenden:

β = [π (n-2)]/n

Externe Winkel

Sie werden durch den griechischen Buchstaben γ bezeichnet. In der Abbildung wird beobachtet, dass γ + β = 180 °. Deshalb:

γ = 180º - β

Die Summe aller externen Winkel zu einem normalen Polygon beträgt 360 °.

Figur 4. Die Winkel in einem regulären Polygon, in diesem Beispiel ein normales Pentagon. Quelle: Wikimedia Commons.

Beispiele für reguläre Polygone

Unten haben wir die ersten 8 regulären Polygone. Wir beobachten, dass das Polygon mit zunehmender Anzahl der Seiten immer mehr zu dem Umfang, in dem sie registriert sind.

Wir können uns vorstellen, dass wir den Umfang erhalten.

Abbildung 5. Die ersten acht regulären Polygone. Quelle: Wikimedia Commons.

- Regelmäßige Polygone im täglichen Leben und in der Natur

Regelmäßige Polygone werden überall im täglichen Leben und sogar in der Natur gefunden. Schauen wir uns einige Beispiele an:

Ampeln

In der Beschilderung, die wir auf Autobahnen und Straßen sehen. In Abbildung 6 sehen wir ein hohes Signalsignal -Signal.

Abbildung 5.- Verkehrssignal mit achteckiger Form. Quelle: Pixabay.

Möbel

Unzählige Möbelstücke sind zum Beispiel quadratisch, als charakteristische geometrische Figur sowie viele Tische, Stühle und Banken sind quadratisch. Ein parallelepiped ist im Allgemeinen eine Schachtel mit rechteckigen Seiten (was kein normales Polygon ist), aber sie können auch quadratisch machen.

Architektur und Konstruktion

Die Fliesen oder Fliesen der Böden und Wände, sowohl in Häusern als auch auf den Straßen, haben oft die Form von regulären Polygonen.

Die Tesel sind Oberflächen, die vollständig mit Kacheln bedeckt sind, die unterschiedliche geometrische Figuren haben. Mit dem Dreieck können das Quadrat und das Sechseck regelmäßig Tesselves hergestellt werden, die nur eine einzelne Art von Figur verwenden, um perfekt zu beschichten, ohne leere Räume (siehe Abbildung 6).

Auch die Gebäude verwenden regelmäßige Polygone in Elementen wie Fenstern und Dekoration.

Abbildung 6. Quadratfliese. Quelle: Pixabay.

- Reguläre Sechsecke in der Natur

Überraschenderweise ist normales Sechseck ein Polygon, das in der Natur häufig auftritt.

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Waben von Bienen zum Speichern von Honig haben eine sehr ungefähre Form zu einem regulären Sechseck. Wie der Pappus von Alexandria beobachtete, optimieren Bienen auf diese Weise den Raum, um so viel Honig wie möglich zu retten.

Und es gibt auch regelmäßige Sechsecke in der Schalen von Schildkröten und Schneeflocken, die auch verschiedene sehr schöne geometrische Formen annehmen.

Übung gelöst

Ein reguläres Sechseck ist Teil eines Halbkreises mit einem Radius von 6 cm, wie in der Abbildung gezeigt. Was ist der Wert des schattierten Bereichs??

Abbildung 7. Ein reguläres Sechseck, das in einem Halbkreis registriert ist. Quelle: f. Zapata.

Lösung

Der schattierte Bereich ist der Unterschied zwischen dem Radius -Halbkreisbereich r = 6 cm und dem vollständigen Sechskantbereich, einem regulären 6 -seitigen Polygon. Wir brauchen also Formeln für den Bereich jeder dieser Figuren.

Halbkreisbereich

ZU₁ = π r² /2 = π (6 cm)² /2 = 18π cm²

Regelmäßiger Sechskantbereich

Die Formel zur Berechnung der Fläche eines regulären Polygons lautet:

A = p.A /2

Wo P Es ist der Umfang und Zu Es ist das Apothem. Da der Umkreis die Summe der Seiten ist, benötigen wir den Wert dieser. Für reguläres Sechseck:

P = 6ℓ

Deshalb:

A = 6ℓa /2

Um den Wert der Seite zu finden ℓ Es ist notwendig, Hilfszahlen zu erstellen, die wir unten erklären werden:

Beginnen wir mit dem kleinen Rechteckdreieck nach links, dessen Hypotenuse ℓ ist. Ein innerer Winkel des Sechsecks ist wert:

α = [180 (n-2)]/n = α = [180 (6-2)]/6 = 120º

Der Radius, den wir in Bisecta Green in diesem Winkel gezogen haben, beträgt der akute Winkel des kleinen Dreiecks 60º. Mit den bereitgestellten Informationen wird dieses Dreieck aufgelöst und findet die hellblaue Seite, die genauso wie das Apothem misst:

Entgegengesetzter Kateto = a = ℓ x sin 60º = ℓ√3 / 2 cm

Dieser Wert ist doppelt so hoch wie das dunkelblaue Bein des großen Dreiecks nach rechts, aber aus diesem Dreieck wissen wir, dass die Hypotenuse 6 cm misst, weil es der Radius des Halbkreises ist. Der verbleibende Kateto (unten) ist ℓ/2 wert, da der Punkt oder in der Mitte der Seite liegt.

Da interne Winkel dieses Dreiecks nicht bekannt sind, können wir den Pythagoras -Theorem für ihn erhöhen:

36 = 3 ℓ² + ℓ² / 4

(13/4) ℓ² = 36 → ℓ = √ (4 x36) /13 cm = 12 /√13 cm

Mit diesem Wert wird das Apothem berechnet:

a = ℓ√3 /2 cm = (12 /√13) x (√3 /2) cm = 6√3 /√13 cm

Rufen wir a an₂ zum regulären Sechseckbereich:

= 28. 8 cm²

Schattierter Figur

ZU₁ - ZU₂ = 18π cm²  - 28.8 cm² = 27.7 cm²

Verweise

1. Baldor, a. 1973. Geometrie und Trigonometrie. Zentralamerikanische kulturelle Redaktion.
2. Genießen Sie die Mathematik. Tesels. Erholt von: genießeMatimaticas.com.
3. UND. ZU. 2003. Geometrieelemente: mit Übungen und Kompassgeometrie. Universität Medellin.
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5. Jiménez, r. 2010. Mathematik ii. Geometrie und Trigonometrie. Zweite Ausgabe. Prentice Hall.
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