Archimedes -Prinzip -Formel, Demonstration, Anwendungen

Er Archimedes Prinzip Er sagt, dass ein völlig oder teilweise untergetauchter Körper eine vertikale Kraft erhält, die genannt wird drücken, das entspricht dem Gewicht des vom Körper verdrängten Flüssigkeitsvolumens. 

Einige Objekte schweben im Wasser, andere sinken und einige tauchen teilweise ein. Um einen Strandball zu versenken. Stattdessen sinkt eine Metallkugel schnell. 

Andererseits scheinen untergetauchte Objekte leichter zu sein, daher wird eine Kraft, die von der Flüssigkeit ausgeübt wird, die dem Gewicht entgegengesetzt ist. Sie können jedoch nicht immer die Schwerkraft ausgleichen. Und obwohl es mit Wasser deutlicher ist, können Gase auch diese Kraft auf die in ihnen eingetauchten Objekte erzeugen.

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Geschichte

Archimedes von Syrakus (287-212 a. C.) Es war derjenige, der dieses Prinzip entdeckt haben muss und einer der größten Wissenschaftler der Geschichte ist. Sie sagen, dass King Hierón II. Von Syrakus einen Goldschmied geschickt hat, um eine neue Krone herzustellen, für die er ihm eine gewisse Menge Gold reichte.

Archimedes

Als der König die neue Krone erhielt, hatte er das richtige Gewicht, aber er vermutete, dass der Goldschmied ihn betrogen hatte, indem er Silber anstelle von Gold hinzufügte. Wie könnte ich es überprüfen, ohne die Krone zu zerstören??

Hierón nannte Archimedes, dessen Ruhm des Gelehrten bekannt war, um ihm zu helfen, das Problem zu lösen. Die Legende bestätigt, dass Archimedes in die Badewanne eingetaucht war, als er die Antwort fand, und so war seine Emotion, dass er nackt durch die Straßen von Syrakus rannte, um nach dem König zu suchen, der "Eureka" schrie, was bedeutet, "ich fand es" ich habe es gefunden. ".

https: // giphy.com/gifs/stito3echtlnbvliz3

Was fanden Archimedes? Nun, wenn er ein Badezimmer mit dem Wasserstand in der Badewanne nimmt, wenn er eintrat, bedeutet dies, dass ein untergetauchter Körper ein bestimmtes Flüssigkeitsvolumen verdrängt.

Und wenn ich die Krone in Wasser untergetaucht habe, musste es auch ein bestimmtes Wasservolumen bewegen, wenn die Krone aus Gold und einem anderen bestand, wenn es aus Silber aus Legierung bestand.

Archimedes -Prinzip -Formel

Die im Archimedes -Prinzip genannten Werbemittel ist als bekannt als als drücken hydrostatisch entweder Flotationskraft Und wie wir gesagt haben, entspricht es dem Gewicht des vom Körper verdrängten Fluidvolumens beim Eintauchen.

Das verdrängte Volumen entspricht dem Volumen des Objekts, das entweder vollständig oder teilweise getaucht ist. Da ist das Gewicht von irgendetwas mg, Und die Masse der Flüssigkeit ist Dichte x Volumen, Leugnen Sie, wie B bis in die Größe des Schubs ist, mathematisch muss er:

B = m_fließend x g = Fluiddichte x untergetauchtes Volumen x Schwerkraft

B = ρ_fließend x v_{untergetaucht} x g

Wo der griechische Buchstabe ρ ("rho") die Dichte bezeichnet.

Das scheinbare Gewicht

Das Gewicht der Objekte wird durch den gut bekannten Ausdruck berechnet mg, Die Dinge fühlen sich jedoch leichter an, wenn sie im Wasser getaucht sind. 

Er scheinbares Gewicht eines Objekts ist das, was es hat, wenn es in Wasser oder eine andere Flüssigkeit eingetaucht ist und es kann.

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Dazu ist es vollständig in Wasser eingetaucht und unter einem Seil, das an a gebunden ist Dynamometer -ein Instrument mit einer Feder, die dazu dient, Kräfte zu messen-. Je größer das Gewicht des Objekts ist, desto größer ist die Dehnung der Feder, die auf einer im Gerät bereitgestellten Skala gemessen wird.

Scheinbares Gewicht eines untergetauchten Objekts. Quelle: Vorbereitet von f. Zapata.

Anwenden von Newtons zweitem Gesetz, der weiß, dass das Objekt in Ruhe steht:

Σf_Und = B + t - w = 0

Das scheinbare Gewicht w_Zu Es entspricht der Spannung am T -Seil:

T = w_Zu

W_Zu = mg - ρ_fließend . V. G

Wenn das untergetauchte Volumen V erforderlich ist, wird es gelöscht wie bei:

V = (w - w_Zu ) / ρ_fließend  . G

Demonstration

https: // giphy.COM/GIFS/MCPHPPGTNPBHL4CGAQ

Wenn ein Körper eintaucht, ist der Schub die Kraft, die sich aus allen Kräften ergibt, die durch den Druck, der durch die umgebende Flüssigkeit verursacht wird, auf den Körper ausgeübt werden:

Freies Körperdiagramm eines untergetauchten Objekts. Quelle: Vorbereitet von f. Zapata.

Druck und Tiefe

Da der Druck mit Tiefe zunimmt, wird das Ergebnis dieser Kräfte immer vertikal nach oben gerichtet. Daher ist das Archimedes -Prinzip eine Folge des grundlegenden Theorems des hydrostatischen z als:

P = ρ.G.z

Kräfte auf einer statischen Gleichgewichtsflüssigkeit

Um das Archimedes -Prinzip zu demonstrieren, wird in Ruhe ein kleiner zylindrischer ruhender Teil eingesetzt. Die Kräfte auf der gekrümmten Oberfläche des Zylinders werden miteinander aufgehoben. 

Ein Teil der Flüssigkeit im Gleichgewicht. Quelle: Vorbereitet von f. Zapata.

Die Größen der vertikalen Kräfte sind F₁ = P₁.A und F₂ = P2.A, da ist das Gewicht W. Da sich die Flüssigkeit im Gleichgewicht befindet, muss die Summe der Kräfte abgesagt werden:

∑f_Und = P₂.A- p₁.A- W = 0

P₂.A- p₁.A = w

Da der Schub das Gewicht kompensiert, da der flüssige Teil in Ruhe ist, dann:

B = p₂.A- p₁.A = w

Aus diesem Ausdruck folgt, dass der Schub auf den Unterschied des Drückens zwischen der oberen Gesichtsfläche des Zylinders und dem unteren Abschnitt zurückzuführen ist. Als W = mg = ρfließend. V. G, Sie müssen:

B = ρ_fließend. V_{untergetaucht}. G

Dies ist genau der Ausdruck für den im vorherigen Abschnitt erwähnten Schub.

Archimedes -Prinzipanwendungen

Luftballons, die schweben: Archimedes -Prinzip in Aktion

Das Archimedes -Prinzip erscheint in vielen praktischen Anwendungen, unter denen wir nennen können:

- Der aerostatische Ballon. Was durch eine durchschnittliche Dichte weniger als die der umgebenden Luft aufweist, schwebt aufgrund der Schubkraft darin darin.

- Die Schiffe. Der Schiffshelm ist schwerer als Wasser. Aber wenn der Rumpf plus die Luft im Inneren betrachtet wird, ist der Quotient zwischen der Gesamtmasse und dem Volumen geringer als der des Wassers, und das ist der Grund, warum die Schiffe schweben.

- Die Lebenswesten. Wenn sie aus Licht- und porösen Materialien gebaut werden, können sie schwimmen, da das Verhältnis von Massenvolumen geringer ist als das von Wasser.

- Das schwebende, um den Füllhahn eines Wassertanks zu schließen. Es handelt.

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Beispiele

Beispiel 1

Die Legende erzählt, dass King Hierón dem Goldschmied eine gewisse Goldmenge gegeben hat, um eine Krone zu machen. Aber wie könnte ich es wissen, ohne die Krone zu zerstören?? 

Der König beauftragte Archimedes und diese, die nach der Lösung suchte, entdeckte seinen berühmten Prinzip.

Angenommen, die Krone wiegt 2,10 kg-F in der Luft und 1,95 kg-f, wenn sie vollständig in Wasser getaucht sind. In diesem Fall gibt es keine Täuschung?

König Herons kronenfreies Körperdiagramm. Quelle: Vorbereitet von f. Zapata

Das Kräftediagramm ist in der vorherigen Abbildung dargestellt. Diese Kräfte sind: das Gewicht P der Krone der Schub UND und die Spannung T des Seils, das an der Skala hängt.

P = 2,10 kg-f und t = 1,95 kg-f ist bekannt, es ist notwendig, die Größe des Schubs zu bestimmen UND:

T + e = p ⇒ e = p - t = (2,10 - 1,95) kg -f = 0,15 kg -f

Andererseits entspricht der Schub nach dem Archimedes -Prinzip dem Gewicht des vertrauten Wassers des von der Krone besetzten Raums, dh der Dichte des Wassers durch das Volumen der Krone aufgrund der Beschleunigung der Schwerkraft :

E = ρ_Wasser≤v·g = 1000 kg/m^3 ≤ V ≤ 9,8 m/s^2 = 0,15 kg ⋅ 9,8 m/s^2

Wo das Kronenvolumen berechnet werden kann:

V = 0,15 kg / 1000 kg / m^3 = 0,00015 m^3

Die Dichte der Krone ist der Quotient zwischen der Masse der Krone aus dem Wasser und dem Volumen:

Kronendichte = 2,10 kg / 0,00015 m^3 = 14000 kg / m^3

Die Dichte von reinem Gold kann durch ein ähnliches Verfahren bestimmt werden und das Ergebnis ist 19300 kg/m^3.

Vergleich der beiden Dichten Es ist offensichtlich, dass die Krone kein reines Gold ist! 

Beispiel 2 

Basierend auf den Daten und dem Ergebnis von Beispiel 1 ist es möglich zu bestimmen.

Wir werden ρc zur Dichte der Krone, ρo zur Dichte von Gold und ρ anrufen_P zur Dichte des Silbers.

Die Gesamtmasse der Krone ist:

M = ρcúv = ρo · vo + ρ_P⋅vp

Das Gesamtvolumen der Krone ist das Silbervolumen plus das Goldvolumen:

V = vo + vp ⇒ vp = v - vo

Ersetzen in der Massengleichung:

ρcëv = ρo · vo + ρ_P≤ (v - vo) ⇒ (ρo - ρ_P) Vo = (ρc - ρ_P) V

Das heißt, dass das Goldvolumen, das die Krone des Gesamtvolumens V enthält, lautet:

Vo = vú (ρc - ρ_P)/(ρo - ρ_P) =…

… = 0,00015 m^3 (14000 - 10500)/(19300 - 10500) = 0,0000596 m^3

Um das Gewicht in Gold zu kennen, das die Krone enthält, multiplizieren wir VO für die Golddichte:

Kann Ihnen dienen: rechte Handregel

MO = 19300 *0,00005966 = 1.1514 kg

Da die Masse der Krone 2,10 kg beträgt, wissen wir, dass 0,94858 kg Gold vom Goldschmied gestohlen und durch Silber ersetzt wurden.

Gelöste Übungen

Übung 1

Ein riesiger Heliumballon kann sich im Gleichgewicht halten (ohne auf eine Person zu gehen oder zu steigen).

Angenommen, das Gewicht der Person sowie der Korb, die Saiten und der Ballon beträgt 70 kg. Was ist das Volumen des Heliums, das dafür erforderlich ist, dass dies geschieht?? Welche Größe wird der Ballon haben??

Lösung

Wir werden annehmen, dass der Schub hauptsächlich durch das Heliumvolumen erzeugt wird und dass der Schub der Rest der Komponenten im Vergleich zu dem des Heliums, das viel mehr Volumen einnimmt, sehr gering ist.

In diesem Fall ist ein Heliumvolumen erforderlich, was einen Gewichtsschub von 70 kg + bereitstellen kann.

Free Body Fdiaogramm voller Helium. Quelle: Vorbereitet von f. Zapata.

Der Schub ist das Produkt des Heliumvolumens aufgrund der Dichte des Heliums aufgrund der Beschleunigung der Schwerkraft. Dieser Schub muss das Gewicht des Heliums plus das Gewicht des Restes ausgleichen.

Da · V·g = da · V·g + m · g

wo es zu dem Schluss kommt, dass v = m / (da - dh)

V = 70 kg / (1.25 - 0,18) kg/m^3 = 65.4 m^3

Das heißt, 65 sind erforderlich.4 m^3 Helium bei atmosphärischem Druck für die Unterstützung.

Wenn wir einen sphärischen Ballon annehmen, können wir den Radius desselben aus der Beziehung zwischen dem Volumen und dem Radius einer Kugel finden:

V = (4/3) · πB^3

Wo r = 2,49 m. Mit anderen Worten, ein 5 -m -Durchmesser voller Helium ist erforderlich.

Übung 2

Material mit niedrigerer Dichte, die Wasser im gleichen schweben. Angenommen, Sie haben Polystyrolwürfel (weißer Kork), Holz und Eis. Seine Dichten in kg pro Kubikmeter sind jeweils: 20, 450 und 915.

Finden Sie heraus, welcher Bruchteil des Gesamtvolumens aus dem Wasser ist und welche Höhe in Bezug auf die Wasseroberfläche als Dichte der letzteren 1000 Kilogramm pro Kubikmeter ausgezeichnet wird.

Lösung 

Die Schwimmfähigkeit tritt auf, wenn das Körpergewicht dem Schub aufgrund von Wasser entspricht:

E = morben

Freies Körperdiagramm eines teilweise untergetauchten Objekts. Quelle: Vorbereitet von f. Zapata.

Gewicht ist die Körperdichte DC multipliziert mit seinem Volumen V und durch die Beschleunigung der Schwerkraft g.

Der Schub ist das Gewicht der verdrängten Flüssigkeit gemäß dem Archimedes -Prinzip und wird berechnet, indem die Dichte des Wassers mit dem untergetauchten Volumen V 'und durch die Beschleunigung der Schwerkraft multipliziert wird.

Das ist:

Deichenv' · g = dc · VX

Dies bedeutet, dass die untergetauchte Volumenanteile dem Quotienten zwischen Körperdichte und Wasserdichte entsprechen.

(V '/v) = (dc/d) 

Das heißt, dass der herausragende Volumenanteil (v "/v) ist

(V "/v) = 1 - (dc/d)

Ja H Es ist die hervorragende Größe und L Die Würfelseite Der Volumenanteil kann geschrieben werden

(H≤ 2)/(l^3) = h/l, Mit anderen Worten, die herausragende Höhenfraktion ist auch

(h/l) = 1 - (dc/d)

Dann sind die Ergebnisse für die angeforderten Materialien:

Polystyrol (weißer Kork):

(H/l) = (v "/v) = 1 - (dc/d) = 1- (20/1000) = 98% kein Wasser mehr

Holz:

(h/l) = (v "/v) = 1 - (dc/d) = 1- (450/1000) = 55% kein Wasser mehr

Eis:

(h/l) = (v "/v) = 1 - (dc/d) = 1- (915/1000) = 8.5% kein Wasser mehr

Verweise

1. Bauer, w. 2011. Physik für Ingenieurwesen und Wissenschaften. Band 1. Mc Graw Hill. 417-455.
2. Cengel Y, Cimbala J. 2011.Strömungsmechanik. Grundlagen und Bewerbungen. Erste Ausgabe. McGraw Hill.
3. Figueroa, d. (2005). Serie: Physik für Wissenschaft und Ingenieurwesen. Band 4. Flüssigkeiten und Thermodynamik. Herausgegeben von Douglas Figueroa (USB). 1 - 42.
4. Giles, r. 2010. Flüssigkeits- und Hydraulikmechanik. McGraw Hill. 
5. Rex, a. 2011. Grundlagen der Physik. Pearson. 239-263.
6. Tippens, p. 2011. Physik: Konzepte und Anwendungen. 7. Ausgabe. McGraw Hill.