Multiplikative Prinzipentechniken und Beispiele

Was ist das multiplikative Prinzip?

Er multiplikatives Prinzip Es ist eine Technik, die verwendet wird, um Zählprobleme zu lösen, um die Lösung zu finden, ohne dass sie erforderlich ist, um ihre Elemente aufzulisten. Es ist auch als Grundprinzip der kombinatorischen Analyse bekannt; Es basiert auf einer aufeinanderfolgenden Multiplikation, um zu bestimmen, wie ein Ereignis auftreten kann.

Dieses Prinzip legt das fest, dass, wenn eine Entscheidung (D₁) Es kann auf n Arten und eine andere Entscheidung genommen werden (D₂) Mneras können genommen werden, die Gesamtzahl der Möglichkeiten, wie Entscheidungen getroffen werden können₁ und d₂ Es wird dasselbe wie Multiplizieren von n sein _* M. Nach dem Prinzip wird jede Entscheidung nach der anderen getroffen: Anzahl der Wege = n_{1 *} N₂.. _* N_X Wege.

Beispiele

Beispiel 1

Paula plant, mit ihren Freunden ins Kino zu gehen und die Kleidung zu wählen, die sie tragen wird, trennen 3 Blusen und 2 Röcke. Wie viele Möglichkeiten können sich Paula verkleiden?

• Lösung

In diesem Fall muss Paula zwei Entscheidungen treffen:

D₁ = Wählen Sie zwischen 3 Blusen = n

D₂ = Wählen Sie zwischen 2 Röcken = m

Auf diese Weise hat Paula n n _* m Entscheidungen zu treffen oder verschiedene Arten des Anziehens.

N _* M = 3_* 2 = 6 Entscheidungen.

Das multiplikative Prinzip wird aus der Baumdiagrammtechnik geboren, bei der es sich um ein Diagramm handelt, das alle möglichen Ergebnisse erzählt.

Beispiel 2

Mario war sehr durstig, also ging er in die Bäckerei, um einen Saft zu kaufen. Luis dient ihm und sagt ihm, dass er in zwei Größen hat: groß und klein; und vier Geschmacksrichtungen: Apfel, Orange, Zitrone und Trauben. Wie viele Möglichkeiten kann Mario den Saft wählen?

• Lösung

Im Diagramm ist zu erkennen, dass Mario 8 verschiedene Möglichkeiten zur Auswahl des Saft_*M. Der einzige Unterschied besteht darin, dass Sie durch dieses Diagramm wissen können, wie Mario den Saft wählt.

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Auf der anderen Seite ist es praktischer, das multiplikative Prinzip zu verwenden, wenn die Anzahl der möglichen Ergebnisse sehr groß ist.

Zähltechniken

Zähltechniken sind Methoden, die zur direkten Anzahl verwendet werden, und kennen somit die Anzahl der möglichen Arrangements, die die Elemente eines bestimmten Satzes haben können. Diese Techniken basieren auf mehreren Prinzipien:

Additionsprinzip

Dieses Prinzip legt fest, dass, wenn zwei M- und N -Ereignisse nicht gleichzeitig auftreten können, die Anzahl der Möglichkeiten, wie das erste oder zweite Ereignis die Summe von M + N ist:

Anzahl der Formen = M + N ... + x verschiedene Formen.

Beispiel

Antonio möchte eine Reise machen, entscheidet jedoch nicht, welches Ziel; In der South Tourism Agency bieten sie eine Beförderung, um nach New York oder Las Vegas zu reisen, während die Eastern Tourism Agency empfiehlt, nach Frankreich, Italien oder Spanien zu reisen. Wie viele verschiedene Reisealternativen bieten Antonio an?

Lösung

Mit der Southern Tourism Agency hat Antonio 2 Alternativen (New York oder Las Vegas), während es mit der Eastern Tourism Agency 3 Optionen (Frankreich, Italien oder Spanien) hat. Die Anzahl verschiedener Alternativen ist:

Anzahl der Alternativen = m + n = 2 + 3 = 5 Alternativen.

Permutationsprinzip

Es geht darum, alle oder einige der Elemente, die einen Satz bilden, speziell zu bestellen, um die Zählung aller möglichen Arrangements zu erleichtern, die mit den Elementen getroffen werden können.

Die Anzahl der Permutationen von n verschiedenen Elementen, die auf einmal genommen wurden, wird als:

_NP_N = n!

Beispiel

Vier Freunde möchten ein Foto machen und wissen, wie viele verschiedene Arten bestellt werden können.

Lösung

Sie möchten den Satz aller möglichen Möglichkeiten wissen, wie die 4 Personen platziert werden können, um das Foto aufzunehmen. So müssen Sie:

₄P₄ = 4! = 4_*3_*2_*1 = 24 verschiedene Wege.

Wenn die Anzahl der verfügbaren N -Elemente von Teilen eines Satzes erstellt wird, das durch R -Elemente gebildet wird, wird sie als:

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_NP_{R =} N! ÷ (n - r)!

Beispiel

In einem Klassenzimmer haben Sie 10 Positionen. Wenn 4 Schüler für den Unterricht teilnehmen, wie viele verschiedene Möglichkeiten, wie Schüler die Positionen einnehmen können?

Lösung

Die Gesamtzahl der festgelegten Stühle beträgt 10 und diese werden nur verwendet 4. Die angegebene Formel wird angewendet, um die Anzahl der Permutationen zu bestimmen:

_NP_R = n! ÷ (n - r)!

₁₀P₄ = 10! ÷ (10 - 4)!

₁₀P₄ = 10! ÷ 6!

₁₀P₄= 10_* 9_*8_*7_*6_*5_*4_*3_*2_*1 ÷ 6_*5_*4_*3_*2_*1 = 5040 Möglichkeiten, um die Positionen zu besetzen.

Es gibt Fälle, in denen einige der verfügbaren Elemente eines Satzes wiederholt werden (sie sind gleich). So berechnen Sie die Anzahl der Anordnungen, die alle Elemente gleichzeitig einnehmen, die folgende Formel wird verwendet:

_NP_R = n! ÷ n₁!_* N₂!… N_R!

Beispiel

Wie viele verschiedene Wörter von vier Buchstaben können aus dem Wort "Wolf" gebildet werden?

Lösung

In diesem Fall gibt es 4 Elemente (Buchstaben), von denen zwei genau gleich sind. Wenn Sie die angegebene Formel anwenden, ist bekannt, wie viele verschiedene Wörter sind:

_NP_R = n! ÷ n₁!_* N₂!… N_R!

₄P_{2, 1.1} = 4! ÷ 2!_*1!_*1!

₄P_{2, 1, 1} = (4_*3_*2_*1) ÷ (2_*1)_*1_*1

₄P_{2, 1, 1} = 24 ÷ 2 = 12 verschiedene Wörter.

Kombinationsprinzip

Es geht darum, alle oder einige Elemente zu reparieren, die einen Satz ohne bestimmte Reihenfolge bilden. Wenn Sie beispielsweise eine XYZ -Anordnung haben, ist dies unter anderem mit ZXY-, YZX- und ZYX -Arrangements identisch. Dies liegt daran, dass die Elemente der einzelnen Arrangement.

Wenn einige Elemente (r) des Satzes (n) genommen werden, wird das Kombinationsprinzip durch die folgende Formel angegeben:

_NC_{R =} N! ÷ (n - r)!R!

Beispiel

In einem Geschäft verkaufen sie 5 verschiedene Arten von Schokolade. Wie viele verschiedene Arten können 4 Pralinen ausgewählt werden?

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Lösung

In diesem Fall müssen Sie 4 Pralinen der 5 Typen auswählen, die im Geschäft verkauft werden. Die Reihenfolge, in der sie ausgewählt werden, spielt keine Rolle, und außerdem kann eine Art Schokolade mehr als zweimal ausgewählt werden. Wenn Sie die Formel anwenden, müssen Sie:

_NC_R = n! ÷ (n - r)!R!

₅C₄ = 5! ÷ (5 - 4)! 4!

₅C₄ = 5! ÷ (1)!4!

₅C₄ = 5_*4_*3_*2_*1 ÷ 4_*3_*2_*1

₅C₄ = 120 ÷ 24 = 5 verschiedene Möglichkeiten der Auswahl von 4 Pralinen.

Wenn alle Elemente (r) des Satzes (n) genommen werden, wird das Prinzip der Kombination durch die folgende Formel angegeben:

_NC_{n =} N!

Gelöste Übungen

Übung 1

Sie haben ein Baseballteam mit 14 Mitgliedern. Wie viele Möglichkeiten können 5 Positionen für ein Spiel zugewiesen werden?

• Lösung

Das Set besteht aus 14 Elementen und Sie möchten 5 spezifische Positionen zuweisen. Das heißt, die Bestellung ist wichtig. Die Permutationsformel wird angewendet, wenn N -Elemente von Teilen eines Sets erstellt werden, das von R gebildet wird.

_NP_{R =} N! ÷ (n - r)!

Wobei n = 14 und r = 5. Es wird in der Formel ersetzt:

₁₄P₅ = 14! ÷ (14 - 5)!

₁₄P₅ = 14! ÷ (9)!

₁₄P₅ = 240 240 Möglichkeiten, die 9 Spielpositionen zuzuweisen.

Übung 2

Wenn eine Familie von 9 Mitgliedern eine Reise unternimmt und ihre Tickets mit aufeinanderfolgenden Positionen kauft, wie viele verschiedene Möglichkeiten können sitzen können?

• Lösung

Dies sind 9 Elemente, die 9 Sitze nacheinander besetzen werden.

P₉ = 9!

P₉ = 9_*8_*7_*6_*5_*4_*3_*2_*1 = 362 880 verschiedene Sitzenmethoden.

Verweise

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3. Lutfiyya, l. ZU. (2012). Endlicher und diskreter Mathematik -Problemlöser. Redakteure der Forschungs- und Bildungsvereinigung.
4. Padró, f. C. (2001). Diskrete Mathematik. Politèc. von Katalonien.
5. Steiner, e. (2005). Mathematik für angewandte Wissenschaften. Reverte.