Klassische Wahrscheinlichkeitsberechnung, Beispiele, gelöste Übungen

Der Klassische Wahrscheinlichkeit Es ist ein besonderer Fall der Berechnung der Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses. Es ist definiert als der Quotient zwischen den für dieses Ereignis günstigen Ereignis. Die klassische Wahrscheinlichkeit wird auch als priori -Wahrscheinlichkeit oder theoretische Wahrscheinlichkeit bezeichnet.

Der Wunsch, Dinge zu antizipieren, ist jederzeit Teil der menschlichen Natur: Wir alle fragen uns, ob es am nächsten Tag regnen wird oder ob eine bestimmte Fußballmannschaft in der ersten Saison in der ersten Division spielen wird oder nicht. Es gibt archäologische Beweise dafür, dass Menschen gegen 40 Spielen gespielt haben.000 Jahre.

Definition des Konzepts der klassischen Wahrscheinlichkeit

Das erste Buch über die Wahrscheinlichkeiten ist jedoch auf die niederländischen Astronomer Christian Huygens zurückzuführen Argumentation im Zusammenhang mit dem Würfelspiel. Wie wir sehen, hat die klassische Wahrscheinlichkeit ihren Ursprung in den Spielen des Zufalls.

Der Würfel hat eine lange Geschichte, es ist ein Kubikstück, dessen Gesichter mit Punkten von eins bis sechs gezählt sind. Indem nur ein ehrlicher Würfel gestartet wird: Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, wie man herauskommt, beispielsweise eine fünf?

Es ist sehr einfach: Es gibt nur ein Gesicht zwischen 6 mit fünf Punkten, daher ist die Wahrscheinlichkeit p:

P = 1/6

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Berechnung der klassischen Wahrscheinlichkeit

Diese Möglichkeit zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist eine Anwendung der Laplace-Regel, die ursprünglich 1812 vom französischen Mathematiker Pierre de Laplace (1749-1827) angegeben wurde.

Die Laplace -Regel wird zur klassischen Wahrscheinlichkeit verwendet, um die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses zu berechnen. Quelle: f. Zapata.

Seien Sie ein Ereignis, von dem wir die Wahrscheinlichkeit des Auftretens von P (a) wissen wollen, dann:

P (a) = Anzahl der Fälle, die für die Ereignis a / Anzahl möglicher Fälle günstig sind

Das Ergebnis dieser Operation ist immer eine positive Zahl zwischen 0 und 1. Wenn ein Ereignis eine Wahrscheinlichkeit des Auftretens hat, bedeutet dies, dass es nicht passieren wird.

Wenn die Wahrscheinlichkeit des Auftretens gleich 1 ist, bedeutet dies, dass es in irgendeiner Form geschieht und in jedem Fall die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ereignis auftritt, mit der Wahrscheinlichkeit, dass es nicht vorkommt, gleich 1 ist :

Hier haben wir die Wahrscheinlichkeit bezeichnet, dass Ereignis A nicht durch eine Balken auf den Buchstaben auftritt.

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Offensichtlich hat eine der 6 Gesichter in einem legalen Würfel die gleiche Wahrscheinlichkeit des Verlassens, daher muss die Wahrscheinlichkeit, ein Gesicht mit 5 zu erhalten, 1/6 betragen.

Ein wichtiges Detail ist wie folgt: Um die Laplace -Regel anzuwenden, muss die Anzahl der möglichen Fälle endlich sein, dh wir müssen in der Lage sein, ihnen zu sagen und eine natürliche Zahl zu erhalten.

Im Beispiel der Würfel gibt es 6 mögliche Fälle und ein einzelnes günstiges Ereignis. Die Anzahl möglicher Fälle heißt Probenraum.

Bei der Anwendung der Laplace -Regel ist es zweckmäßig, den Stichprobenraum, einschließlich aller möglichen Ereignisse, dh vollständig und ordentlich zu analysieren, damit kein Ereignis entkommt, um berücksichtigt zu werden, um zu berücksichtigen.

Der Beispielraum und die Ereignisse

Der Stichprobenraum wird normalerweise mit dem Buchstaben S oder dem griechischen Buchstaben ω (Capital Omega) bezeichnet und war ein von Galileo eingeführter Konzept.

Ein Würfelspieler fragte die Weisen, weil es schwieriger ist, einen 9 -Würfel zu erhalten, der drei Würfel startet als 10, dann berechnete Galileo die möglichen Möglichkeiten, eine 9 zu erhalten. Schließlich berechnete er die jeweiligen Wahrscheinlichkeiten und stellte fest, dass p (9), dass praktisch P (9) < P (10).

Probenraum mit wenigen Elementen

Wenn der Beispielraum aus wenigen Elementen besteht, werden diese als Set aufgeführt. Angenommen, Sie möchten die Wahrscheinlichkeit finden, dass in einer Familie mit zwei Kindern beide gleichgeschlechtlich sind.

Wir können die klassische Wahrscheinlichkeit anwenden, um den Probenraum korrekt zu bestimmen. Wenn M = Frau und H = Mann, lautet der Probenraum der Kinder:

S = (m, m), (h, h), (m, h), (h, m)

Jedes Element des Stichprobenraums ist ein Ereignis, zum Beispiel das Ereignis (m, m) bedeutet, dass die beiden Kinder dieser Familie Frauen sind.

Der Probenraum zu haben, ist die Berechnung der angeforderten Wahrscheinlichkeit sehr einfach, da es nur 2 günstige Fälle zwischen 4 gibt, so dass beide Kinder gleichgeschlechtlich sind: (m, m) und (h, h), daher:

P (beide Kinder des gleichen Geschlechts) = 2/4 = 0.5

Probenraum mit vielen Elementen

Wenn der Beispielraum aus vielen Elementen besteht, ist es besser, eine allgemeine Regel zu geben, um ihn zu finden. Wenn T beispielsweise die Nutzungsdauer eines Teams ist, lautet der Beispielraum:

S = T∕T ≥ 0

Dass es so liest: "Alle Werte von t, so dass t größer oder gleich 0 ist". Ein Ereignis dieses Raums könnte sein, dass das Gerät eine Nutzungsdauer von t = 2 Jahren hat.

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Beispiele für klassische Wahrscheinlichkeit

Die klassische Wahrscheinlichkeit wird angewendet, sofern die beiden oben angegebenen Prämissen erfüllt sind, dh:

-Alle Ereignisse sind gleichermaßen wahrscheinlich.

-Der Probenraum ist endlich.

Daher gibt es Situationen, in denen die klassische Wahrscheinlichkeit nicht angewendet werden kann, z.

Andererseits kann es in den folgenden Fällen erfolgreich angewendet werden:

Start

Die klassische Wahrscheinlichkeit ergibt sich aus dem Interesse der Menschen am Glücksspiel. Quelle: Pixabay.

Wie wir gesehen haben, ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein bestimmtes Gesicht herauskommt.

Nehmen Sie einen Brief von einem Deck

Wir haben ein 52 -Karten -Deck eines französischen Decks, bestehend aus vier Stöcken. Die Wahrscheinlichkeit, ein Herz zu extrahieren und zu wissen, dass es 13 Karten von jedem Stock gibt, ist also:

P (Herz) = 13/52

Start

Es ist ein typisches Beispiel für die klassische Wahrscheinlichkeit, da beim Starten einer Währung immer eine Wahrscheinlichkeit entspricht, Gesicht oder Stempel zu erhalten.

Extrahieren Sie Farbmurmeln aus einer Tasche 

In einer Tasche gibt es möglicherweise farbige Murmeln, zum Beispiel gibt es rote Murmeln, blaue Murmeln und V -grüne Murmeln. Die Wahrscheinlichkeit, ein Rot zu extrahieren, ist:

P (r) = r / n

Gelöste Übungen

- Übung 1

Sobald ein ehrlicher Würfel gestartet wird. Berechnen Sie die folgenden Wahrscheinlichkeiten:

a) Zeichnen Sie eine ungerade Zahl.

b) A 2 oder 5 herauskommen.

c) Erreichen Sie einen Wert von weniger als 4.

d) Erhalten Sie einen Wert weniger als oder gleich 4.

e) Erreichen Sie einen anderen Wert von 3

Lösung für

Der Stichprobenraum beträgt S = 1, 2, 3, 4, 5, 6, die ungeraden Werte betragen 1, 3 und 5, daher gibt es drei günstige Fälle:

P (ungerade) = 3/6 = 1/2 = 0.5

Lösung b

Wir wollen eine 2 oder 5 extrahieren, dh einer dieser Fälle ist günstig: daher:

P (2 oder 5) = 2/6 = 1/3 = 0.33

Lösung c

In diesem Fall gibt es 3 günstige Ereignisse: Holen Sie sich 1, 2 oder 3:

P (weniger als 4) = 3/6 = ½ = 0.5

Lösung d

Hier ist ein zusätzliches günstiges Ereignis, da sie uns nach den niedrigeren oder gleichen Werten bitten, die 4, dann:

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P (Wert weniger als oder gleich 4) = 4/6 = 2/3 = 0.67

Lösung e

Ein anderer Start von 3 bedeutet, dass einer der anderen Werte herauskam:

- Übung 2

In einer Schachtel gibt es einen Blau, eine grüne Kugel, ein Rot, ein Gelb und ein Schwarz. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass er, wenn er einen Ball mit Ihren Augen geschlossen hat, gelb ist?

Lösung

Das Ereignis „E“ besteht darin, einen Ball mit geschlossenen Augen aus der Schachtel zu nehmen (wenn es mit offenen Augen gemacht wird, ist die Wahrscheinlichkeit 1) und dass dies gelb ist.

Es gibt nur einen günstigen Fall, da es nur einen gelben Ball gibt. Die möglichen Fälle sind 5, da 5 Kugeln in der Box sind.

Daher ist die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses „E“ gleich p (e) = 1/5.

Wie zu sehen ist, ist die Wahrscheinlichkeit, wenn die Veranstaltung einen blauen, grünen, roten oder schwarzen Ball herausnehmen soll, ebenfalls gleich 1/5. Daher ist dies ein Beispiel für die klassische Wahrscheinlichkeit.

Überwachung

Wenn es 2 gelbe Kugeln in der Box gegeben hätte, dann wäre P (e) = 2/6 = 1/3, während die Wahrscheinlichkeit, einen blauen, grünen, roten oder schwarzen Ball herauszunehmen, gleich 1/6 gewesen wäre.

Da nicht alle Ereignisse die gleiche Wahrscheinlichkeit haben, ist dies kein Beispiel für die klassische Wahrscheinlichkeit.

- Übung 3

Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass das erhaltene Ergebnis durch das Starten eines Würfels gleich 5 ist?

Lösung

Ein Würfel hat 6 Gesichter mit jeweils einer anderen Zahl (1,2,3,4,5,6). Daher gibt es 6 mögliche Fälle und nur ein Fall ist günstig.

Die Wahrscheinlichkeit, dass beim Starten des Würfels 5. gleich 1/6 entspricht.

Auch die Wahrscheinlichkeit, ein anderes Würfelergebnis zu erzielen, ist ebenfalls gleich 1/6.

- Übung 4

In einem Klassenzimmer gibt es 8 Jungen und 8 Mädchen. Wenn die Lehrerin zufällig einen Schüler in ihrem Wohnzimmer wählt, wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass der gewählte Schüler ein Mädchen ist?

Lösung

Das "E" -Event besteht darin, einen zufälligen Schüler auszuwählen. Insgesamt gibt es 16 Studenten, aber wenn Sie ein Mädchen wählen möchten, gibt es 8 günstige Fälle. Daher p (e) = 8/16 = 1/2.

Auch in diesem Beispiel beträgt die Wahrscheinlichkeit, ein Kind zu wählen, 8/16 = 1/2.

Das heißt, es ist so wahrscheinlich, dass die gewählte Schüler ein Mädchen wie ein Junge ist.

Verweise

1. August, a. Wahrscheinlichkeit. Universität Puerto Rico. Erholt von: Dokumente.Uprb.Edu.
2. Galindo, e. 2011. Statistiken: Methoden und Anwendungen. Redakteure Procience.
3. Jiménez, r. 2010. Mathematik ii. 2. Auflage. Prentice Hall.
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5. Sangaku -Mathematik. Laplace -Regel. Erholt von: Sangakoo.com.