Bedingte Wahrscheinlichkeitsformel und Gleichungen, Eigenschaften, Beispiele

Der bedingte Wahrscheinlichkeit Es ist die Möglichkeit des Auftretens eines bestimmten Ereignisses, da ein anderer als Bedingung auftritt. Diese zusätzlichen Informationen können die Wahrnehmung ändern (oder vielleicht auch nicht), dass etwas passieren wird.

Zum Beispiel können wir uns fragen: „Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass es heute regnet, da es vor zwei Tagen nicht regnet?". Das Ereignis, das wir wissen wollen, ist, dass es heute regnet, und die zusätzlichen Informationen, die die Antwort konditionieren würden, lautet: "Vor zwei Tagen regnet es nicht".

Abbildung 1. Die Wahrscheinlichkeit, dass es heute regnet, seit es gestern geregnet hat, ist auch ein Beispiel für die bedingte Wahrscheinlichkeit. Quelle: Pixabay.

Sei a Probabilistischer Raum bestehend aus ω (Probenraum), ℬ (zufällige Ereignisse) und P (die Wahrscheinlichkeit jedes Ereignisses) sowie Ereignisse A und B, die zu ℬ gehören.

Die konditionierte Wahrscheinlichkeit, die auftritt, da b, das als P (A│b) bezeichnet wird, auf diese Weise definiert wird:

P (a│b) = p (a∩b) / p (b) = p (a und b) / p (b)

Wo: p (a) die Wahrscheinlichkeit des Auftretens von a, p (b) ist die Wahrscheinlichkeit von Ereignis B und unterscheidet , die Wahrscheinlichkeit, dass beide Ereignisse auftreten (gemeinsame Wahrscheinlichkeit).

Dies ist ein Ausdruck für das Bayes -Theorem, das sich auf zwei Ereignisse angewendet hat, die 1763 vom englischen Theologen und Mathematiker Thomas Bayes vorgeschlagen wurden.

[TOC]

Eigenschaften

-Die gesamte bedingte Wahrscheinlichkeit liegt zwischen 0 und 1:

0 ≤ p (a│b) ≤ 1

-Die Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis auftritt, da dieses Ereignis auftritt, beträgt offensichtlich 1:

P (a│a) = p (a∩a) / p (a) = p (a) / p (a) = 1

-Wenn zwei Ereignisse exklusiv sind, dh Ereignisse, die nicht gleichzeitig auftreten können, dann ist die bedingte Wahrscheinlichkeit, dass einer von ihnen stattfindet, 0, da die Kreuzung für nichtig ist:

P (a│b) = p (a∩b) / p (b) = 0 / p (b) = 0

-Wenn B eine Teilmenge von A ist, beträgt die bedingte Wahrscheinlichkeit auch 1:

Kann Ihnen dienen: Toroid oder Toro Dona

P (b│a) = p (a∩b) / p (a) = 1

Wichtig

P (a│b) Es ist im Allgemeinen nicht gleich P (B│A), daher müssen Sie darauf achten, Ereignisse nicht auszutauschen, wenn Sie bedingte Wahrscheinlichkeit finden.

Allgemeine Regel der Multiplikation

Oft möchten Sie die gemeinsame Wahrscheinlichkeit P (A∩B) anstelle einer bedingten Wahrscheinlichkeit finden. Also, durch den folgenden Satz, den Sie haben:

P (a∩b) = P (a und b) = P (a│b). P (b)

Der Satz kann für drei Ereignisse A, B und C erweitert werden:

P (a∩b∩c) = P (A und B und C) = P (A) · P (B│a) · P (C│a∩b)

Und auch für mehrere Ereignisse, wie z₁, ZU₂, ZU₃ Und mehr kann es wie folgt ausgedrückt werden:

P (a₁∩ a₂ ∩ a₃… ∩ A_N) = P (a₁) . P (a₂│a₁). P (a₃│a₁∩ a₂) ... p (a_N│a₁∩ a₂∩… a_N-1)

Wenn es bei Ereignissen, die nacheinander und in verschiedenen Stadien auftreten, ist es zweckmäßig, die Daten in einem Diagramm oder einer Tabelle zu organisieren. Dies erleichtert die Visualisierung der Optionen, um die angeforderte Wahrscheinlichkeit zu erreichen.

Beispiele hierfür sind die Baum diagramm und das Kontingenztabelle. Von einem von ihnen können Sie den anderen bauen.

Beispiele für die bedingte Wahrscheinlichkeit

Schauen wir uns einige Situationen an, in denen die Wahrscheinlichkeiten eines Ereignisses durch das Auftreten eines anderen geändert werden:

- Beispiel 1

In einem süßen Laden werden zwei Kuchenarten verkauft: Erdbeer und Schokolade. Bei der Registrierung der Präferenzen von 50 Kunden beider Geschlechter wurden die folgenden Werte bestimmt:

-27 Frauen, von denen 11 Erdbeer und 16 Schokoladenkuchen bevorzugen.

-23 Männer: 15 Schokolade und 8 Erdbeere.

Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Kunde einen Schokoladenkuchen wählt, kann durch die Anwendung der Laplace -Regel bestimmt werden, nach der die Wahrscheinlichkeit eines jeden Ereignisses ist:

P = Anzahl der günstigen Ereignisse/Gesamtzahl der Ereignisse

In diesem Fall bevorzugen von 50 Kunden insgesamt 31 Schokolade, so dass die Wahrscheinlichkeit p = 31/50 = 0 wäre.62. Das heißt, 62% der Kunden bevorzugen Schokoladenkuchen.

Kann Ihnen dienen: Polynomgleichungen

Aber wäre es anders, wenn der Klient eine Frau wäre? Dies ist ein Fall einer bedingten Wahrscheinlichkeit.

Kontingenztabelle

Durch eine solche Notfalltabelle können die Summen leicht sichtbar machen:

Dann werden die günstigen Fälle beobachtet und die Laplace -Regel angewendet, aber bevor wir die Ereignisse definieren:

-B ist die Veranstaltung "Frauenkunde".

-A ist die Veranstaltung "Bevorzugen Schokoladenkuchen" als Frau.

Wir gehen in die als "Frauen" bezeichnete Kolumne und dort sehen wir, dass die Gesamtsumme 27 ist.

Dann wird der günstige Fall in der "Schokoladen" -Sreihe gesucht. Es gibt 16 Ereignisse davon, daher ist die gesuchte Wahrscheinlichkeit direkt:

P (a│b) = 16/27 = 0.5924

A 59.24 % der Frauen Frauen bevorzugen Schokoladenkuchen.

Dieser Wert fällt zusammen, wenn wir uns der ursprünglich angegebenen Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit gegenüberstellen:

P (a│b) = P (a∩b) / p (b)

Wir versichern uns durch die Laplace -Regel und die Werte der Tabelle:

P (b) = 27/50

P (a und b) = 16/50

Wobei P (A und B) die Wahrscheinlichkeit ist, dass der Klient Schokolade bevorzugt und eine Frau ist. Jetzt werden die Werte ersetzt:

P (a│b) = p (a und b)/p (b) = (16/50)/(27/50) = 16/27 = 0.5924.

Und es ist bewiesen, dass das Ergebnis das gleiche ist.

- Beispiel 2

In diesem Beispiel gilt die Multiplikationsregel. Angenommen, in der Ausstellung eines Geschäfts gibt es Hosen in drei Größen: klein, mittel und groß.

Insgesamt mit insgesamt 24 Hosen, von denen es 8 von jeder Größe gibt und alle gemischt sind. Was wäre die Wahrscheinlichkeit, zwei von ihnen zu extrahieren, und beide waren klein?

Es ist klar, dass die Wahrscheinlichkeit, kleine Hosen im ersten Versuch zu extrahieren, 8/24 = 1/3 beträgt. Jetzt ist die zweite Extraktion auf das erste Ereignis konditioniert, da es bei der Ausnahme von Hosen nicht mehr 24, aber 23 gibt. Und wenn eine kleine Hosen entfernt werden, gibt es 7 anstelle von 8.

Kann Ihnen dienen: Multiplikatives Prinzip: Zähltechniken und Beispiele

Ereignis A soll eine kleine Hose herausnehmen, nachdem er im ersten Versuch eine andere genommen hat. Und Ereignis B ist die von kleinen Hosen zum ersten. Deshalb:

P (b) = 1/3; P (a│b) = 7/24

Schließlich durch die Multiplikationsregel:

P (a∩b) = (7/24).(1/3) = 7/72 = 0.097

Übung gelöst

In einer Studie zur Pünktlichkeit auf kommerziellen Luftflügen sind die folgenden Daten verfügbar:

-P (b) = 0.83, ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Flugzeug für eine zeitnah.

-P (a) = 0.81 ist die Wahrscheinlichkeit, pünktlich zu landen.

-P (b∩a) = 0.78 Es ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Flug pünktlich eintreffen wird.

Es wird gebeten, zu berechnen:

a) Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Flugzeug sofort landet, seit es pünktlich gestartet wurde??

b) Die obige Wahrscheinlichkeit ist die gleiche wie die Wahrscheinlichkeit, dass sie pünktlich herausgekommen ist, wenn Sie es geschafft haben, schnell zu landen?

c) und schließlich: Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass es pünktlich sein wird, da es nicht pünktlich herausgekommen ist?

Figur 2. Pünktlichkeit auf kommerziellen Flügen ist wichtig, da Verzögerungen Millionärsverluste erzeugen. Quelle: Pixabay.

Lösung für

Um die Frage zu beantworten, wird die Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit verwendet:

P (a│b) = p (a∩b) / p (b) = p (a und b) / p (b) = 0.78/0.83 = 0.9398

Lösung b

In diesem Fall werden Ereignisse in der Definition ausgetauscht:

P (b│a) = p (a∩b) / p (a) = p (a und b) / p (a) = 0.78/0.81 = 0.9630

Beachten Sie, dass diese Wahrscheinlichkeit geringfügig von der vorherigen unterscheidet, wie wir zuvor angegeben haben.

Lösung c

Die Wahrscheinlichkeit, nicht pünktlich zu sein, beträgt 1 - p (b) = 1 - 0,83 = 0.17, wir werden es P (B nennen^C), Weil es das komplementäre Ereignis ist, eine rechtzeitige zu veranlassen. Die bedingte Wahrscheinlichkeit, die gesucht wurde, ist:

P (a│b^C) = P (a∩b^C) / P (b)^C) = P (a und b)^C)/P (b)^C)

Andererseits:

P (a∩b^C) = P (Zeitlandung) - P (Zeitlandung und Peek abheben) = 0.81-0.78 = 0.03

In diesem Fall lautet die nachgefragte Wahrscheinlichkeit:

P (a│b^C) = 0.03/0.17 = 0.1765

Verweise

1. Canavos, g. 1988. Wahrscheinlichkeit und Statistik: Anwendungen und Methoden. McGraw Hill.
2. Devore, j. 2012. Wahrscheinlichkeit und Statistik für Ingenieurwesen und Wissenschaft. 8. Auflage. Cengage.
3. Lipschutz, s. 1991. Schaumreihe: Wahrscheinlichkeit. McGraw Hill.
4. Obregón, ich. 1989.Wahrscheinlichkeitstheorie. Redaktionelle limusa.
5. Walpole, r. 2007. Wahrscheinlichkeit und Statistik für Ingenieurwesen und Wissenschaft. Pearson.
6. Wikipedia. Konditionierte Wahrscheinlichkeit. Geborgen von: ist.Wikipedia.Org.