Theoretische Wahrscheinlichkeit, wie man es herausbringt, Beispiele, Übungen

Der Theoretische Wahrscheinlichkeit (oder von Laplace), dass ein Ereignis auftritt, das zu einem Stichprobenraum s gehört, in dem alle Ereignisse die gleiche Auftrittswahrscheinlichkeit haben, ist es in mathematischer Notation definiert wie: p (e) = n (e) / n ( S)

Wobei P (e) die Wahrscheinlichkeit ist, angegeben als Verhältnis zwischen der Gesamtzahl der möglichen Ergebnisse des E -Ereignisses, die wir n (e) nennen, geteilt durch die Gesamtzahl n (s) möglicher Ergebnisse im Stichprobenraum s s.

Abbildung 1. Beim Start eines sechsseitigen Würfels ist die theoretische Wahrscheinlichkeit, dass das Gesicht mit drei Punkten oben ist. Quelle: Pixabay.

Die theoretische Wahrscheinlichkeit ist eine reelle Zahl zwischen 0 und 1, wird jedoch häufig in Form eines Prozentsatzes ausgedrückt. In diesem Fall ist die Wahrscheinlichkeit ein Wert zwischen 0% und 100%.

Die Berechnung der Wahrscheinlichkeit eines Auftretens eines Ereignisses ist in vielen Bereichen sehr wichtig, wie z. B. Aktienaktivitäten, Versicherungsunternehmen, Glücksspiel und vieles mehr.

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Wie man die theoretische Wahrscheinlichkeit bekommt?

Ein veranschaulicher Fall ist der Fall von Rifas oder Lotterien. Annehmen, dass 1.000 Tickets für Rifar A Smartphone. Da die Verlosung zufällig durchgeführt wird, hat eine der Tickets die gleiche Chance, ein Gewinner zu sein. 

Um die Wahrscheinlichkeit zu finden, dass eine Person, die ein Ticket mit Nummer 81 kauft Theoretische Wahrscheinlichkeit:

P (1) = 1/1.000 = 0,001 = 0,1%

Das vorherige Ergebnis wird wie folgt interpretiert: Wenn die Verlosung unendlich wiederholt wird, werden alle 1.000 -mal Ticket 81 würde im Durchschnitt einmal ausgewählt.

Wenn aus irgendeinem Grund jemand alle Tickets erwirbt, wird er sicher, dass er den Preis gewinnen wird. Die Wahrscheinlichkeit, den Preis zu gewinnen, wenn Sie alle Tickets wie folgt berechnet haben:

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P (1.000) = 1.000/1.000 = 1 = 100%.

Das heißt, welche Wahrscheinlichkeit 1 oder 100% bedeutet, dass es völlig sicher ist, dass dieses Ergebnis auftritt.

Wenn jemand 500 Tickets besitzt, sind die Möglichkeiten des Gewinns oder Verlierens gleich. Die theoretische Wahrscheinlichkeit, den Preis in diesem Fall zu gewinnen, wird wie folgt berechnet:

P (500) = 500/1.000 = ½ = 0,5 = 50%.

Wer kein Ticket kauft, hat keine Gewinnchance und seine theoretische Wahrscheinlichkeit wird so bestimmt:

 P (0) = 0/1.000 = 0 = 0%

Beispiele

Beispiel 1

Sie haben eine Währung mit teuer auf einer Seite und Schild oder versiegeln im anderen. Wie ist die theoretische Wahrscheinlichkeit, teuer zu sein, wenn die Währung gestartet wird??

P (teuer) = n (teuer) / N ( Gesicht + Schild ) = ½ = 0,5 = 50%

Das Ergebnis wird wie folgt interpretiert: Wenn eine große Anzahl von Veröffentlichungen vorgenommen würde, würde sich einer von ihnen im Durchschnitt auf alle 2 Plätze stellen.

In prozentualer Hinsicht ist die Interpretation des Ergebnisses, dass die Erzeugung einer unendlich großen Anzahl von Starts durchschnittlich alle 100 von ihnen 50 zu teuren.

Beispiel 2

In einer Schachtel gibt es 3 blaue Murmeln, 2 rote Murmeln und 1 Grün. Wie hoch ist die theoretische Wahrscheinlichkeit, dass, wenn man einen Marmor aus der Box bekommt, rot ist?

Figur 2. Wahrscheinlichkeit der Extraktion von Farbmurmeln. Quelle: f. Zapata.

Die Wahrscheinlichkeit, die rot kommt, ist:

P (rot) = Anzahl der günstigen Fälle / Anzahl möglicher Fälle

Das heißt:

P (rot) = Anzahl der roten Murmeln / Gesamtzahl der Murmeln

Schließlich ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein roter Marmor:

P (rot) = 2/6 = ⅓ = 0,3333 = 33,33%

Die Wahrscheinlichkeit, dass durch Extrahieren eines grünen Marmors:

P (grün) = ⅙ = 0,1666 = 16,66%

Schließlich ist die theoretische Wahrscheinlichkeit, in einer blinden Extraktion ein blauer Marmor zu erhalten,: 

P (blau) = 3/6 = ½ = 0,5 = 50%

Es kann Ihnen dienen: radikale Eigenschaften

Das heißt, von jeweils zwei Versuchen wird das Ergebnis in einem von ihnen blau sein und in einem anderen Versuch eine andere Farbe, unter der Voraussetzung, dass der extrahierte Marmor aufgefüllt wird und dass die Anzahl der Versuche sehr, sehr groß ist.

Übungen

Übung 1

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass beim Starten eines Würfels ein Wert weniger als oder gleich 4 erhalten wird.

Lösung

Um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, dass dieses Ereignis auftritt, gilt die Definition der theoretischen Wahrscheinlichkeit:

P (≤4) = Anzahl der günstigen Fälle / Anzahl möglicher Fälle

P (≤5) = 5/6 = = 83,33%

Übung 2

Ermitteln.

Lösung

Um auf diese Übung zu reagieren, ist es bequem, ein Bild zu machen, um alle Möglichkeiten zu zeigen. Die erste Abbildung zeigt das Ergebnis des ersten Würfels und das zweite das Ergebnis des anderen an.

Um die theoretische Wahrscheinlichkeit zu berechnen, müssen wir die Gesamtzahl der möglichen Fälle kennen.

Beobachten Sie auch, dass das Gemälde folgt, dass die Anzahl der für das Ereignis günstigen Fälle, die in den beiden aufeinanderfolgenden Veröffentlichungen 5 günstig ist, nur 1 beträgt, was mit Farbe hervorgehoben wird, weshalb die Wahrscheinlichkeit, dass dieses Ereignis stattfindet, lautet:

P (5 x 5) = 1/33.

Dieses Ergebnis könnte auch unter Verwendung einer der Eigenschaften der theoretischen Wahrscheinlichkeit erzielt werden, die besagt, dass die kombinierte Wahrscheinlichkeit von zwei unabhängigen Ereignissen das Produkt ihrer individuellen Wahrscheinlichkeiten ist.

In diesem Fall ist die Wahrscheinlichkeit, dass in der ersten Release 5 ⅙ ist. Der zweite Start ist völlig unabhängig von der ersten, daher ist die Wahrscheinlichkeit, dass 5 in der zweiten ist, auch ⅙ ⅙. Die kombinierte Wahrscheinlichkeit ist also:

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P (5 × 5) = P (5) p (5) = (1/6) (1/6) = 1/36.

Übung 3

Ermitteln. 

Lösung

Auch hier müssen Sie eine mögliche Ereignisetabelle erstellen, in der diejenigen, in denen der erste Start weniger als 2 war und in der zweiten als 2 unterstrichen ist, unterstrichen.

Insgesamt gibt es 4 Möglichkeiten von insgesamt 36. Mit anderen Worten, die Wahrscheinlichkeit dieses Ereignisses ist:

P (2) = 4/36 = 1/9 = 0,1111 = 11,11%

Verwenden des Wahrscheinlichkeitstheorems, der heißt:

Die Wahrscheinlichkeit des Auftretens von zwei unabhängigen Ereignissen entspricht dem Produkt einzelner Wahrscheinlichkeiten.

Es wird ein identisches Ergebnis erhalten:

P (2) = (1/6) (4/6) = 4/36 = 0,1111 = 11,11%

Der mit diesem Verfahren erhaltene Wert fällt mit dem vorherigen Ergebnis über die theoretische oder klassische Definition der Wahrscheinlichkeit zusammen.

Übung 4

Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass durch das Starten von zwei angesichts der Summe der Werte 7 beträgt.

Lösung

Um die Lösung in diesem Fall zu finden, wurde ein Bild von Möglichkeiten entwickelt, in denen die Fälle, die den Zustand der Werte erfüllen.

Wenn Sie den Tisch betrachten, können 6 mögliche Fälle gezählt werden, sodass die Wahrscheinlichkeit:

P (R & D II: 7) = 6/36 = 1/6 = 0,1666 = 16,66%

Verweise

1. Canavos, g. 1988. Wahrscheinlichkeit und Statistik: Anwendungen und Methoden. McGraw Hill.
2. Devore, j. 2012. Wahrscheinlichkeit und Statistik für Ingenieurwesen und Wissenschaft. 8. Auflage. Cengage.
3. Lipschutz, s. 1991. Schaumreihe: Wahrscheinlichkeit. McGraw Hill.
4. Obregón, ich. 1989.Wahrscheinlichkeitstheorie. Redaktionelle limusa.
5. Walpole, r. 2007. Wahrscheinlichkeit und Statistik für Ingenieurwesen und Wissenschaft. Pearson.