Kreuzprodukt

Richtige Regel für das Vektorprodukt. Quelle: f. Zapata.

Was ist das Kreuzprodukt oder Vektorprodukt??

Er Kreuzprodukt, Auch Vektorprodukt bezeichnet, handelt es sich um eine Art von Produkt, die zwischen zwei Vektoren durchgeführt wird und zu einem anderen Vektor führt, senkrecht zur Ebene der ersten beiden.

Das Kreuzprodukt zwischen zwei beliebigen Vektoren Zu Und B, Es führt zu einem anderen Vektor R, Mathematisch wird wie folgt geschrieben:

Zu × B = R

Es liest so: “A Cruz B gleich R ".

Im gedruckten Text werden Vektoren mit mutigen Texten oder mit einem Pfeil auf dem Buchstaben geschrieben, um sie von ihrer Größe oder ihrem Modul zu unterscheiden. Dazu werden sie austauschbar, Modulbalken und aktuelle Buchstaben verwendet, so dass der absolute Wert des Vektors Zu Symbol ist so geschrieben:

│Zu│ = a

Der Absolutwert oder das Modul des Vektorprodukts zwischen zwei Vektoren wird berechnet, indem das Modul beider Vektoren mit dem Winkel θ zwischen ihnen multipliziert wird:

R = a ∙ b ∙ sen θ

Die Richtung des Vektors R Es ist senkrecht zu der von Vektoren Zu Und B. Das Gefühl von R Es ist dextrogyr von Zu zu B Und in der Praxis wird es unter Verwendung der Regel der rechten Hand bestimmt, die darin besteht, den Index, den Medium und der Daumen der rechten Hand wie folgt zu positionieren:

• Der Indexfinger wird nach dem Vektor platziert Zu
• Mit dem Mittelfinger folgt dem Vektor B
• Der erweiterte Daumen zeigt die Richtung und Richtung des Vektors an R.

Diese Bestellung muss genau befolgt werden, da das Vektorprodukt nicht kommutativ ist, das heißt Zu × B ≠ B × Zu Und wenn die Vektoren ausgetauscht werden, wird das richtige Ergebnis nicht erzielt.

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Dem Leser wird empfohlen, seine rechte Hand zu platzieren, wie die Abbildung zeigt, der Index nach links zeigt den Vektor Zu, Der Mittelfinger folgt B Und es zeigt direkt auf den Leser, schließlich zeigt der Daumen auf und zeigt auf Richtung und Richtung des Vektors Zu × B = R.

Cruz -Produkteigenschaften

-Das Kreuz- oder Vektorprodukt zwischen zwei Vektoren führt immer zu einem anderen Vektor.

-Ein Kreuzprodukt ist daher nicht kommutativ: Zu × B ≠ B × Zu.

-Für das Kreuzprodukt ist es wahr: Zu × B = - ((B × Zu). Diese Eigenschaft heißt Anti-Konminalität.

-Der resultierende Vektor des Vektorprodukts zwischen zwei Vektoren ist senkrecht (normal) zu den Vektoren.

-Aus dem obigen Punkt folgt es, dass das Vektorprodukt zwischen Vektoren mit der gleichen Richtung null ist. Insbesondere Zu × A = 0.

-Das Kreuzprodukt entspricht dem Vertriebsgesetz in Bezug auf die Summe: Zu × (B+C) = Zu × B + Zu × C

-Wenn m ein Skalar ist, dann m ((Zu × B) = m Zu × B = Zu × m B

Produkt zwischen Einheitsvektoren überschreiten

Die drei Einheitenvektoren genannt Yo, J Und k, Sie sind senkrecht zueinander und geben die drei bemerkenswerten Richtungen des Raums an: hohe, breite und Tiefe. Diese Adressen sind senkrecht zueinander.

Das Vektorprodukt zwischen den Einheitsvektoren kann durch die rechte Handregel leicht bestimmt und die Eigenschaften des Kreuzprodukts berücksichtigt:

Vektorprodukt kartesischer Einheitenvektoren. Quelle: f. Zapata.

Die drei farbigen Boxen in der Abbildung werden in der Runde mit Pfeilen nach rechts zusammengefasst und auf diese Weise verwendet:

-Wenn Sie sich in Richtung des Pfeils multiplizieren, ist das Ergebnis der Vektor vor dem Pfeil und hat ein positives Zeichen. Zum Beispiel durch Multiplizieren von Vektorly J Und k, Der dritte Vektor ist Yo, Und wie die Reihenfolge der Bedeutung des Pfeils folgt, ist das Zeichen +.

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-Und wenn es sich in die entgegengesetzte Richtung zum Pfeil multipliziert, ist das Ergebnis der dritte Vektor vor dem Pfeil, jedoch mit einem negativen Vorzeichen.

Die Einheitsvektoren bilden eine Basis, sodass jeder andere Vektor in Bezug auf sie geschrieben werden kann. Dies erleichtert die Berechnung des Kreuzprodukts zwischen zwei willkürlichen Vektoren im Weltraum erheblich.

So analysieren Sie das Kreuzprodukt von zwei Vektoren analytisch

Wenn Vektoren Zu Und B Sie haben eine willkürliche Richtung im Weltraum, wobei Komponenten entlang von jeweils analytisch das Kreuzprodukt berechnen und sie in Bezug auf die Einheitsvektoren ausdrücken Yo, J Und k:

• Zu = a_X Yo + Zu_Und J + Zu_z k
• B = b_X Yo + B_Und J + B_z k

Jetzt wird die Verteilungseigenschaft der Multiplikation verwendet, die auch für das Kreuzprodukt gültig ist:

Zu × B = (a_X Yo + Zu_Und J + Zu_z k) × (b)_X Yo + B_Und J + B_z k) =

= (a_X Yo × b_X Yo) + (a_X Yo × b_Und J) + (a_X Yo × b_z k) + (a_UND J × b_X Yo) + (a_UND J × b_Und J) + (a_UND J × b_z k) + (a_Z k × b_X Yo) + (a_Z k × b_Und J) + (a_Z k × b_z k)

Cross -Produkte zwischen den gleichen Einheitenvektoren werden so abgebrochen, wie es sich um parallele Vektoren handelt, wodurch dieser Ausdruck auf 6 Begriffe reduziert wird:

Zu × B = (a_X Yo × b_Und J) + (a_X Yo × b_z k) + (a_UND J × b_X Yo) + (a_UND J × b_z k) + (a_Z k × b_X Yo) + (a_Z k × b_Und J)

Unter Verwendung der obigen Abbildung ergibt sich schließlich jedes Produkt in:

Zu × B = a_X B_Und k + Zu_X B_z ( - -J) + a_UND B_X ( - -k) + a_UND B_z Yo + Zu_Z B_XJ + Zu_Z B_Und ( - -Yo) =

= (a_UND B_z - A_Z B_Und) Yo + (Zu_Z B_X - A_X B_z) J + (Zu_X B_Und - A_UND B_X) k

Cruz -Produkt durch eine Determinante

Es ist nicht erforderlich, die obige Formel auswendig zu merken, sondern die Runde der vorhergehenden Abbildung bequem anzuwenden oder einfach die unten gezeigte Determinante vorsichtig durchzuführen, was vollständig äquivalent ist:

Beispiel

Annahme von Vektoren Zu Und B Sind:

• Zu = 5 Yo - - J + 4 k
• B = -Yo + 0J +7 k

Das Kreuzprodukt zwischen ihnen wird berechnet, indem die jeweiligen Koordinaten identifiziert und ersetzt werden:

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Zu_X = 5; Zu_Und = -1; Zu_z = 4; B_X = -1; B_Und = 0: b_z = 7

Zu × B = [(−1) ∙ 7 - 4 ∙ 0] Yo + [(4 ∙ (–1) - 5 ∙ 7) J + [5 ∙ 0 - (–1) ∙ (–1)] k = [–7 - 0] Yo + [(–4 - 35) J + [0 - 1] k =

= (–7) Yo - 39 J - k

Die Determinantenmethode bietet das gleiche Ergebnis.

Übung

Berechnen Sie durch Determinanten das Kreuzprodukt unter den Vektoren:

• oder = 2 Yo +J + 5 k
• v = Yo + 4J +7 k

Und bestimmen Sie die Fläche des von den vorherigen Vektoren unterbedeckten Parallelogramms, wie in der Abbildung gezeigt:

Lösung

Die Werte der Vektorenkoordinaten werden in der Determinante ersetzt:

Der bestimmte Parallelogrammbereich ist das Modul des Vektorprodukts zwischen ihnen, was sich ergibt: r = 17,3 Flächeneinheiten.