Bemerkenswerte Produkte

Was sind bemerkenswerte Produkte?

Bemerkenswerte Produkte sind algebraische Operationen, bei denen Multiplikationen von Polynomen ausgedrückt werden, die traditionell nicht gelöst werden müssen, aber mit Hilfe bestimmter Regeln können die Ergebnisse derselben gefunden werden.

Polynome werden danach multipliziert, ob es daher möglich ist, dass sie viele Begriffe und Variablen haben. Um den Prozess kurz zu machen, werden die Regeln der bemerkenswerten Produkte verwendet, die Multiplikationen ermöglichen, ohne den Term für den Termin zu befragen zu müssen.

Bemerkenswerte Produkte und Beispiele

Jedes bemerkenswerte Produkt ist eine Formel, die sich aus einer Faktorisierung ergibt, die aus Polynomen mehrerer Begriffe wie Binomien oder Trinomen besteht, die als Faktoren bezeichnet werden.

Die Faktoren sind die Grundlage für eine Macht und haben einen Exponenten. Wenn sich die Faktoren vermehren, müssen die Exponenten hinzugefügt werden.

Es gibt mehrere bemerkenswerte Produktformeln, einige werden je nach Polynomen mehr verwendet als andere und sind folgende:

Quadratisches Binomial

Es ist die Multiplikation eines Binomials für sich, das in Form von Macht ausgedrückt wird, wobei die Begriffe hinzugefügt oder subtrahiert werden:

Zu. Square Sum Binomial: Es entspricht dem Quadrat des ersten Terms und dem Doppelten des Produkts der Begriffe sowie dem Quadrat der zweiten Amtszeit. Es wird wie folgt ausgedrückt:

(A + b)² = (a + b) _* (A + b).

In der folgenden Abbildung können Sie sehen, wie das Produkt gemäß der oben genannten Regel entwickelt wird. Das Ergebnis wird als Trinom eines perfekten Quadrats bezeichnet.

Beispiel 1

(x + 5) ² = x² + 2 (x * 5) + 5²

(x + 5) ² = x² + 2 (5x) + 25

(x + 5) ² = x² + 10x + 25.

Beispiel 2

(4a + 2b) = (4a)² + 2 (4 _* 2b) + (2b)²

(4a + 2b) = 8a² + 2 (8ab) + 4b²

(4a + 2b) = 8a² + 16 AB + 4B².

B. Binomial einer quadratischen Subtraktion: Die gleiche Regel des Binomials einer Summe wird angewendet, nur dass in diesem Fall der zweite Term negativ ist. Seine Formel ist wie folgt:

(A - b)² = [(a) + (- b)]²

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(A - b)² = a² +2 _* (-b) + (-b)²

(A - b)²   = a² - 2ab + b².

Beispiel 1

(2x - 6)² = (2x)² - 2 (2x _* 6) + 6²

(2x - 6)²  = 4x² - 2 (12x) + 36

(2x - 6)² = 4x² - 24x + 36.

Konjugates Binomials Produkt

Zwei Binomien sind konjugiert, wenn die zweiten Bedingungen jeweils unterschiedliche Zeichen haben, dh der des ersten ist positiv und der des zweiten Negativen oder umgekehrt. Es wird gelöst, indem jedes monomiale Quadrat angehoben und subtrahiert wird. Seine Formel ist wie folgt:

(A + b) _* (A - b)

In der folgenden Abbildung wird das Produkt von zwei konjugierten Binomien entwickelt, bei denen beobachtet wird, dass das Ergebnis ein Unterschied der Quadrate ist.

Beispiel 1

(2a + 3b) (2a - 3b) = 4a² + (-6ab) + (6 ab) + (-9b²)

(2a + 3b) (2a - 3b) = 4a² - 9b².

Produkt von zwei Binomien mit einem gemeinsamen Begriff

Es ist eines der komplexesten und wenig verwendeten bemerkenswerten Produkte, da es eine Multiplikation von zwei Binomials ist, die einen gemeinsamen Begriff haben. Die Regel zeigt Folgendes an:

• Das Quadrat des gemeinsamen Begriffs.
• Plus die Summe die Begriffe, die nicht häufig sind, und multiplizieren Sie sie dann mit dem gemeinsamen Begriff.
• Plus die Summe der Multiplikation der Begriffe, die nicht üblich sind.

Es ist in der Formel dargestellt: (x + a) _* (x + b) und wird wie im Bild gezeigt entwickelt. Das Ergebnis ist ein nicht perfekter quadratischer Trinomial.

Beispiel 1

(x + 6) _* (x + 9) = x² + (6 + 9) _* X + (6 _* 9)

(x + 6) _* (x + 9) = x² + 15x + 54.

Es besteht die Möglichkeit, dass der zweite Term (der unterschiedliche Begriff) negativ ist und seine Formel wie folgt ist: (x + a) _* (x - b).

Beispiel 2

(7x + 4) _* (7x - 2) = (7x _* 7x) + (4 - 2)_* 7x + (4 _* -2)

(7x + 4) _* (7x - 2) = 49x² + (2)_* 7x - 8

(7x + 4) _* (7x - 2) = 49x² + 14x - 8.

Es kann auch der Fall sein, dass beide unterschiedlichen Begriffe negativ sind. Ihre Formel wird: (x - a) _* (x - b).

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Beispiel 3

(3b - 6) _* (3b - 5) = (3b _* 3b) + (-6 - 5)_* (3b) + (-6 _* -5)

(3b - 6) _* (3b - 5) = 9b² + (-elf) _* (3b) + (30)

(3b - 6) _* (3b - 5) = 9b² - 33b + 30.

Quadratpolynom

In diesem Fall gibt es mehr als zwei Begriffe und um es zu entwickeln, wird jeder geschnitten und zusammen mit der doppelten Multiplikation einer Begriff mit einem anderen hinzugefügt. Seine Formel lautet: (a + b + c)² Und das Ergebnis der Operation ist ein Trinomquadrat.

Beispiel 1

(3x + 2y + 4z)² = (3x)² + (2 und)² + (4Z)² + 2 (6xy + 12xz + 8yz)

(3x + 2y + 4z)² = 9x² + 4y² + 16z² + 12xy + 24xz + 16yz.

Würfel Binomial

Es ist ein komplexes bemerkenswertes Produkt. Um es zu entwickeln, wird das Binomial wie folgt mit seinem Platz multipliziert:

Zu. Für Binomial zum Würfel einer Summe:

• Der erste Semesterwürfel plus das Quadrat der ersten Amtszeit bis zum zweiten.
• Plus dreimal der erste Amtszeit durch das zweite Quadrat.
• Plus der Würfel der zweiten Amtszeit.

(A + b)³ = (a + b) _* (A + b)²

(A + b)³ = (a + b) _* (Zu² + 2ab + b²)

(A + b)³ = a³ + 2²B + ab² + ba² + 2AB² + B³

(A + b)³ = a³ + 3²B + 3AB² + B³.

Beispiel 1

(A + 3)³ = a³ + 3 (a)²_*(3) + 3 (a)_*(3)² + (3)³

(A + 3)³ = a³ + 3 (a)²_*(3) + 3 (a)_*(9) + 27

(A + 3)³ = a³ + 9 a² + 27a + 27.

B. Für das Binomial zum Würfel einer Subtraktion:

• Der Würfel der ersten Amtszeit, mit Ausnahme des Dreifachquadrats der ersten Amtszeit um die zweite.
• Plus dreimal der erste Amtszeit durch das zweite Quadrat.
• Weniger der Würfel der zweiten Amtszeit.

(A - b)³ = (a - b) _* (A - b)²

(A - b)³ = (a - b) _* (Zu² - 2ab + b²)

(A - b)³ = a³ - 2²B + ab² - ba² + 2AB² - B³

(A - b)³ = Zu³ - 3²B + 3AB² - B³.

Beispiel 2

(B - 5)³ = b³ + 3 (b)²_*(-5) + 3 (b)_*(-5)² + (-5)³

(B - 5)³ = b³ + 3 (b)²_*(-5) + 3 (b)_*(25) -125

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(B - 5)³ = b³ - 15b² +75b - 125.

Trinomialwürfel

Es entwickelt es, es mit seinem Quadrat zu multiplizieren. Es ist ein sehr umfangreiches bemerkenswertes Produkt, da am Würfel 3 Begriffe zugeordnet sind, plus das Dreifach jedes quadratischen Begriffs, multipliziert mit jedem der Begriff. In einer besseren Form gesehen:

(A + b + c)³ = (A + b + c) _* (A + b + c)²

(A + b + c)³ = (A + b + c) _* (Zu² + B² + C² + 2AB + 2AC + 2BC)

(A + b + c)³ = A³ + B³ + C³ + 3²B + 3AB² + 3²C + 3AC² + 3b²C + 3BC² + 6ABC.

Beispiel 1

Gelöste Übungen bemerkenswerter Produkte

Übung 1

Entwickeln Sie das folgende Binomial zum Würfel: (4x - 6)³.

Lösung

Daran zu erinnern, dass ein Binomial zum Würfel gleich der ersten am Würfel angehobenen Amtszeit ist, mit Ausnahme des Dreifachs des Quadrats der ersten Amtszeit bis zum zweiten Mal; plus dreimal der erste Amtszeit durch das zweite Quadrat, außer dem Würfel der zweiten Amtszeit.

(4x - 6)³ = (4x)³ - 3 (4x)²(6) + 3 (4x) _* (6)² - (6)²

(4x - 6)³ = 64x³ - 3 (16x²) (6) + 3 (4x)_* (36) - 36

(4x - 6)³ = 64x³ - 288x² + 432x - 36.

Übung 2

Entwickeln Sie das folgende Binomial: (x + 3) (x + 8).

Lösung

Sie haben ein Binomial, bei dem es einen gemeinsamen Begriff gibt, der x ist und der zweite Begriff positiv ist. Um es zu entwickeln, muss nur der gemeinsame Begriff erhöht werden, zuzüglich der Summe der nicht üblichen Begriffe (3 und 8) und diese mit dem gemeinsamen Begriff zuzüglich der Summe der Multiplikation der nicht üblichen Begriffe multiplizieren.

(x + 3) (x + 8) = x² + (3 + 8) x + (3_*8)

(x + 3) (x + 8) = x² + 11x + 24.

Verweise

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2. Arthur Goodman, L. H. (neunzehn sechsundneunzig). Algebra und Trigonometrie mit analytischer Geometrie. Pearson Ausbildung.
3. Das, s. (S.F.). Mathematik plus 8. Vereinigtes Königreich: Sagar Ratna.
4. Jerome e. Kaufmann, k. L. (2011). Elementare und mittlere Algebra: Ein kombinierter Ansatz. Florida: Cengage -Lernen.
5. Pérez, c. D. (2010). Pearson Ausbildung.