Lineare Programmierung Was ist es, Modelle, Einschränkungen, Anwendungen

Der Lineares Programmieren Es ist eine mathematische Methode, die eine Funktion der Optimierung (maximieren oder minimieren) dient, deren Variablen Einschränkungen unterliegen, solange die Funktion und die Einschränkungen linear von den Variablen abhängen.

Im Allgemeinen die Funktion zur Optimierung einer praktischen Situation, z. B. den Gewinn eines Herstellers, dessen Inputs, Arbeitskräfte oder Maschinen begrenzt sind.

Abbildung 1. Die lineare Programmierung wird häufig verwendet, um die Gewinne zu optimieren. Quelle: Piqsels.

Einer der einfachsten Fälle ist die einer linearen Funktion, die nur von zwei Variablen abhängt, die genannt werden Entscheidungsvariablen. Es kann Form sein:

Z = k₁x + k₂Und

Mit k₁ und k₂ Konstanten. Diese Funktion ist als die bekannt Zielfunktion. Natürlich gibt es Situationen, die mehr als zwei Variablen für ihre Studie verdienen und komplexer sind:

Z = k₁X₁ + k₂X₂ + k₃X₃ +.. .

Und Einschränkungen werden auch mathematisch durch ein System von Gleichungen oder Ungleichungen modelliert, gleich linear in X Und Und.

Der Satz von Lösungen dieses Systems wird genannt realisierbare Lösungen entweder praktikable Punkte. Und unter den praktikablen Punkten gibt es mindestens einen, der die objektive Funktion optimiert.

Die lineare Programmierung wurde unabhängig vom amerikanischen Physiker und Mathematiker entwickelt.

Die Problemlösungsmethode als bekannt als Simplex -Methode Es ist die Schaffung von Dantzig, der für die US Air Force, die University of Berkeley und die Stanford University arbeitete.

Figur 2. Die Mathematiker George Dantzig (links) und Leonid Kantorovich (rechts). Quelle: f. Zapata.

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Lineare Programmiermodelle

Die notwendigen Elemente, um ein lineares Programmiermodell zu etablieren, das einer praktischen Situation angemessen ist, sind:

-Zielfunktion

-Entscheidungsvariablen

-Einschränkungen

In der Zielfunktion ist das, was Sie erreichen möchten, definiert. Angenommen, es ist erwünscht, die Gewinne aus der Herstellung bestimmter Produkte zu maximieren. Dann wird die „Gewinn“ -Funktion nach dem Preis festgelegt, zu dem die Produkte verkauft werden.

In mathematischer Begriffen kann diese Funktion unter Verwendung der Summe ausgedrückt werden:

Z = ∑k_Yo X_Yo

In dieser Gleichung k_Yo Sie sind Koeffizienten und x_Yo sind die Entscheidungsvariablen.

Entscheidungsvariablen sind die Elemente des Systems, deren Kontrolle ist und ihre Werte positive reelle Zahlen sind. In dem vorgeschlagenen Beispiel sind die Entscheidungsvariablen die Menge jedes Produkts, das hergestellt wird, um den maximalen Gewinn zu erzielen.

Schließlich haben wir die Einschränkungen, die lineare Gleichungen oder Ungleichheiten in Bezug auf die Entscheidungsvariablen sind. Sie beschreiben die Beschränkungen des Problems, die bekannt sind und beispielsweise die im Fertigung erhältlichen Rohstoffmaterialien sein können.

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Arten von Beschränkungen

Sie können einen Betrag von Einschränkungen haben, beginnend von von J = 1 bis J = m. Mathematisch sind die Einschränkungen von drei Typen:

1. ZU_J = ∑ a_ij . X_Yo
2. B_J ≥ ∑ b_ij . X_Yo
3. C_J ≤ ∑ c_ij . X_Yo

Die erste Einschränkung besteht aus linearer Gleichungstyp und bedeutet, dass der Wert auf_J, Was bekannt ist, muss respektiert werden.

Die verbleibenden zwei Einschränkungen sind lineare Ungleichungen und bedeutet, dass die B -Werte bewertet_J und C_J, bekannt, kann respektiert oder überwunden werden, wenn das Symbol ≥ (größer oder gleich) oder respektiert oder nicht überwunden ist, wenn das Symbol ≤ (weniger als oder gleich) ist, ist, wenn das Symbol ≤ ist.

Modellbeispiel

Die Anwendungsfelder sind sehr vielfältig und deckt von der Geschäftsführung bis zur Ernährung ab. Um die Methode zu verstehen, wird dann ein einfaches Modell einer praktischen Situation mit zwei Variablen vorgeschlagen.

Ein lokales Gebäck ist bekannt für zwei Spezialitäten: den schwarzen Dschungelkuchen und den Sacrista -Kuchen.

In seiner Ausarbeitung benötigen sie Eier und Zucker. Für den schwarzen Dschungel werden 9 Eier und 500 g Zucker benötigt, während 8 Eier und 800 g Zucker für das Opfer erforderlich sind. Die jeweiligen Verkaufspreise betragen 8 und 10 US -Dollar.

Das Problem ist: Wie viele Kuchen jedes Typs sollte das Gebäck machen, um seinen Gewinn zu maximieren, da er weiß, dass es 10 Kilo Zucker und 144 Eier hat?

Entscheidungsvariablen

Die Entscheidungsvariablen sind "X" und "Y", die echte Werte benötigen:

-X: Die Menge an schwarzen Dschungelkuchen

-Y: Opferkuchen opfern.

Einschränkungen

Die Einschränkungen werden durch die Tatsache angegeben, dass die Anzahl der Kuchen eine positive Menge ist und es nur begrenzte Rohstoffmengen für die Vorbereitung gibt.

Daher erwerben diese Einschränkungen in mathematischer Weise die Form:

1. x ≥ 0
2. und ≥0
3. 9x +8y ≤ 144
4. 0.5 x + 0.8 und ≤ 10

Beschränkungen 1 und 2 bilden die Nicht -Negativitätszustand zuvor freigelegt, und alle erhobenen Ungleichungen sind linear. In Beschränkungen 3 und 4 sind die Werte, die nicht überwunden werden sollten: 144 Eier und 10 kg Zucker.

Zielfunktion

Schließlich ist die objektive Funktion die Verstärkung, die durch die Herstellung von „X“ -Mühe an schwarzen Dschungelkuchen plus „y“ -Sakristinen erzielt wird. Es wird gebaut, um den Preis mit der Menge der Kuchen zu multiplizieren und für jeden Typ hinzuzufügen. Es ist eine lineare Funktion, die wir G (x, y) aufrufen werden:

G = 8x + 10y

Lösungsmethoden

Unter den verschiedenen Lösungsmethoden sind grafische Methoden, der Simplex -Algorithmus und die innere Punktmethode, um einige zu erwähnen.

- Grafik oder geometrische Methode

Wenn Sie ein Problem von zwei Variablen wie dem vorherigen Abschnitt haben, bestimmen die Einschränkungen eine polygonale Region in der Ebene Xy, Forderung realisierbare Region entweder Lebensfähigkeitsregion.

Figur 3. Die realisierbare Region, in der sich die Lösung des Optimierungsproblems befindet. Quelle: Wikimedia Commons.

Diese Region wird durch gebaut Restriktionslinien, Welches sind die Linien, die aus den Ungleichungen der Einschränkungen erhalten wurden und nur mit dem Vorzeichen der Gleichheit arbeiten.

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Bei der Bäckerei, die die Gewinne optimieren möchte, sind die Restriktionslinien:

1. x = 0
2. y = 0
3. 9x +8y = 144
4. 0.5 x + 0.8y = 10

Alle Punkte in der Region, die durch diese Linien gesperrt sind. Außer in dem Fall, in dem die realisierbare Region leer ist, fehlt dem aufgeworfenen Problem eine Lösung.

Zum Glück ist wir für das Gebäckproblem die realisierbare Region nicht leer, wir haben es unten.

Figur 4. Die praktikable Region des Gebäckproblems. Die gerade Linie 0 kreuzt den Ursprung. Quelle: f. Zapata mit GeoGebra.

Die optimale Lösung ist, wenn sie existiert, mit Hilfe der Zielfunktion. Zum Beispiel haben Sie die folgende Zeile, die aufgerufen wird ISO-Nutzen gerade:

G = k₁x + k₂und → y = -k₁x / k₂ + G/ k₂

Mit dieser Zeile werden alle Paare (x, y) erhalten, die eine bestimmte Verstärkung G liefern, so₁ / k₂, so dass sie parallel gerade sind.

Die optimale Lösung

Nun kann gezeigt werden, dass die optimale Lösung eines linearen Problems immer ein extremer oder Scheitelpunkt der realisierbaren Region ist. So:

Die Linienlösung ist am weitesten vom Ursprung entfernt und hat mindestens einen Punkt mit dem realisierbaren Bereich gemeinsam.

Wenn die dem Ursprung am nächsten gelegene Linie ein ganzes Segment mit der realisierbaren Region gemeinsam hat, wird gesagt, dass es unendliche Lösungen gibt. Dieser Fall tritt auf, wenn die Steigung der ISO-Beniefit-Linie der anderen Linien entspricht, die den Bereich einschränken.

Für unser Gebäck sind die Kandidaten -Eckpunkte a, b und c.

- Simplex -Methode von Dantzig

Die grafische oder geometrische Methode ist für zwei Variablen anwendbar. Es ist jedoch komplizierter, wenn es drei Variablen gibt und für eine größere Anzahl von Variablen nicht zu verwenden ist.

Wenn es um Probleme von mehr als zwei Variablen geht, ist die Simplex -Methode, Dies besteht aus einer Reihe von Algorithmen, um die Zielfunktionen zu optimieren. Einfache Matrizen und Arithmetik werden normalerweise verwendet, um die Berechnungen durchzuführen.

Die Simplex -Methode beginnt mit der Auswahl einer praktikablen Lösung und überprüft, ob sie optimal ist. Wenn dies der Fall ist, haben wir das Problem bereits gelöst, aber wenn dies nicht der Fall ist, wird es in Richtung einer Lösung näher an der Optimierung fortgesetzt. Wenn die Lösung vorliegt, ist der Algorithmus in wenigen Versuchen damit.

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Anwendungen

Lineare und nichtlineare Programmierung in vielen Bereichen angewendet, um die besten Entscheidungen bei der Reduzierung der Kosten und der Erhöhung der Gewinne zu treffen, die nicht immer Geld sind, da sie zeitlich gemessen werden können, wenn Sie versuchen, die notwendige Zeit für die Durchführung zu minimieren eine Reihe von Operationen.

Hier sind einige Felder:

-Im Marketing wird es verwendet, um die beste Kombination aus Medien (soziale Netzwerke, Fernsehen, Presse und andere) zu finden, um ein bestimmtes Produkt zu werben.

-Für die Zuweisung der Arbeit, die dem Personal eines Unternehmens oder einer Fabrik oder den Zeitplänen an sie angemessen ist.

-In der Auswahl der nahrhaftesten Lebensmittel und zu den niedrigsten Kosten in der Vieh- und Geflügelindustrie.

Gelöste Übungen

- Übung 1

Diagramm das lineare Programmiermodell, das in den vorhergehenden Abschnitten angehoben wird.

Lösung

Es ist erforderlich, den Satz von Werten zu gratschen, der durch das im Problem angegebene Einschränkungen festgelegt wird:

1. x ≥ 0
2. und ≥0
3. 9x +8y ≤ 144
4. 0.5 x + 0.8 und ≤ 10

Die von Ungleichungen 1 und 2 gegebene Region entspricht dem ersten Quadranten der kartesischen Ebene. Ungleichungen 3 und 4 beginnt mit der Suche nach den Restriktionslinien:

9x +8y = 144

0.5 x + 0.8y = 10 → 5x + 8y = 100

Die realisierbare Region ist ein Viereck, dessen Eckpunkte Punkte A, B, C und D sind.

Die minimale Verstärkung beträgt 0.8.

Dieser Wert unterscheidet sich von den Steigungen der anderen Restriktionslinien, und da die praktikable Region begrenzt ist, gibt es die einzigartige Lösung.

Abbildung 5. Grafische Lösung von Übung 1, die den praktikablen Bereich und die Punktlösung C in einem der Eckpunkte der Region zeigt. Quelle: f. Zapata.

Diese Lösung entspricht einer Steigungslinie -0.8 Das durchläuft einen der Punkte A, B oder C, deren Koordinaten sind:

A (11; 5.625)

B (0; 12.5)

C (16, 0)

Optimale Lösung

Wir berechnen den Wert von G für jeden dieser Punkte:

-(11; 5.625): G_ZU = 8 x 11 + 10 x 5.625 = 144.25

-(0; 12.5): g_B = 8 x 0 + 10 x 12.5 = 125

-(16, 0): g_C = 8 x 16 + 10 x 0 = 128

Der größte Gewinn ist die Herstellung von 11 schwarzen Dschungelkuchen und 5.625 Opferkuchen. Diese Lösung stimmt mit dem übereinstimmt, der über die Software gefunden wurde.

- Übung 2

Überprüfen Sie das Ergebnis der vorherigen Übung mithilfe der Funktion (Solverer), die in den meisten Tabellenkalkulationen wie Excel oder Calc de libreoffice verfügbar ist, die den Simplex -Algorithmus für die lineare Programmieroptimierung enthalten.

Lösung

Abbildung 6. Detail der Lösung von Übung 1 durch die freie Büro -Berechnungskalkulation. Quelle: f. Zapata. Abbildung 7. Detail der Lösung von Übung 1 durch die freie Büro -Berechnungskalkulation. Quelle: f. Zapata.

Verweise

1. Brillant. Lineares Programmieren. Erholt von: Brillant.Org.
2. Eppen, g. 2000. Operationsforschung in der Verwaltungswissenschaft. 5. Auflage. Prentice Hall.
3. Haeussler, e. 1992. Mathematik für Verwaltung und Wirtschaftswissenschaften. 2. Auflage. Ibero -American Editorial Group.
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5. Wikipedia. Lineares Programmieren. Geborgen von: ist. Wikipedia.Org.