Nichtlineare Programmiermethoden und -übungen

Der Nichtlineare Programmierung Es ist der Prozess der Optimierung einer Funktion, die von mehreren unabhängigen Variablen abhängt, was wiederum Einschränkungen unterliegt.

Wenn eine oder mehrere der Einschränkungen oder wenn die Funktion zum Maximieren oder Minimieren (genannt " Zielfunktion), wird nicht als lineare Kombination der Variablen ausgedrückt, daher gibt es ein nichtlineares Programmierungsproblem.

Abbildung 1. Nichtlineare Programmierungsproblem (NLP). in welchem ​​G ist die Funktion (nichtlinear), um in der grünen Region zu optimieren, die durch die Einschränkungen bestimmt wird. Quelle: f. Zapata.

Und daher können die Verfahren und Methoden der linearen Programmierung nicht verwendet werden.

Zum Beispiel kann die bekannte Methode nicht verwendet werden Simplex, Dies gilt nur, wenn die objektive Funktion und die Einschränkungen die lineare Kombination der Variablen des Problems sind.

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Lineare Programmiermethoden

Für die nichtlineare Programmierung sind die zu verwendenden Hauptmethoden: 

1.- Grafische Methoden.

2.- Lagrange -Multiplikatoren, um die Grenze der Lösungsregion zu erkunden.

3.- Gradientenberechnung zur Erforschung der Enden der Zielfunktion.

4.- Die absteigende Schrittemethode, um die Null -Gradientenpunkte zu finden.

5.- Modifizierte Methode der Lagrange-Multiplikatoren (mit dem Zustand von Karush-Kuhn-Tucker).

Beispiel für Lösung mit grafischer Methode

Ein Beispiel für eine Lösung mit der grafischen Methode ist das, was in Abbildung 2 zu sehen ist:

Figur 2. Beispiel für nichtlineares Problem mit nicht linealen Einschränkungen und seiner grafischen Lösung. Quelle: f. Zapata.

Übungen

- Übung 1 (Grafikmethode)

Der Gewinn g eines bestimmten Unternehmens hängt von der Menge des Produkts X und der verkauften Menge des Produkts ab, und zusätzlich wird der Gewinn durch die folgende Formel bestimmt:

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G = 2 (x - 2)² + 3 (und - 3)²

Es ist bekannt, dass die Beträge x und y die folgenden Einschränkungen haben:

X ≥0; Y ≥0 und x + und ≤ 7

Bestimmen Sie die Werte von x und y, die die maximale Verstärkung erzeugen.

Figur 3. Der Gewinn des Unternehmens kann mathematisch modelliert werden, um den maximalen Gewinn durch nichtlineare Programmierung zu finden. Quelle: Pixabay.

Lösung 

In diesem Problem ist die objektive Funktion nicht linear, während die Ungleichheiten, die die Einschränkungen definieren. Es ist ein Problem von Nichtlineare Programmierung.

Für die Lösung dieses Problems wird die grafische Methode ausgewählt.

Zunächst wird die Lösungsregion bestimmt, was durch die Einschränkungen angegeben ist.

Als x ≥0; Y ≥0 muss die Lösung im ersten Quadranten der XY -Ebene suchen, aber da muss zusätzlich erfüllt werden, dass x + y ≤ 7 die Lösung im unteren Halbwert der Linie x + y = 7 befindet.

Die Lösungsregion ist der Schnittpunkt des ersten Quadranten mit dem unteren Halb der Linie, der zu einer dreieckigen Region führt, in der sich die Lösung befindet. Ist dasselbe wie in Abbildung 1 angegeben.

Auf der anderen Seite kann Gain G auch in der kartesischen Ebene dargestellt werden, da seine Gleichung die einer Ellipse mit der Mitte ist (2,3).

Die Ellipse ist in Abbildung 1 für mehrere g -Werte dargestellt. Ein höherer Wert von g, größerer Gewinn.

Es gibt Lösungen, die zur Region gehören, aber nicht den Maximalwert G angeben, während andere, wie G = 92.4 sind außerhalb der grünen Zone, dh der Lösungszone.

Dann entspricht der Maximalwert von G, so dass X e y zum Lösungsbereich gehört: 

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G = 77 (maximale Verstärkung), die für x = 7 e y = 0 auftritt. 

Interessanterweise tritt der maximale Gewinn bei der Menge des Produktumsatzes auf und ist ungültig, während die Menge des Produkts X seinen größten Wert erreicht.

- Übung 2 (Analytische Methode: Lagrange -Multiplikatoren) 

Finden Sie die Lösung (x, y), die die Funktion f (x, y) = x macht² + 2 und² maximal in Region G (x, y) = x sein² + Und² - 1 = 0.

Lösung

Es ist eindeutig ein nichtlineares Programmierungsproblem, da sowohl die objektive Funktion F (x, y) als auch die Restriktion g (x, y) = 0 keine lineare Kombination der Variablen x und y sind.

Die LaGrange -Multiplikat -Methode wird verwendet, für die zunächst die Funktion von LaGrange L (x, y, λ) definiert werden muss:

L (x, y, λ) = f (x, y) - λ g (x, y) = x² + 2 und² - λ (x² + Und² - 1) 

Wobei λ ein Parameter genannt wird LaGrange Multiplikator.

Um die extremen Werte der objektiven Funktion F in der Lösungsregion zu bestimmen, die durch die Restriktion G (x, y) = 0 angegeben sind, werden diese Schritte befolgt:

-Finden Sie die Teilleitungen der Funktion Lagrange L in Bezug auf X, y, λ.

-Null jedes Derivat.

Hier die Abfolge dieser Operationen:

1. ∂l/∂x = 2x - 2λx = 0
2. ∂l/∂y = 4y - 2λy = 0
3. ∂l/∂λ = -(x² + Und² - 1) = 0

Mögliche Systemlösungen

Eine mögliche Lösung dieses Systems ist λ = 1, um die erste Gleichung zu erfüllen. In diesem Fall y = 0, um die zweite zu erfüllen.

Diese Lösung impliziert, dass x = 1 oder x = -1, so dass die dritte Gleichung erfüllt ist. Auf diese Weise wurden zwei S1- und S2 -Lösungen erhalten:

S1: (x = 1, y = 0)

S2: (x = -1, y = 0).

Die andere Alternative ist, dass λ = 2, damit die zweite Gleichung erfüllt wird, unabhängig vom Wert und.

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In diesem Fall ist die einzige Möglichkeit, die erste Gleichung zu erfüllen, dass x = 0. In Anbetracht der dritten Gleichung gibt es nur zwei mögliche Lösungen, die wir S3 und S4 nennen werden:

S3: (x = 0, y = 1)

S4: (x = 0, y = -1)

Um zu wissen, welche oder welche dieser Lösungen die objektive Funktion maximieren, ersetzen Sie in F (x, y):

S1: F (1, 0) = 1² + 2.0² = 1

S2: f (-1, 0) = (-1)² + 2.0² = 1

S3: f (0, 1) = 0² + 2.1² = 2

S4: f (0, -1) = 0² + einundzwanzig)² = 2

Wir schließen daraus, dass die Lösungen, die f maximieren, wenn x und y zum Umfang g (x, y) = 0 sind, S3 und S4 sind.

Die Wertepaare (x = 0, y = 1) y (x = 0, y = -1) maximieren f (x, y) in der Lösungsregion G (x, y) = 0.

- Übung 3 (Null -Gradient)

Finden Sie Lösungen (x, y) für die Zielfunktion:

f (x, y) = x² + 2 und²

Maximal in Region G (x, y) = x sein² + Und² - 1 ≤ 0.

Lösung

Diese Übung ähnelt Übung 2, aber die Lösungsregion (oder die Einschränkung) erstreckt sich bis zum Innenbereich des Umfangs g (x, y) = 0, dh zum Kreis G (x, y) ≤ 0. Dies schließt den Umfang und seine innere Region ein.

Die Grenzlösung wurde bereits in Übung 2 ermittelt, aber es ist notwendig, die innere Region zu untersuchen.

Dazu muss der Gradient der Funktion f (x, y) berechnet und gleich Null sind, um nach Extremwerten in der Lösungsregion zu suchen. Dies entspricht der Berechnung der partiellen Derivate von F in Bezug auf X bzw. bzw. das Ausgleich von Null:

∂f/∂x = 2 x = 0

∂f/∂y = 4 y = 0

Dieses Gleichungssystem hat die einzige Lösung (x = 0, y = 0), die zum Kreis G (x, y) ≤ 0 gehört.

Ersetzen dieses Wertes in der Funktion F Ergebnisse:

f (0, 0) = 0

Zusammenfassend ist der Höchstwert, der die Funktion im Lösungsbereich einnimmt.

 Verweise

1. Avriel, m. 2003. Nichtlineare Programmierung. Dover Publishing.
2. Bazaraa. 1979. Nichtlineare Programmierung. John Wiley & Söhne.
3. Bertsekas, d. 1999. Nichtlineare Programmierung: 2. Auflage. Athena Scientific.
4. Nozedal, J. 1999. Numerische Optimierung. Springer-Verlag.
5. Wikipedia. Nichtlineare Programmierung. Geborgen von: ist.Wikipedia.com