Summe assoziative Eigenschaft, Multiplikation, Beispiele, Übungen

Der assoziatives Eigentum der Summe repräsentiert die assoziative Natur der Operation in verschiedenen mathematischen Sätzen. Es enthält drei (oder mehr) Elemente dieser Sets, die A, B und C genannt werden, so dass es immer erfüllt ist:

a + (b + c) = (a + b) + c

Auf diese Weise ist es garantiert, dass das Ergebnis unabhängig davon.

Abbildung 1. Wir nutzen die assoziative Eigenschaft der Summe viele Male bei arithmetischen und algebraischen Operationen. (Zeichnung: Freepik -Komposition: f. Zapata)

Es ist jedoch zu beachten, dass assoziativ. Das heißt, wir wissen, dass die Reihenfolge der Addends die Summe nicht ändert oder dass die Reihenfolge der Faktoren das Produkt nicht verändert. Also für die Summe können Sie so schreiben: a + b = b + a.

In der assoziativen Eigenschaft ist es jedoch anders, da die Reihenfolge der zugegebenen Elemente beibehalten wird und welche Änderungen der Betrieb zuerst ausgeführt werden. Dies bedeutet, dass es nicht zuerst spielt (b+c) und zu diesem Ergebnis hinzuzufügen, um zu B und zum Ergebnis hinzuzufügen, add C add C.

Viele wichtige Operationen wie die Summe sind assoziativ, aber nicht alle. Zum Beispiel in der Subtraktion realer Zahlen kommt es vor, dass:

A - (b - c) ≠ (a - b) - c

Ja A = 2, B = 3, C = 1, dann:

2- (3 - 1) ≠ (2 - 3) - 1

0 ≠ -2

[TOC]

Assoziatives Eigentum der Multiplikation

Wie für die Summe weist die assoziative Eigenschaft der Multiplikation an:

a ˟ (b ˟ c) = (a ˟ b) ˟ c

Kann Ihnen dienen: Summe von Polynomen, wie es getan ist, Beispiele, Übungen

Im Falle der reellen Zahlen ist es leicht zu überprüfen, ob es immer ist. Beispielsweise müssen Sie unter Verwendung der Werte a = 2, b = 3, c = 1:

2 _˟ (3 _˟ 1) = (2 _˟  3) _˟ 1 → 2 _˟ 3 = 6 _˟ 1

6 = 6

Die realen Zahlen erfüllen die assoziative Eigenschaft sowohl der Summe als auch der Multiplikation. Andererseits ist die Summe in einem anderen Satz wie dem der Vektoren assoziativ, aber das Produkt- oder Vektorprodukt ist nicht.

Anwendungen der assoziativen Eigenschaft der Multiplikation

Ein Vorteil, dass die Operationen, in denen die assoziative Eigenschaft erfüllt ist. Dies erleichtert die Lösung stark.

Nehmen wir zum Beispiel an, dass es in einer kleinen Bibliothek 3 Regale mit jeweils 5 Unterhaltung gibt. In jeder Unterhaltung gibt es 8 Bücher. Wie viele Bücher sind insgesamt?

Wir können die Operation wie folgt ausführen: Gesamtbücher = (3 x 5) x 8 = 15 x 8 = 120 Bücher.

Oder so: 3 x (5 x 8) = 3 x 40 = 120 Bücher.

Figur 2. Eine Anwendung der assoziativen Eigenschaft der Multiplikation besteht darin, die Anzahl der Bücher in jedem Regal zu berechnen. Bild erstellt von f. Zapata.

Beispiele

-In den Sätzen natürlicher, ganzer, rationaler, realer und komplexer Zahlen wird die assoziative Eigenschaft von Summe und Multiplikation erfüllt.

Figur 3. Für reale Zahlen wird die assoziative Eigenschaft der Summe erfüllt. Quelle: Wikimedia Commons.

-Für Polynome, die sie auch in diesen Operationen anwenden.

-In Fällen von Subtraktionsoperationen, Teilung und Exponentiation wird assoziative Eigenschaft nicht in realen Zahlen oder Polynomen erfüllt.

Kann Ihnen dienen: Orthoedro: Formeln, Bereich, Volumen, Diagonale, Beispiele

-Im Fall von Matrizen wird die assoziative Eigenschaft für die Summe und die Multiplikation erfüllt, obwohl im letzteren Fall die Kommutivität nicht erfüllt ist. Dies bedeutet, dass bei den Matrizen A, B und C es wahr ist, dass:

(A x b) x c = a x (b x c)

Aber ... a x b ≠ b x a

Assoziatives Eigentum in Vektoren

Vektoren bilden einen anderen Satz als reelle Zahlen oder komplexe Zahlen. Die für die Vektoren festgelegten Operationen sind etwas unterschiedlich: Es gibt Summe, Subtraktion und drei Arten von Produkten.

Die Summe der Vektoren erfüllt das assoziative Eigentum sowie Zahlen, Polynome und Matrizen. Was die Skalarprodukte betrifft, die nach Vektor und Kreuz, die zwischen den Vektoren hergestellt werden, erfüllt sich nicht, aber das Skalarprodukt, das eine andere Art von Betrieb zwischen den Vektoren ist, erfüllt es, wobei die folgenden berücksichtigt wird:

-Das Produkt eines Skalars für einen Vektor führt zu einem Vektor.

-Und durch das Klettern von zwei Vektoren ist es ein Skalar.

Daher angesichts der Vektoren v, oder Und W, Und zusätzlich ein Skalar λ ist es möglich zu schreiben:

-Summe der Vektoren: v +(oder + W ) = ((v + oder) + W

-Skalarprodukt: λ (v • oder ) = (λv) • oder

Letzteres ist dank was möglich v • oder Es ist ein Skalar und λv Es ist ein Vektor.

Jedoch:

v × (oder × W ) ≠ (v × oder)×W

Polynomfaktorisierung durch Gruppierung von Begriffen

Diese Anwendung ist sehr interessant, da assoziative Eigenschaften, wie oben erwähnt, bestimmte Probleme lösen. Die Summe der Monome ist assoziativ und dies kann verwendet werden, um zu berücksichtigen, wenn ein offensichtlicher gemeinsamer Faktor nicht auf den ersten Blick auftritt.

Kann Ihnen dienen: konvexes Polygon: Definition, Elemente, Eigenschaften, Beispiele

Nehmen wir beispielsweise an, es ist aufgefordert, zu faktorieren: X³ + 2X² + 3X +6. In diesem Polynom fehlt ein gemeinsamer Faktor, aber lassen Sie uns sehen, was passiert, wenn es auf diese Weise gruppiert ist:

X³ + 2x² + 3x +6 = (x³ + 2x²) + (3x +6)

Die erste Klammer hat als gemeinsamer Faktor X²:

X³ + 2X² = X² (x+2)

In der zweiten ist der gemeinsame Faktor 3:

3x +6 = 3 (x + 2)

So:

X³ + 2X² + 3X +6 = X²(x+ 2)+ 3 (x+ 2)

Jetzt gibt es einen offensichtlichen gemeinsamen Faktor, nämlich x+2:

X²(x+ 2)+ 3 (x+ 2) = (x+ 2) (x²+3)

Übungen

- Übung 1

Das Gebäude einer Schule hat 4 Stockwerke und in jedem gibt es 12 Klassenzimmer mit 30 Schreibtischen im Inneren. Wie viele Schreibtische hat die Schule insgesamt?

Lösung

Dieses Problem wird gelöst, indem die assoziative Eigenschaft der Multiplikation angewendet wird. Sehen wir uns an:

Gesamtzahl der Schreibtische = 4 Böden x 12 Klassenzimmer /Boden x 30 Schreibtische /Klassenzimmer = (4 x 12) x 30 Desk.

O Wenn bevorzugt: 4 x (12 x 30) = 4 x 360 = 1440 Schreibtische

- Übung 2

Angesichts der Polynome:

A (x) = 5x³ + 2x² -7x + 1

B (x) = x⁴ +6x³ -5x

C (x) = -8x² +3x -7

Wenden Sie die assoziative Eigenschaft der Summe an, um (x) + b (x) + c (x) zu finden, um (x) zu finden.

Lösung

Die ersten beiden können gruppiert werden und das Ergebnis fügt das dritte hinzu:

A (x) + b (x) = [5x³ + 2x² -7x + 1] + [x⁴ +6x³ -5x] = x⁴ + 11x³+ 2x² -12x +1

Polynom C (x) wird sofort hinzugefügt:

[X⁴ + 11x³+ 2x² -12x +1] + [-8x² +3x -7] = x⁴ + 11x³ - 6x² -9x -6

Der Leser kann überprüfen, ob das Ergebnis identisch ist, wenn sie mit Option A (x) + [b (x) + c (x)] aufgelöst wird].

Verweise

1. Jiménez, r. 2008. Algebra. Prentice Hall.
2. Mathematik macht Spaß. Kommutative, assoziative und Distriktgesetze. Erholt von: Mathisfun.com.
3. Mathematiklager. Definition von assoziativem Eigentum. Wiederhergestellt von: Mathwarehouse.com.
4. Wissenschaftlich. Assoziative und kommutative Eigenschaft von Addition und Multiplikation (mit Beispiel). Erholt von: Scienting.com.
5. Wikipedia. Assoziatives Eigentum. Abgerufen von: in.Wikipedia.Org.