Mathematik

Eigenschaften begrenzen (mit Beispielen)

Eigenschaften begrenzen (mit Beispielen)

Der Eigenschaften begrenzen Sie sind die Menge an algebraischen Regeln und Verfahren, die zur Bestimmung verwendet werden. Das Grenzkonzept ist für die Berechnung von wesentlicher Bedeutung und muss nicht eine komplizierte Aufgabe sein, vorausgesetzt, seine Eigenschaften werden mit Leichtigkeit behandelt.

Im Folgenden finden Sie eine Liste der wichtigsten, begleitet von Antragsbeispielen.

Die Grenzen und ihre Eigenschaften sind die Berechnung der Grundlage. Eine ganz besondere Grenze ist in der Abbildung dargestellt: Die Ableitung einer F (x) -Funktion

Sei B, C, N, A und B reale Zahlen und F Und G Solche Funktionen, die Folgendes überprüfen:


Dann haben Sie die folgenden Eigenschaften:

1. Direkter Ersatzlimit

In erster Instanz kann die Grenze einer Funktion f, wenn x → c berechnet werden kann, um x = C in der Funktion direkt zu ersetzen. Wenn die Funktion bei x = c existiert, ist die Grenze:

Aber nicht unbedingt muss die Funktion bei x = c definiert werden, damit die Grenze vorliegt. Die Idee besteht.

Beispiel

Finden Sie die Grenze von f (x) = x2 Wenn x → 4

Lösung

Die Grenze löst einfach, indem er x = 4 in f (x) = x ersetzt2, Da es keine Unannehmlichkeiten bei der Durchführung der Operation gibt:

2. Einzigartigkeit der Grenze

Wenn die Grenze einer Funktion f (x), wenn x → c existiert und L wert ist, ist diese Grenze einzigartig.

Daher sind die lateralen Grenzen, die bei x → C sind- (Lesen Sie „X neigt von links“ und wenn x → C+ (Es lautet „X tendiert zu C rechts“), beide existieren und haben den gleichen Wert l l, auch wenn die Funktion in x = C nicht definiert ist.

In dieser Animation wird das Konzept der Grenze vorgestellt: Wenn X zu einem bestimmten Wert C tendiert und sich sowohl links als auch rechts nähert, tendiert der Wert der Funktion tendenziell zu l. Nicht unbedingt die Funktion ist in x = c definiert. Quelle: Wikimedia Commons.

In der Animation wird dieser Ansatz beobachtet und was in diesem Fall mit der Funktion passiert: ob er sich links und rechts nach x = C nähert, liegt der Wert der Funktion wiederum in der Nähe von l.

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Mathematisch drückt so aus:

Die lateralen Grenzen lassen wissen, wann eine Grenze existiert oder nicht, denn wenn sie nicht existieren oder ob sie sich unterscheiden, ist es sicher, dass die Funktionsgrenze bei X → C nicht vorhanden ist.

Beispiel

Berechnen Sie die Grenze von f (x), wenn x → 1, wenn es existiert, wobei f (x) angegeben wird durch:

Lösung

Dies ist eine Funktion durch Teile oder definiert in Stücke, die aus Zeile 4 -x für die Werte von x besteht < 1 y en la parábola 4 - x2 Wenn x gleich 1 oder größer als 1 ist.

Wir können uns von links x = 1 nähern, in diesem Fall wird der für x gültige Teil der Funktion genommen<1:

Da die lateralen Grenzen gleich sind, folgt darauf, dass die Grenze der Funktion, wenn x → 1 existiert und 3 wert ist, 3 wert ist.

3. Konstante

Die Grenze einer Konstante ist der Wert dieser Konstante, unabhängig von dem Wert, zu dem die Variable tendiert:

Beispiel

Berechnung:

Lösung 

4. Identitätsfunktionsgrenze

Wenn f (x) = x, ist es immer erfüllt, dass:

Beispiel

Berechnung:

Lösung 

5. Produktgrenze einer Konstante durch eine Funktion

In diesem Fall geht die Konstante aus der Grenze und bewegt sich, um sie so zu multiplizieren, wie folgt:

Beispiel 

Berechnen Sie, falls vorhanden, die folgende Grenze:

Lösung

Die Konstante 5 multipliziert sich außerhalb der Grenze und die Ersatzeigenschaft wird angewendet:

6. Summengrenze

Die Grenze der Summe von zwei Funktionen F Und G Es ist die Summe der Grenzen:

Beispiel 

Finden Sie die folgende Grenze, wenn es vorhanden ist:

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Lösung

Die Eigenschaft der Summe der Grenzen wird zuerst und dann die des direkten Ersatzes angewendet, da die Operationen keine Schwierigkeiten haben:

 7. Subtraktionsgrenze

Fahren Sie im Falle der Grenze der Subtraktion zweier Funktionen auf eine analoge Weise fort, dass für die Summe: die Grenze der Subtraktion die Subtraktion der Grenzen ist:

Beispiel

Berechnen Sie die folgende Grenze:

Lösung 

Die Eigenschaft der Subtraktionsgrenze von zwei Funktionen wird angewendet und dann der direkte Ersatz, da alle Vorgänge ohne Problem ausgeführt werden können:

8. Produktlimit

Die Produktlimit von zwei Funktionen F Und G Es ist das Produkt der Grenzen:

Beispiel

Berechnen Sie diese Grenze:

Lösung

9. Verhältnis des Quotienten

Die Grenze des Verhältnisses von zwei Funktionen F Und G Es ist der Quotient der Grenzen, vorausgesetzt, die Grenze von g (x), wenn x → c sich von 0 unterscheidet, da die Teilung durch 0 nicht definiert ist. So:

Beispiel

Berechnen Sie, falls vorhanden, den Wert der folgenden Grenze:

Lösung

In erster Linie wird die Eigenschaftsgrenze angewendet, um den Quotienten der Grenzen zu erhalten:

Die Ersatzeigenschaft wird nun angewendet, um jede Grenze zu finden:

Und da B ≠ 0 ist, ist die gesuchte Grenze der Quotient A/B:

10. Grenze

Die Grenze einer Macht von Exponent N entspricht der Grenze, die zu dieser Macht erhöht wird, wie folgt:

Fall 1: Grenze einer X -Leistung

Wenn Sie beispielsweise die Grenze einer X -Leistung haben, Ergebnisse:

Laut Immobilien 4 ist diese Grenze:

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Fall 2: Wurzelgrenze

Eine n-dieser Wurzel kann in Form eines fraktionalen Exponenten geschrieben werden, weshalb:

Wichtig: Wenn der Stammindex ausgeglichen ist, ist es notwendig, dass die Grenze von F (x), wenn x → C größer oder gleich 0 ist, da es keine realen Paare negativer Mengen gibt.

Beispiele

Bestimmen Sie, die vorherigen Eigenschaften anwenden, die folgenden Grenzen, wenn sie vorhanden sind:

Lösung für

Durch Eigentum der Grenze einer Macht und direkter Substitution wird sie erhalten:

Lösung b

elf. Grenze

Um die Grenze eines Basis -Exponentials B und Exponent F (x) zu ermitteln, muss die Basis der Funktion der Funktion f (x) wie folgt angehoben werden:

Beispiel

Finden Sie, wenn es die folgende Grenze gibt:

Lösung 

In dieser Grenze ist die Basis die Zahl E und die Funktion f (x) = x2, Daher müssen Sie zuerst das X -Grenze berechnen2  Wenn X tendiert 1:

Dann wird die Eigenschaft der Exponentialgrenze angewendet:

12. Exponentiale potenzielle Funktionsbegrenzung

Die Grenze, wenn x → C einer Funktion f (x), die wiederum zu einer anderen Funktion G (x) erhöht ist, wird ausgedrückt durch:

Beispiel

Berechnen Sie die folgende Grenze, wenn es vorhanden ist:

Lösung

Um die vorherige Eigenschaft anzuwenden, werden sie zuerst f (x) = x-1 und g (x) = 2x identifiziert, und dann werden die jeweiligen Grenzen berechnet:

 Endlich:

Verweise 

  1. Ayres, f. 2000. Berechnung. 5ed. Mc Graw Hill.
  2. Leithold, l. 1992. Berechnung mit analytischer Geometrie. Harla, s.ZU.
  3. Kostenlose Mathematiktexte. Grenzen. Erholt von: Mathematik.Liibretrettextexte.Org.
  4. Mathemovil. Gesetze und Begrenzung Eigenschaften. Erholt von: Matemovil.com.
  5. Larson, r. 2010. Berechnung einer Variablen. 9na. Auflage. McGraw Hill.
  6. Purcell, e. J., Varberg, d., & Rigdon, s. UND. (2007). Berechnung. Mexiko: Pearson Ausbildung.
  7. Universumformeln. Eigenschaften begrenzen. Erholt von: Universoumulas.com