Coplanares Punkte Gleichung, Beispiel und gelöste Übungen

Der Coplanares Punkte Sie alle gehören zum gleichen Flugzeug. Zwei Punkte sind immer Coplanares, da diese Punkte eine Linie definieren, durch die flache Infiniten passieren. Dann gehören beide Punkte zu jedem der Pläne, die die Linie durchlaufen und daher immer Coplanares sein werden.

Andererseits definieren drei Punkte eine einzelne Ebene, von der befolgt wird.

Abbildung 1. A, B, C und D Sie sind Coplanares zur Ebene (ω). E, F und G sind keine Coplanares A (ω), aber wenn sie Coplanares für die Ebene sind, die drei definieren. Quelle: f. Zapata.

Mehr als drei Punkte können koplanar sein oder nicht. Zum Beispiel sind in Abbildung 1 die Punkte A, B, C und D Coplanares zur Ebene (ω). Aber E, F und G sind keine Coplanares A (ω), obwohl sie Coplanares für die Ebene sind, die drei definieren.

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Gleichung einer Ebene mit drei Punkten

Die Gleichung einer Ebene, die durch drei bekannte Punkte A, B, C bestimmt wird. 

Die vorherige Aussage entspricht der Behauptung, wenn p der Koordinaten (x, y, z) der Ebenengleichung begegnet, dann wird der Punkt auf Kopatar mit den drei Punkten a, b, c sein, die die Ebene bestimmt haben.

Um die Gleichung dieses Flugzeugs zu finden, beginnen wir damit, die Vektoren zu finden Ab Und AC:

Ab = [BX - AX, BY - AY, BZ - AZ]

AC = [CX - AX, CY - AY, CZ - AZ]

Das Vektorprodukt Ab X AC Dies führt zu einem senkrechten oder normalen Vektor zur Ebene, die durch Punkte A, B, C bestimmt werden.

Ein beliebiger Punkt der Koordinaten (x, y, z) gehört zur Ebene, wenn der Vektor wahr ist AP ist senkrecht zum Vektor Ab X AC, was garantiert ist, wenn er erfüllt ist:

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AP • (ab X Ac) = 0

Dies entspricht der Aussage, dass das dreifache Produkt von AP, Ab Und AC Sei null. Die vorherige Gleichung kann auf Matrix geschrieben werden:

Beispiel

Lassen Sie die Punkte A (0, 1, 2); B (1, 2, 3); C (7, 2, 1) und d (Zu, 0, 1). Welcher Wert sollte haben Zu so dass die vier Punkte Coplanares sind?

Lösung

Um den Wert eines.

Entwicklung der Determinanten, die wir haben:

A (-1-1) + 1 (-1 -7) -1 (1 -7) = -2a -8 + 6 = -2a -2 = 0

Die vorherige Gleichung zeigt das an A = -1 Gleichheit zu erfüllen. Mit anderen Worten, der einzige Weg, den D (D (Zu, 0.1) Coplanar mit den Punkten A, B und C sein Zu Valga -1. Andernfalls ist es nicht koplanar.

Gelöste Übungen

- Übung 1

Eine Ebene schneidet die kartesischen Achsen x, y, z in 1, 2 bzw. 3. Der Schnittpunkt der Ebene mit den Achsen bestimmt die Punkte A, B und C. Finden Sie die DZ -Komponente eines Punktes D, dessen kartesische Komponenten sind:

 D (-dz, dz+1, dz) 

Unter der Bedingung, dass D Coplanar mit den Punkten A, B und C ist. 

Lösung

Wenn die Interceptions einer Ebene mit den kartesischen Achsen bekannt sind, kann die segmentale Form der Ebenengleichung verwendet werden:

x/1 + y/2 + z/3 = 1

Da Punkt D zur vorherigen Ebene gehören muss, müssen Sie:

-Dz/1 + (dz + 1)/2 + dz/3 = 1

Das heißt:

-Dz + dz/2 + ½ + dz/3 = 1

DZ (-1 + ½ + ⅓) = ½ 

DZ (-1/6⅙) = ½ 

Dz = -3 

Aus dem obigen folgt es, dass Punkt D (3, -2, -3) mit den Punkten A (1, 0, 0) gekoppelt ist; B (0, 2, 0) und C (0, 0, 3).

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- Übung 2

Bestimmen, ob Punkte A (0, 5, 3); B (0, 6, 4); C (2, 4, 2) und D (2, 3, 1) sind Coplanares.

Lösung

Wir bilden die Matrix, deren Reihen die Koordinaten von D-A, B-A und C-A sind. Dann wird die Determinante berechnet und es wird verifiziert, ob Null.

Nachdem alle Berechnungen durchgeführt wurden, wird der Schluss gezogen, dass sie Coplanares sind.

- Übung 3

Zwei Linien sind im Weltraum angegeben. Eine von ihnen ist die Linie (R), deren parametrische Gleichung lautet:

(R): x = 1 + 2 λ; y = 1 - λ; Z = 1

Und der andere ist die Linie (en), deren Gleichung lautet:

(S): x + 2 y = 1; Z = -1

Zeigen, dass (r) und (s) sie Coplanarium gerade sind, das heißt, sie sind in derselben Ebene.

Lösung

Beginnen wir willkürlich zwei Punkte auf der Linie (R) und zwei in der Linie (n):

Gerade (r): λ = 0; A (1, 1, 1) und λ = 1; B (3, 0, 1)

Lass es uns tun x = 0 auf der Linie (en)=> y = ½; C (0, ½, -1). Und andererseits, wenn wir das tun y = 0 => x = 1; D (1, 0, -1).

Das heißt, wir haben die Punkte A und B gewonnen, die zur Linie (R) und den Punkten C und D gehören, die zur Linie (s) gehören. Wenn diese Punkte Coplanares sind, dann sind es auch die beiden Zeilen.

Jetzt entscheiden wir uns dafür, wie der Drehpunkt und dann die Koordinaten der Vektoren finden Ab, AC Und ANZEIGE. Auf diese Weise bekommen Sie:

B - A: (3-1, 0 -1, 1 - 1) => Ab= (2, -1, 0)

C -a: (0-1, 1/2 -1, -1 -1) => AC= (-1, -1/2, -2)

D -a: (1-1, 0 -1, -1 -1) => ANZEIGE= (0, -1, -2)

Der nächste Schritt besteht darin, die Determinante zu erstellen und zu berechnen, deren erste Reihe die Vektorkoeffizienten sind Ab, Die zweite Reihe sind die von denen von AC und die dritte Reihe der Vektor ANZEIGE:

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Da sich herausstellt, dass die Determinante null ist, können wir zu dem Schluss kommen, dass die vier Punkte Coplanarios sind. Darüber hinaus kann gesagt werden, dass Linien (R) und (S) auch Coplanares sind.

- Übung 4

Die Linien (R) und (S) sind Coplanares, wie in Übung 3 gezeigt. Finden Sie die Gleichung der Ebene, die sie enthält.

Lösung

Die Punkte A, B, C definieren diese Ebene vollständig, aber wir möchten auferlegen, dass jeder Punkt x der Koordinaten (x, y, z) demselben gehört.

X - a: (x -1, y -1, z - 1) => Axt= (X -1, y -1, z -1)

B - A: (3-1, 0 -1, 1 - 1) => Ab= (2, -1, 0)

C -a: (0-1, 1/2 -1, -1 -1) => AC= (-1, -1/2, -2)

So dass X zur Ebene gehört, die durch A, B, C und in die die Linien (R) und (S) enthalten sind Axt, in der zweiten durch die von denen von Ab Und im dritten von denen von AC:

Nach diesem Ergebnis gruppieren wir uns auf diese Weise:

2 (x-1) + 4 (y-1) -2 (z-1) = 0

Und sofort ist zu sehen, dass es so umgeschrieben werden kann:

x - 1 + 2y - 2 - z + 1 = 0

Daher ist x + 2y - z = 2 die Gleichung der Ebene, die die Linien (R) und (S) enthält.

Verweise

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7. Sullivan, m. 1997. Vorkalkulation. Pearson Ausbildung.