Was ist die Richtlinie?? (Geometrie)

Der Richtlinie In der Geometrie besteht es aus einer Kurve, einer Oberfläche oder einem Volumen, das fest bleibt und die Art und Weise bestimmt, wie ein geometrisches Objekt gebildet wird. Zum Beispiel werden durch eine Linie andere Kurven wie konische und Revolutionsflächen wie der gerade kreisförmige Zylinder festgelegt.

Die Richtlinienkurve kann auch ein Umfang sein. Ein gerader kreisförmiger Zylinder kann gebildet werden, indem ein Radius ri -r rión ri hinterlassen wird.

Abbildung 1. Ein gerader kreisförmiger Zylinder hat als Führung einen Kreis, um den sich eine gerade Linie namens Generatrix bewegt. Quelle: f. Zapata.

Der Umfang, der sich in der in der Abbildung gezogenen Ebene befindet, bestimmt die Form der gekrümmten Oberfläche des geraden kreisförmigen Zylinder gerade Generatrix.

Wenn die Leitkurve kein Umfang ist, sondern eine andere Kurve, werden andere Zylindertypen erzeugt, wie z. B. der elliptische Zylinder, dessen Richtlinie eine Ellipse ist.

Ein Umfang kann auch als Richtlinie für die Erstellung einer anderen Kurve dienen. Dies ist der Fall von der Epitrocoid, Eine Kurve in der Ebene, die durch einen Punkt erzeugt wird, der sich wiederum in einem kleineren Kreis befindet, der ohne Gleiten um die Richtlinie rollt.

Es ist einfacher, es visuell durch die folgende Animation zu schätzen:

Figur 2. Die rote Kurve heißt Epitrozid und seine Richtlinienkurve. Quelle: Wikimedia Commons. Sam Derbyshire bei den englischen Wikipedia/CC-BY-S (http: // creativecommons.Org/lizenzen/by-sa/3.0/).

Die Richtlinienkurve auf zylindrischen Oberflächen

Zylindrische Oberflächen werden nach ihrer Richtlinienkurve in Zylinder klassifiziert:

-Kreisförmig

-Elliptisch

-Parabolisch

-Hyperbolisch

Wenn eine zylindrische Oberfläche eine Richtlinie hat, die in einer Ebene senkrecht zur Generatrix -Linie liegt, entspricht die Gleichung der Oberfläche der Richtlinie der Richtlinie.

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Die Zylinder gehören zur Gruppe von Quadrische Oberflächen, deren Gleichung ist die zweite Klasse mit drei Variablen. Die allgemeine Form lautet:

Axt² + Von² + CZ² + Dxy + exz + fyz + gx + hy + iz + k = 0

Wo Koeffizienten a, b, c ... reelle Zahlen sind.

Die Zylinder sind die häufigsten und nützlichsten dreidimensionalen geometrischen Körper, die gefunden werden können, insbesondere die geraden kreisförmigen Zylinder, aber die anderen nachstehend beschriebenen Zylindertypen haben ebenfalls Anwendungen in Engineering und Design.

Gerade kreisförmiger Zylinder

Seine Richtlinie ist ein Kreis C, der sich in einer Ebene senkrecht zum Zylinder befindet, wie in Abbildung 1 gezeigt, da die Generatrix -Linie, die nach C verläuft, um die laterale Oberfläche zu bilden, senkrecht zu C ist.

Die Gleichung des Umfangs C auf der XY -Ebene, der sich auf den Ursprung (0,0) konzentriert, lautet:

X² + Und² = R²

Wo r, der Radius des Umfangs ist offensichtlich der Radius des Zylinders. Die Höhe H des Zylinders erstreckt sich über die Z -Achse, senkrecht zur XY -Ebene.

Elliptischer Zylinder

Die Richtlinie ist eine Ellipse in der XY -Ebene, die auf dem Ursprung (0,0) zentriert ist, dessen Gleichung lautet:

Das Generatrix ist eine Linie senkrecht zur XY -Ebene, die sich um die Ellipse bewegt, um zur Seitenoberfläche zu führen. Die Ellipse kann auf der XY -Ebene in jeder Höhe z sein.

Zum Beispiel die Gleichung Ellipse:

4x² + 9y² = 36

Es ist die Richtlinienkurve, die den elliptischen Zylinder entsteht, dessen Gleichung 4x ist² + 9y² = 36 plus z = 0. Wenn Sie diesen letzten Ausdruck hinzufügen, ist es klar, dass es sich um die Oberfläche handelt.

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Parabolzylinder

In diesem Fall ist die Richtlinie ein Gleichnis, das aus der Form y = x aussehen kann². Somit ist der Zylinder entlang der Z -Achse gerichtet und bildet die Stapelung der Gleichnisse mit einem Scheitelpunkt in (0.0) entlang dieser Achse.

Der parabolische Zylinder hat Anwendung in Sonnenenergie, da einige Sammler auf diese Weise Spiegel haben, durch die sich das Sonnenlicht im Fokus konzentriert. Dieser Punkt passt ein gerader Rohr, in das ein Öl Temperaturen bis zu 400 ° C erreicht.

Hyperbolische Zylinder

Im hyperbolischen Zylinder ist die Gleichung der Richtlinie die Hyperbola, die sich auf den Ursprung konzentriert:

Der Zylinder wird zum Stapel gebildet.

Revolutionsoberfläche

Die Richtlinienkurve einer Revolutionsoberfläche ist die gleiche Revolutionachse, die Linie, um die die Kurve für die Erzeugung der Oberfläche verantwortlich ist.

Die Kurve, die sich dreht, kann eine willkürliche Form haben, auf diese Weise wird ein Bereich erzeugt, wie in dieser Animation zu sehen ist:

Figur 3. Eine Revolutionsoberfläche. Quelle: Wikimedia Commons. https: // hochladen.Wikimedia.Org/wikipedia/commons/e/e7/rotationskoerper_animation.GIF.

Wenn eine andere Linie in der Richtlinie umgedreht wird, wird der bereits bekannte geradlinige kreisförmige Zylinder erhalten. Ebenso können andere Revolutionsflächen erhalten werden, wie z. B. konische, sphärische und toroidale Revolutionsflächen.

Konische Oberfläche

Eine konische Oberfläche wird durch Bewegung einer Generatrix -Linie erzeugt, die immer durch die feste Flachkurve oder Richtlinienkurve und den festen Punkt namens Vertex geleitet wird, der nicht zur Richtlinienebene gehört.

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Der Scheitelpunkt oder die Spitze unterteilt den Kegel in zwei Teile, genannt Blätter entweder Geäst.

Gelöste Übungen

- Übung 1

Finden Sie die laterale Fläche des hohen kreisförmigen Zylinders von Höhe 25 cm, dessen Richtlinienkurve der 6 -cm -Radiusumfang ist, der sich auf den Ursprung konzentriert.

Lösung

Die laterale Fläche des Zylinders ist das Produkt der Länge der Richtlinie nach Höhe. Wenn R der Radius des Umfangs ist und H die Höhe des Zylinders ist, ist der Bereich gegeben durch:

A = 2πr x H = 2πx 6 cm x 25 cm = 942.5 cm²

- Übung 2

Sie haben die folgende Gleichung, die einer quadrischen Oberfläche entspricht:

X² + Und² + 2z² +2xz - 2yz = 1

Geben Sie an, welche Oberfläche es ist und welche Gleichung der Richtlinie ist.

Lösung

Z = K, wobei k konstant ist, wird es erhalten:

X² + Und² + 2k² +2kx - 2ky = 1

Wir ordnen die Begriffe wie folgt neu an:

(X² + 2kx) + (und²- 2ky) = 1-2k²

Quadrate müssen², Um keine der Klammern zu ändern:

(X² + 2kx + k² - k² ) + (und² - 2ky + k² - k²) = 1-2K²

(X² + 2kx + k²) - k²  + (Und²- 2ky + k²) - k² = 1-2K²

Auf diese Weise bleibt es:

(x + k)² + (und - k)² = 1

Wie die Gleichung eines Mittelkreises (-k, k) und Radius 1 ist die Oberfläche ein gerader kreisförmiger Zylinder, auch von Radio 1, solange die Generatrix-Linie senkrecht zum Umfang ist.

Wenn Sie beispielsweise K = 0 durchführen, wird die Gleichung auf den Umfang reduziert, der auf dem Ursprung (0,0) zentriert ist, dessen Radius 1 beträgt:

X² + Und² = 1

Verweise

1. Gaußschen. Drei dimensionale Oberflächen darstellen. Erholt von: Gaußschen.com.
2. Kindle, j. Theorie und Probleme der analytischen Geometrie. McGraw Hill. Schaum -Serie.
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4. Suárez, m. Oberflächen. Abgerufen von: Themen.UNQ.Edu.ar.
5. Quadrische Oberflächen. Wiederhergestellt von: Systeme.fciencias.Unam.mx.