Was sind dreieckige Zahlen? Eigenschaften und Demonstrationen

Es ist bekannt als dreieckige Zahlen auf die Abfolge von Zahlen, die durch eine Anordnung oder eine Abbildung von Punkten des gleichseitigen Dreiecks erhalten werden. Die erste der Sequenz ist: 1, 3, 6, 10, 15, 21, ..

Das erste dreieckige Problem ist 1, das zweite ist die 3, da es aus der Zugabe einer zwei -Punkte.

Abbildung 1. Sequenz der ersten sechs dreieckigen Zahlen. Quelle: Wikimedia Commons. Melchoir/cc by-sa (https: // creativecommons.Org/lizenzen/by-sa/3.0)

Der dritte ist 6, was beim Hinzufügen einer dreipunkt -Zeile zur vorherigen Anordnung erscheint, so dass pro Seite ein Dreieck mit drei Punkten gebildet wird. Die 10 der Sequenz wird erhalten, indem die vorherige Anordnung eine weitere Zeile hinzugefügt wird, damit ein Dreieck von vier Punkten pro Seite gebildet wird.

Die Formel, mit der Sie das Element finden können N Aus der dreieckigen Sequenz lautet die vordere dreieckige Zahl:

T_N = T_N-1 + N

Die Liste der ersten sechs dreieckigen Zahlen wird so erreicht:

-Erste: 1

-Zweite: 1 + 2 = 3

-Dritte: (1 +2) + 3 = 3 + 3 = 6

-Zimmer: (1 + 2 + 3) + 4 = 6 + 4 = 10

-Fünfte: (1 + 2 + 3 + 4) + 5 = 10 + 5 = 15

-Sechste: (1 + 2 + 3 + 4 + 5) + 6 = 15 + 6 = 21

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Eigenschaften von dreieckigen Zahlen

1.- Die n-simo tn-dreieckige Anzahl der Dreieckszahlensequenz ist die Hälfte von N multipliziert mit N+1:

T_N = ½ n (n+1)

2.- Die Summe der dreieckigen Zahl n-ésimo mit der vorderen dreieckigen Zahl, dh (n-1) -Seimo, ist quadratisch erhöht:

T_N + T_N-1= n²

3.- Der Unterschied in der dreieckigen Zahl n-this weniger der dreieckige N-ésimo weniger ist n:

T_N - T_N-1 = n

4.- Die Summe der ersten dreieckigen Zahlen wird als tetraedrische Zahl SN bezeichnet und entspricht dem sechsten Teil des Produkts multipliziert mit (N + 1) und multipliziert mit (N + 2):

Kann Ihnen dienen: Besteuerung

S_N= ⅙ n (n + 1) (n + 2)

5.- Jede natürliche Zahl n ist das Ergebnis der Summe von drei dreieckigen Zahlen:

N = Δ1 + Δ1 + δ3

Diese letzte Eigenschaft oder Theoremin wurde 1796 vom großen Mathematiker Carl Friedrich Gauß entdeckt, den er in seinem Tagebuch erzielte, indem er die griechische Bewunderung platzierte Eureka! Was heißt das "Ich habe es erreicht".

Das war das gleiche Wort, das viel früher von den griechischen Archimedes verwendet wurde, als er das scheinbare Gewicht eines untergetauchten Körpers bestimmte.

In dieser Beziehung wird die Nullzahl als dreieckig angesehen, und es kann sich wiederholen lassen.

Demonstrationen

- Demonstration 1

Beweisen, dass die dreieckige Zahl N-Das ist:

T_N = ½ n (n+1)

Es ist leicht, die vorherige Formel abzuleiten, wenn wir erkennen, dass wir der dreieckigen Anordnung die gleiche Anzahl von Punkten hinzufügen können, um ein Viereck von Punkten zu bilden.

Da die Gesamtzahl der Anordnungspunkte in Form eines Vierecks die Anzahl der Zeilen ist N multipliziert mit der Anzahl der Spalten (N+1), Dann hat die dreieckige Anordnung nur die Hälfte der Punkte der Anordnung in Form eines Viereckers.

Hier ist in Abbildung 2 dargestellt.

Figur 2. Quadratische Anordnung, bei der die Gesamtzahl der Punkte die Anzahl der Zeilen n multipliziert mit der Anzahl der Spalten N+1 ist. Die Gesamtzahl der Punkte ist auch doppelt so hoch wie die der dreieckigen Anordnung. Quelle: Wikimedia Commons.

- Demonstration 2

Zeigen, dass die Summe von N-Diese dreieckige Zahl mit der N-Je weniger eins Dreieckszahl ist N kariert:

T_N + T_N-1= n²

Es wurde bereits gezeigt, dass die dreieckige Zahl N-Dies ist gegeben durch:

T_N= ½ n (n+1)

Daher lautet die vordere dreieckige Zahl:

T_N-1 = ½ (n-1) ((n-1) + 1) = ½ n (n-1)

Die Summe beider Überreste:

T_N + T_N-1 = ½ n (n + 1) + ½ n (n - 1)

½ n wird genommen, um zu erhalten:

T_N + T_N-1 = ½ n [(n + 1) + (n - 1) = ½ n [n + 1 + n - 1]

Und sofort ist der Ausdruck in der Klammer vereinfacht:

Es kann Ihnen dienen: Schätzung durch Intervalle

T_N + T_N-1 = ½ n [2 n] = ½ 2 n ≤ n

Wenn Sie sich nun daran erinnern, dass ½ für 2 1 ist und dass n für n n quadratisch ist, haben Sie:

T_N + T_N-1 = n²

Diese Eigenschaft kann auch geometrisch nachgewiesen werden, das Dreieck ist einfach so abgeschlossen, wie in Abbildung 3 gezeigt wird, um ein Quadrat zu bilden.

Figur 3. Die Summe der dreieckigen N-ésimo-Zahl mit der vorderen dreieckigen Zahl ist gleich N-Quadrat. Quelle: Wikimedia Commons.

- Demonstration 3

Der Unterschied in der dreieckigen Anzahl von Ordnung N abzüglich der dreieckigen Anzahl von Ordnung N-1 ist n:

T_N - T_N-1 = n

Dies kann einfach getestet werden, indem er sich daran erinnert, dass die folgende dreieckige Zahl aus der vorherigen durch die Formel erhalten wird:

T_N = T_N-1 + N

Und von dort aus ist es offensichtlich, dass T_N - T_N-1 = n. Es ist auch einfach, es grafisch zu visualisieren, wie in Abbildung 4 gezeigt.

Figur 4. Die Differenz der dreieckigen Anzahl von Ordnung n weniger das vordere Dreieck der Ordnung N-1 ist n. Quelle: Wikimedia Commons.

- Demonstration 5

Die Summe der ersten dreieckigen n Zahlen sN Es entspricht dem sechsten Teil des Produkts multipliziert mit (N + 1) und multipliziert mit (N + 2):

S_N = ⅙ n (n + 1) (n + 2)

Verwenden wir die dreieckige Anzahl von Order n: T_N= ½ n (n+1). Die Summe der ersten N Dreieckszahlen werden es für bezeichnen S_N  

Zum Beispiel, S₁ bedeutet die Summe der ersten dreieckigen Frage, die zweifellos 1 sein wird.

Dann sehen wir, ob die Formel, die wir versuchen zu versuchen, n = 1 eingehalten wird:

S₁ = ⅙ 1 Planung 2 = 1

In der Tat wird die Formel für n = 1 überprüft. Es ist leicht zu visualisieren, dass die Summe von N+1 erste dreieckige Zahlen die Summe der ersten N mehr sein wird. Die nächste dreieckige Zahl:

S_N+1 = S_N + T_N+1

Nehmen wir jetzt an die Formel von S_N Es ist für n erfüllt, dann ersetzen wir es im vorherigen Ausdruck und fügen die dreieckige Anzahl von Ordnung hinzu N+1:

S_N+1 = [⅙ n (n + 1) (n + 2)] + [½ (n + 1) (n + 2)]]

Kann Ihnen dienen: senkrechte Linie: Merkmale, Beispiele, Übungen

Schauen wir uns Schritt für Schritt an, was erhalten wird:

-Wir führen die Summe der beiden fraktionalen Ausdrücke durch:

S_N+1 = [2 n (n + 1) (n + 2) + 6 (n + 1) (n + 2)] /12 

-Es wird aus dem Zähler entfernt, der 2 (N + 1) (N + 2) gemeinsam ist, und vereinfacht:

S_N+1 = 2 (n + 1) (n + 2) [n +3] / 12 = (n + 1) (n + 2) (n +3) / 6

Das vorherige Ergebnis stimmt mit der S -Formel übereinN Wenn n+1 ersetzt wird, was durch Induktion die Formel der Summe der ersten dreieckigen Begriffe zeigt.

Tetraedrische Zahl

Das erzielte Ergebnis heißt Tetraedrische Anzahl der Ordnung n, Weil es so ist, als würde man dreieckige Schichten ansammeln, die ein Tetraeder bilden, wie in der folgenden Animation gezeigt.

Abbildung 5. Die Summe der N-dreieckigen Zahlen entspricht dem Stapel von Schichten von N, N-1, ..., 1 Dreiecken, die ein normales Tetraeder bilden. Quelle: Wikimedia Commons.

Verweise

1. Camacho J. Ein unerwartetes Erscheinen von dreieckigen Zahlen. Erholt von: Masskience.com
2. Claudio. Dreieckige Zahlen. Wiederhergestellt von: einfach Zahlen. Blogspot. com
3. Wikipedia. Dreieckszahl. Geborgen von: ist.Wikipedia.com
4. Wikipedia. Dreieckszahl. Abgerufen von: in.Wikipedia.com
5. Wikipedia. Nummer Tretraedrisch. Abgerufen von: in.Wikipedia.com