Was sind Coplanares -Vektoren? (Mit gelösten Übungen)

Der Coplanares -Vektoren o Coplanarios sind diejenigen, die in derselben Ebene enthalten sind. Wenn Sie nur zwei Vektoren haben, sind diese immer Couplet.

Wenn Sie drei oder mehr Vektoren haben, kann es sein, dass eine von ihnen nicht in derselben Ebene ist wie andere, daher konnten sie nicht als Coplanares angesehen werden. Die folgende Abbildung zeigt eine Reihe von Coplanares, die in fetthaltigen Vektoren bezeichnet werden ZU, B, C Und D:

Abbildung 1. Vier Coplanares. Quelle: Selbst gemacht.

Vektoren beziehen sich auf das Verhalten und die Eigenschaften relevanter physischer Größen in Wissenschaft und Ingenieurwesen. Zum Beispiel Geschwindigkeit, Beschleunigung und Stärke.

Eine Kraft erzeugt unterschiedliche Auswirkungen auf ein Objekt, wenn die Art und Weise, wie sie angewendet wird. Wechseln Sie immer noch einen dieser Parameter. Die Ergebnisse sind erheblich unterschiedlich.

In vielen Anwendungen, sowohl in statischer als auch in Dynamik, sind die Kräfte, die auf einen Körper wirken.

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Bedingungen für Vektoren, die Coplanares sind

Damit drei Vektoren Coplanares sind, müssen sie sich in derselben Ebene befinden, und dies geschieht, wenn sie eine der folgenden Bedingungen erfüllen:

-Die Vektoren sind parallel, daher sind ihre Komponenten proportional und linear abhängig.

-Ihr gemischtes Produkt ist ungültig.

-Wenn Sie drei Vektoren haben und einer von ihnen als lineare Kombination der beiden anderen geschrieben werden kann, sind diese Vektoren Coplanares. Zum Beispiel ein Vektor, der sich aus der Summe von zwei anderen ergibt, sind die drei alle in derselben Ebene.

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Alternativ kann der Zustand der Coplanarität wie folgt festgelegt werden:

U v w Sie sind Coplanares, wenn es drei Zahlen (Skalare) α, β, γ gibt, so dass αoder + βv + γW = 0 Mit (α, β, γ) unterscheidet sich von (0, 0, 0)

Gemischtes Produkt zwischen drei Vektoren

Das gemischte Produkt zwischen Vektoren ist mit drei Vektoren definiert oder, v Und W, Dies führt zu einem Skalar, der sich aus der Ausführung der folgenden Operation ergibt:

oder · (v X W) = oder · (v X W)

Zuerst wird das Kreuzprodukt, das in Klammern ist, hergestellt: v X W, dessen Ergebnis ein normaler (senkrechter) Vektor für die Ebene ist, in der sie so sind v als W.

Ja oder ist auf dem gleichen Flugzeug wie v Und W, Natürlich muss das Skalarprodukt (Punktprodukt) zwischen u und dem normalen Vektor 0 sein. Auf diese Weise wird verifiziert, dass die drei Vektoren Coplanares sind (sie liegen auf derselben Ebene).

Wenn das gemischte Produkt nicht null ist, entspricht sein Ergebnis dem Volumen des Parallelepiped, das die Vektoren hat oder, v Und W als angrenzende Seiten.

Anwendungen

Coplanares, gleichzeitige und nicht kolineale Kräfte

Die Stärken gleichzeitig Sie werden alle auf den gleichen Punkt angewendet. Wenn sie auch Coplanares sind, können sie nur durch einen ersetzt werden, der genannt wird resultierende Kraft Und es hat den gleichen Effekt wie die der ursprünglichen Kräfte.

Wenn sich ein Körper im Gleichgewicht im Gleichgewicht befindet ZU, B Und C, Er Lamys Theorem Er weist darauf hin, dass die Beziehung zwischen diesen Kräften (Größen) wie folgt lautet:

A / sin α = b / sen β = c / sen γ

Mit α, β und γ als Winkel gegen die angewendeten Kräfte, wie in der folgenden Abbildung gezeigt:

Figur 2. Drei Kräfte A, B und C Coplanares wirken auf ein Objekt. Quelle: Kiwakwok bei English Wikipedia [Public Domain]

Gelöste Übungen

-Übung 1

Finden Sie den Wert von K, damit die folgenden Vektoren Coplanares sind:

Kann Ihnen dienen: Carnot -Maschine

oder =

v =

W =

Lösung

Da die Komponenten der Vektoren aufgetreten sind, werden daher die Kriterien des gemischten Produkts verwendet: daher:

oder · (v X W) = 0

Es wird zuerst gelöst v X W. Die Vektoren werden in Bezug auf die Einheitsvektoren ausgedrückt Yo, J Und k Das unterscheidet die drei senkrechten Richtungen im Raum (breit, hohe und tiefe):

v= 4 Yo + J + 0 k

W= -1 Yo + 2J -1 k

v X W = -4 (i x i) + 8 (i x j) - 4 (i x k) - (J x i) + 2 (J x j) - 2 (J x k) = 8 k + 4 J + K -2 i = -2 Yo + 4 J + 9 k

Das Skalarprodukt wird jetzt zwischen U und dem Vektor vorgeschlagen, der Ergebnisse aus dem vorherigen Betrieb enthält, und der Betrieb von 0 auf 0 entspricht:

oder · (v X W) = (-3 Yo + k J + 2 k) · (-2 Yo + 4 J + 9 k) = 6 + 4k +18 = 0

24 + 4k = 0

Der gesuchte Wert ist: k = - 6

So dass der Vektor oder Ist:

oder =

-Übung 2

Die Abbildung zeigt ein Objekt, dessen Gewicht w = 600 n ist und dank der Kabel in der in Abbildung 3 gezeigten Winkeln im Gleichgewicht hängt. Ist es möglich, Lamys Theorem in dieser Situation anzuwenden?? In jedem Fall die Größen von finden T₁, T₂ Und T₃ Das ermöglicht das Gleichgewicht.

Figur 3. Ein Gewicht hängt im Gleichgewicht unter der Wirkung der drei gezeigten Spannungen. Quelle: Selbst gemacht.

Lösung

Lamys Theorem ist in dieser Situation anwendbar, wenn der Knoten, auf den die drei Spannungen angewendet werden. Zunächst wird das freie Körperdiagramm für das Anhängergewicht gemacht, um die Größe von t zu bestimmen_3:

Figur 4. Freies Körperdiagramm für das Gewicht hängen. Quelle: Selbst gemacht.

Aus dem Gleichgewichtszustand folgt, dass:

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T₃  = W = 600 n

Die Winkel zwischen den Kräften sind in der folgenden Abbildung rot markiert. Es kann leicht überprüft werden, dass seine Summe 360 ​​° beträgt. Es ist nun möglich, Lamys Theorem anzuwenden, da eine der Kräfte und die drei Winkel zwischen ihnen bekannt ist:

Abbildung 5.- In rot die Winkel, um Lamys Theorem aufzutragen. Quelle: Selbst gemacht.

T₁ / Sen 127º = w / Sen 106º

Deshalb: t₁ = sen 127º (mit sen 106º) = 498.5 n

Wieder wird Lamys Theorem angewendet, um es zu klären₂:

T₂ / sin 127 = t₁ / Sen 127º

T₂ = T₁ = 498.5 n

Verweise

1. Figueroa, d. Serie: Physik für Wissenschaft und Ingenieurwesen. Band 1. Kinematik. 31-68.
2. Physisch. Modul 8: Vektoren. Geborgen von: frtl.Utn.Edu.ar
3. Hibbeler, R. 2006. Mechaniker für Ingenieure. Statisch. 6. Ausgabe. Kontinental Redaktionsfirma.28-66.
4. McLean, w. Schaum -Serie. Mechaniker für Ingenieure: statisch und dynamisch. 3. Auflage. McGraw Hill. 1-15.
5. Wikipedia. Vektor. Erholt von: Es ist.Wikipedia.Org.