Konvergenz -Funkdefinition, Beispiele und Übungen gelöst

Er Konvergenzradius einer Reihe von Kräften ist der Radius des Konvergenzkreises, zu dem die Serie konvergiert. Dieser Kreis erstreckt sich von dem Wert, der die Basis der Kräfte auf die engste Singularität der mit der Serie verbundenen Funktion abhebt.

Alle analytischen Funktionen f (z) Es hat eine Reihe von Kräften um einen nicht -singulären Punkt in Verbindung gebracht, genannt Taylor -Serie:

Abbildung 1. Die Grafik zeigt die Power -Serie um den Wert a = 1 für die Funktion f (x). Sein Konvergenzradius beträgt r = 2. Quelle: Fanny Zapata.

Wo Zu Es ist die Mitte des Konvergenzkreises, z die unabhängige Variable der Funktion und die C_N Sie sind Koeffizienten, die sich auf die aus der Funktion stammten aus der Funktion befinden F auf den Punkt z = a.

Der Konvergenzradius R Es ist eine positive reelle Zahl, die die Region definiert:

| Z - a | < r

Wo die Serie konvergiert. Aus dieser Region ist die unterschiedliche Serie, das heißt, unendliche Werte erfordert. Wenn der Konvergenzradius unendlich ist, konvergiert die Serie in der gesamten komplexen Ebene.

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Wie wird der Konvergenzradius bestimmt??

Damit eine Serie konvergent ist, ist es notwendig, dass der absolute Wert der aufeinanderfolgenden Begriffe abnimmt, wenn die Anzahl der Begriffe sehr groß ist. Auf mathematische Weise würde es wie folgt ausgedrückt:

Unter Verwendung der Eigenschaften der Grenzen im vorherigen Ausdruck wird sie erhalten:

Hier R Es ist der Radius der Konvergenz und | Z - a | < r Es ist der offene Grenzkreis in der komplexen Ebene, in der die Serie konvergiert. Falls der Wert Zu und die Variable Z sind reelle Zahlen, dann ist das offene Konvergenzintervall auf der realen Achse: (A - r, a+r).

Taylor -Serie

Die Taylor -Serie einer Funktion f (x) Um einen Wert Zu In dem die Funktion unendlich -Derivate hat, handelt es sich um eine Reihe von Mächten, die definiert sind als:

Es kann Ihnen dienen: Axiome der Wahrscheinlichkeit: Typen, Erklärung, Beispiele, Übungen

In der Umwelt | X - a | < r, mit R alsDer Konvergenzradius der Serie, die Taylor -Serie und die Funktion müssen sein f (x) Sie fällt zusammen.

Andererseits der Konvergenzradius R Es ist der Abstand des Punktes Zu und die Singularität X_S näher an dem Punkt Zu, Die einzigartigen Punkte sind diese Werte, bei denen die Grenze der Funktion tendenziell unendlich ist.

Das ist wenn x → x_S So F → ± ∞.

Beispiele

Beispiel 1

Sei S (x) Die durch den folgenden Ausdruck angegebenen Kräfte:

S (x) = 1 - x + x²- X³+ X⁴-.. .+(-1)^N ≤ x^N +.. .

Um die Region zu bestimmen, in der die Serie konvergiert, berechnen wir den Quotienten zwischen dem Begriff (N-BEIMO + 1) und dem Begriff (n-ca.):

Der absolute Wert des vorderen Quotienten ist | x | und seine Grenze, wenn N → ∞ es ist auch  | x |.

Damit die Serie konvergent ist, ist es notwendig, dass:

Der Konvergenzradius dieser Serie ist also R = 1, Da es für die Werte von x konvergiert, die in einem Abstand von weniger als 1 in Bezug auf die Mitte sind x = 0.

Beispiel 2

Sie möchten die Taylor -Serie der Funktion finden f (x) = 1 / (1 + x) um den Punkt x = 0 und bestimmen den Konvergenzradius.

Um die Serie zu finden, nehmen wir die aufeinanderfolgenden Derivate der Funktion f (x), von denen wir die ersten drei zeigen werden:

Unter Berücksichtigung der Tatlor -Serie lautet die Null -Bestell -Laufzeit:

 f (0) = 1,

Die erste Bestellung: F '(0)/1!

Zweite Bestellung:

 F "(0)/2!

Dritte Ordnung:

 f "(0)/3!

Und so weiter ist die Taylor -Reihe der angegebenen Funktion:

f (x) = 1 - x + x² - X³ + X⁴ -.. .+(-1)^N ≤ x^N +.. .

Kann Ihnen dienen: Gleichgewichtsdreieck: Eigenschaften, Eigenschaften, Formeln, Bereich

Das fällt mit der in Beispiel 1 untersuchten Power -Serie zusammen.

Wir haben bereits gesagt, dass der Konvergenzradius einer Taylor -Serie der Abstand von der Mitte der Serienausdehnung ist, was in unserem Fall der Wert ist x = 0 Bis zur ersten Singularität der Funktion f (x). 

Wie unsere Funktion eine Singularität (dh eine Unendlichkeit) in hat x = -1, Der Abstand zwischen dem Wert -1 und das Erweiterungszentrum 0 Ist | -1 - 0 | = 1, Es wird der Schluss gezogen, dass der Konvergenzradius der Taylor -Serie ist 1.

Dieses Ergebnis fällt vollständig mit dem in Beispiel 1 mit einer anderen Methode zusammen, die in Beispiel 1 erhalten wurde.

Die Tatsache, dass die Konvergenzzone der Taylor-Serie das offene Intervall (-1, 1) ist, impliziert, dass die Funktion und die Serie in diesem Intervall übereinstimmen, aber nicht außerhalb desselben.

Dies ist in Abbildung 2 dargestellt, wobei 41 Begriffe der Taylor -Serie genommen wurden, gezeichnet von der kontinuierlichen blauen Linie, während die ursprüngliche Funktion auf der roten Segmentenlinie angezeigt wird.

Figur 2. Die Funktion f (x) (in rot) und ihre Reihe von Kräften (oder Taylor -Serien in Blau) werden gezeigt. Es kann als die ersten 41 Begriffe der Serie gesehen werden, die zwischen -1 und 1 konvergieren. Zusätzlich fällt die Funktion und ihre Serie nur im Konvergenzbereich zusammen. (Quelle: Fanny Zapata)

Gelöste Übungen

- Übung 1

Betrachten Sie die gleiche Funktion f (x) = 1 / (1 + x) von Beispiel 2, aber diesmal wird es gebeten, die Taylor -Serie dieser Funktion um den Punkt a = 1 zu finden.

Lösung

Wir finden die aufeinanderfolgenden Bedingungen der Serie, beginnend mit dem unabhängigen Begriff, der f (1) = ½ ist.

Der nächste Koeffizient, der dem Begriff erster Ordnung entspricht, ist:

F '(1)/1! = -¼

Die zweite Ordnung ist:

f "(1)/2! = 2/(2³ 2!)

Folgen Sie dem Koeffizienten der dritten Ordnung:

Es kann Ihnen dienen: Tetradecágon

f "(1)/3! = -6 / (2⁴ 3!)

Usw. Die Taylor -Serie wird sein:

Sf (x) = ½ - 1/2² (X-1) + 1/2³(X-1)² - 1/2⁴ (X-1)³ + 1/2⁵ (X-1)⁴-..

- Übung 2

Finden Sie den Konvergenzradius der vorherigen Serie

Lösung

Wir schreiben den Begriff n-fe und den Begriff n-Alkaus mehr:

Wir berechnen den Quotienten dieser beiden Begriffe, der unten vereinfacht wird:

Der absolute Wert des vorherigen Ausdrucks wird durch Erhalten von:

| X - 1 | / 2

Damit die Serie konvergent ist, ist es jedoch notwendig, dass der vorherige Betrag streng niedriger ist als die Einheit, dh:

| X - 1 | < 2

Dies zeigt an, dass der Konvergenzradius um den Wert x = 1 lautet:

R = 1

Andererseits entspricht der vorherige Ausdruck einer doppelten Ungleichheit:

-2 < x - 1 < +2

Wenn wir jedem der drei Mitglieder des vorherigen Ausdrucks +1 hinzufügen, wird er erhalten:

-1 < x < 3

Welches ist das Konvergenzintervall der Serie.

Abbildung 1 zeigt die ursprüngliche Funktion und die Taylor -Serie dieser Funktion um Punkt x = 1. In der Abbildung kann überprüft werden, dass die Serie mit der Funktion in einer Umgebung von Punkt X = 1 zusammenfällt, jedoch innerhalb des Konvergenzradius.

Verweise

1. CK-12 Foundation. Power -Serie: Darstellung von Funktionen und Operationen. Erholt von: CK12.Org.
2. Engler, a. 2019. Integralrechnung. Nationale Universität der Küste.
3. Larson, r. 2010. Berechnung einer Variablen. 9na. Auflage. McGraw Hill.
4. Kostenlose Mathematiktexte. Power -Serie. Erholt von: Mathematik.Liibretrettextexte.Org.
5. Wikipedia. Power -Serie. Geborgen von: ist.Wikipedia.Org.
6. Wikipedia. Radius der Konvergenz. Abgerufen von: in.Wikipedia.Org