Trigonometrische Gründe Beispiele, Übungen und Anwendungen

Der Trigonometrische Gründe Sie sind die Quotienten oder Gründe, die mit dem Wert der Seiten eines rechten Dreiecks durchgeführt werden können. Diese Seiten sind: zwei Kategorien, die 90º miteinander und die Hypotenuse bilden, die den akuten Winkel θ mit einer der Kategorien bilden.

6 Quotienten können gebildet werden. Ihre Namen und jeweiligen Abkürzungen sind:

• Brase (Sen)
• Coseno (cos)
• Tangente (TG oder Tan)
• Cotangent (CTG oder Cotan)
• Secante (Sec) und
• Harvester (Harmonie)

Alle bezogen sich auf Winkel θ, wie in der folgenden Abbildung gezeigt:

Abbildung 1. Die trigonometrischen Gründe des akuten Winkels θ. Quelle: f. Zapata.

Die grundlegenden trigonometrischen Gründe des Winkels θ sind sin θ, cos θ und tan θ, während die verbleibenden Gründe in Bezug auf diese drei ausgedrückt werden können. Aus dem vorherigen Bild können Sie das sehen:

• Sek θ = 1/ cos θ
• Schaden θ = 1/ sin θ
• cot θ = 1/tg θ

Die Größe der Seiten des Dreiecks hat keinen Einfluss auf den Wert der Gründe, da zwei Dreiecke, deren Winkel diese messen.

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Beispiel

Berechnen wir beispielsweise die trigonometrischen Gründe des Winkels θ in den folgenden Dreiecken:

Figur 2. Zwei ähnliche Dreiecke haben die gleichen trigonometrischen Gründe ihrer Winkel. Quelle: Stewart, J.Präzision: Mathematik zur Berechnung.

Für das kleine Dreieck haben wir die drei grundlegenden Gründe des Winkels θ:

sin θ = 3/5

cos θ = 4/5

tg θ = ¾

Und jetzt berechnen wir die drei grundlegenden Gründe von θ mit dem großen Dreieck:

sin θ = 30/50 = 3/5

cos θ = 40/50 = 4/5

Tg θ = 30/40 = ¾

Ein wichtiges Detail ist wie folgt: Sowohl sin θ als auch cos θ sind weniger als 1, da die Kategorien immer weniger messen als die Hypotenuse. In der Tat:

sin θ = 3/5 = 0.6

cos θ = 4/5 = 0.8

Gelöste Übungen

In den folgenden Übungen wird aufgefordert, das richtige Dreieck zu lösen, was bedeutet.

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Der Pythagoras -Theorem gilt für Rechteckdreiecke und ist sehr nützlich, wenn zwei der Seiten bekannt sind und das Fehlen bestimmt werden muss. Der Satz sagt:

Hypotenuse² = Gegenkateto² + benachbarter Kateto²

Wir können den Pythagoras -Theorem mit dem kleinen Dreieck von Abbildung 2 überprüfen, dessen Beine 3 und 4 sind. Die Reihenfolge, in der die Kategorien entnommen werden, spielt keine Rolle. Anwenden des Satzes, den wir haben:

Hypotenuse² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25

Daher ist die Hypotenuse:

Hypotenuse = √25 = 5

- Übung 1

Berechnen Sie die trigonometrischen Gründe der in den folgenden Dreiecken gezeigten Winkel:

Figur 3.- Dreiecke für das Jahr lösten 1. Quelle: Carena, m. 2019. Mathematikhandbuch für Präuniversität.

Lösung für

Dieses Dreieck ist in Abbildung 3 gleich, aber sie fragen uns nach den trigonometrischen Gründen des anderen akuten Winkels, bezeichnet α. Die Aussage bietet nicht den Wert der Hypotenusa, aber durch Anwendung des Pythagoras -Theorems wissen wir, dass es 5 wert ist.

Die Gründe können direkt aus der Definition berechnet werden, da es bei der Auswahl des Beins, das das Gegenteil des Winkels α ist, um Sen α zu berechnen. Mal sehen:

• sin α = 4/5
• cos α = 3/5
• Tg α = 4/3
• cot α = ¾
• Sec α = 1/(3/5) = 5/3
• Schaden α = 1/(4/5) = 5/4

Und wie wir sehen können, wurden die Werte trigonometrischer Gründe ausgetauscht. In der Tat sind α und θ komplementäre Winkel, was bedeutet, dass sie 90º hinzufügen. In diesem Fall wird erfüllt, dass Sen α = cos θ aus den anderen Gründen.

Lösung b

Berechnen wir die Hypotenuse des Dreiecks durch den Pythagoras -Theorem:

Hypotenuse² = 20² + einundzwanzig² = 841

√841 = 29

Dann sind die 6 trigonometrischen Gründe des Winkels β:

• Sen β = 20/29
• cos β = 21/29
• TG β = 20/21
• Cot β = 21/20
• Sec β = 1/(21/29) = 29/21
• Schaden β = 1/(20/29) = 20/29

Kann Ihnen dienen: kombinierte Operationen

- Übung 2

a) Finden Sie den Wert von x in der Abbildung.

b) Berechnen Sie den Umfang der 3 gezeigten Dreiecke.

Figur 4. Dreiecke für das Jahr wurden 2 gelöst. Quelle: Stewart, J. Präzision: Mathematik zur Berechnung.

Lösung für

In der Abbildung können wir mehrere Dreiecke identifizieren, insbesondere das Rechteckdreieck der linken, mit einer Kategorie von 85 und dem akuten Winkel 60º.

Abbildung 5. Das Dreieck links.

Mit den Informationen dieses Dreiecks können wir Seite B berechnen. Es ist nicht die Maßnahme, die die Aussage verlangt, sondern ihr Wert zu wissen, ist ein vorheriger Schritt.

Um den geeigneten Grund zu bestimmen, ist Tg 60 º = 85 /B, da B das Bein neben 60 ° ist und 85 das Gegenteil zu diesem Winkel ist. Deshalb:

B = 85 / tg 60º = 85 / √3

Sobald B bekannt ist, werden wir das große und äußere Rechteckdreieck verwenden, das eine gemeinsame Seite mit dem vorherigen Dreieck hat: das, das 85 misst 85. Dies ist der Kateto gegen den Winkel von 30 °.

Abbildung 6. Das äußere Dreieck, von dem ein Teil der Basis bereits bekannt ist.

Von dort:

Kateto neben 30º = (85/√3) + x

Jetzt können wir Folgendes anheben:

85 / [(85 / √3) + x] = tg 30º

Was in quadratischen Klammern ist, multiplizieren Sie den 30º TG:

85 = [(85/√3) + x]. Tg 30º

Anwendung der Verteilungseigenschaft der Multiplikation:

85 = tg 30º. (85/√3) + x. Tg 30º

Deshalb:

X.TG 30º = 85 - TG 30º. (85/√3) = 85 [1 - TG 30º . (1/√3)] = 85 . (2/3) = 170/3

Ersetzen des TG -Werts 30º = √3 / 3:

x = (170/3) ÷ (√3 / 3) = 98.fünfzehn

Lösung b

Umfang des kleinen Dreiecks

H₁ Die Hypotenuse dieses Dreiecks, das durch den Pythagoras -Theorem oder durch einen trigonometrischen Grund berechnet werden kann, beispielsweise cos 60º:

cos 60 º = 85 / √3 / h₁→ h₁ = (85/√3) ÷ cos 60º = 98.1

Um p, den Umfang dieses Dreiecks, zu finden, fügen wir einfach die 3 Seiten hinzu:

Kann Ihnen dienen: Beschreibende Statistiken: Geschichte, Merkmale, Beispiele, Konzepte

P = 85 + (85/√3) + 98.1 = 232.2

Umfang des äußeren Dreiecks

H₂ zur Hypotenuse des äußeren Dreiecks:

Sen 30º = 85 ÷ h₂  

H₂ = 85 ÷ sin 30º = 170

Für dieses Dreieck ist der Umfang:

P = 85 + [(85/√3) + 98.15] + 170 = 402.22

Umfang des Dreiecks ohne Rektangle

Aus diesem Dreieck kennen wir bereits alle Seiten:

P = x + h₁ + H₂ = 98.15 + 98.15 + 170 = 366.3

Anwendungen trigonometrischer Gründe

Trigonometrische Gründe haben zahlreiche praktische Anwendungen, beispielsweise können Höhen berechnet werden.

Angenommen, ein Wasserturm liegt 325 Fuß von einem Gebäude entfernt. Ein Beobachter, der sich in einem Fenster befindet, beachten. Wunder:

a) Wie hoch ist die Höhe des Turms??

b) Wie viel kostet das Fenster??

Abbildung 7. Schema zur Berechnung der Höhe des Vista Torre aus einem Gebäude. Quelle: Stewart, J. Präzision: Mathematik zur Berechnung.

Lösung für

Aus dem Kateto gegenüber 39 des oberen Dreiecks erhalten wir einen Teil der Antwort:

Abbildung 8. Dreieck für Anwendungsübung. Quelle: f. Zapata.

H₁/325 = tg 39º → h₁ = 325 . Tg 39º Fuß = 263.2 Fuß

In ähnlicher Weise bekommen wir den Rest der Höhe des Turms, genannt H₂ Aus dem unteren Dreieck:

H₂/325 = tg 25º → h₂ = 325 . Tg 25º Fuß = 151.6 Fuß

Die Gesamthöhe des Turms beträgt h₁ + H₂ = 263.2 + 151.6 Fuß = 414.7 Fuß.

Lösung b

Das Fenster ist genau in einer Höhe h₂ Boden:

H₂ = 151.6 Fuß.

Verweise

1. Carena, m. 2019. Mathematikhandbuch für Präuniversität. Nationale Universität der Küste.
2. Hoffman, J. Auswahl der Mathematikfragen. Band 3.
3. Jiménez, r. 2008. Algebra. Prentice Hall.
4. Stewart, J. 2006. Präzision: Mathematik zur Berechnung. 5. Auflage. Cengage Lernen.
5. Zill, d. 1984. Algebra und Trigonometrie. McGraw Hill.