Bereich eines regulären und unregelmäßigen Pentagon, wie es aufgenommen wird, Übungen

Um die zu berechnen Gebiet eines Pentagon Zuerst müssen wir feststellen, ob dies regelmäßig ist oder nicht. Ein Pentagon ist ein Polygon, eine geschlossene flache Figur von fünf Seiten. Wenn ein Polygon regelmäßig ist, bedeutet dies, dass die Länge seiner Seiten gleich ist und auch seine inneren Winkel.

In diesem Fall gibt es eine Formel, um den genauen Bereich des regulären Polygons zu berechnen, wobei einige seiner Hauptmerkmale kennt, die wir später ableiten werden.

Zwei Pentagone

Wenn das Polygon nicht regelmäßig ist, das heißt, es hat Seiten unterschiedlicher Größen und ungleiche innere Winkel, gibt es keine einzige Formel.

Mathematiker haben jedoch Berechnungsstrategien gefunden, wie z.

Ein weiteres Verfahren zur Berechnung von Bereichen von Polygonen im Allgemeinen, die die Koordinaten seiner Eckpunkte kennen, ist die Methode genannt Gauß -Determinanten, dass wir später beschreiben werden.

[TOC]

Wie berechnet man die Fläche eines regulären Pentagons?

Wir werden ein reguläres Pentagon von Seite A nehmen und werden ihn in 5 gleiche Dreiecke unterteilen, wie in der Abbildung gezeigt, wobei wir Segmente aus dem Zentrum (rot) bis zu den Eckpunkten (blau) zeichnen werden.

Die notwendigen Elemente, um den regulären Pentagon -Bereich zu finden. Quelle: f. Zapata.

Die Dreiecke, wie das hervorragende Gelb rechts in der oberen Abbildung, sind dank des grünen Segments genannt in zwei gleiche Rechtecke unterteilt Apothema.

Apotem ist definiert als das senkrechte Segment, das mit der Mitte einer Seite mit der Mitte des Polygons verbunden ist. Seine Länge ist l_ZU.

Die Fläche eines Rechteckdreiecks der Basis -A/2 und der Höhe l_ZU Ist:

[(A/2) x l_ZU]

Das Pentagon hat 10 Dreiecke wie diese, daher ist sein Gebiet:

Kann Ihnen dienen: Vektorfunktionen

A = 10 (a/2) x l_ZU

Aber der Umfang P des Pentagon ist genau p =10 A, Daher wird die Fläche durch das Semi -Produkt des Umfangs und die Länge des Apothems angegeben:

A = p x l_ZU /2

Regulärer Pentagon -Bereich kennt die Seite a

Ausdruck der Länge des Apothems l_ZU Abhängig von Seite A weiß, dass der angegebene Winkel die Hälfte des zentralen Winkels beträgt, das ist 36 °, entspricht:

36º = π/5

Durch elementare Trigonometrie durch Tangente des akuten Winkels 36º:

Tan (π/5) = (a/2) ÷ l_ZU

Somit:

L_ZU=  (A/2) ÷ tan (π/5)

Ersetzen im Bereich im vorherigen Abschnitt und wissen, dass p = 5a:

A = p x l_ZU /2

Regelmäßiger Pentagon -Bereich kennen sein Radio

Er Radio eines regulären Polygons ist das Segment, das vom Zentrum zu einem seiner Eckpunkte führt. Es fällt mit dem Radius des umschriebenen Umfangs zusammen, wie in der folgenden Abbildung gezeigt:

Winkel und Apotheme des Pentagons. Quelle: Wikimedia Commons/f. Zapata.

Sei r das Maß für das Radio, das mit der Hypotenuse des rechten Dreiecks in der vorherigen Abbildung in Blau zusammenfällt. Durch Trigonometrie:

cos 36º = cos (π/5) = l_ZU ÷ r

UND

sin 36º = sin (π/5) = (a/2) ÷ r

Deshalb:

A = p x l_ZU /2 = 5r. sin (π/5) x r. cos (π/5) = 5r² [sin (π/5) x cos (π/5)]]]

Verwenden der Doppelwinkelformel:

sin (2θ) = 2 sen θ . cos θ

Wir müssen:

[sin (π/5) x cos (π/5)] = (1/2) sin 72º

Und so erhalten wir durch den Austausch dieses Wertes die folgende Formel für den regulären Pentagon -Bereich:

A = (5/2) r².Sen 72º

Wie man die Fläche eines unregelmäßigen Pentagon berechnet?

Wie bereits erwähnt, gibt es für ein unregelmäßiges Polygon keine einzige Formel, aber es gibt zwei Methoden, die normalerweise sehr gut funktionieren.

Kann Ihnen dienen: Existenz- und Einzigartigkeitstheorem: Demonstration, Beispiele und Übungen

Triangulation

Es besteht darin, die Figur in Dreiecke zu teilen, deren Fläche leichter zu berechnen ist, oder auch mit anderen Figuren getestet werden kann.

Gauß -Determinanten

Eine andere Möglichkeit, den unregelmäßigen Pentagon -Bereich oder ein anderes unregelmäßiges Polygon zu finden, besteht darin.

Bekannt diese Koordinaten, wird die Gauß -Determinantenmethode angewendet, um die Fläche zu berechnen, die durch die folgende Formel angegeben ist:

Wo a ist der Bereich des Polygons und (x_N , Und_N ) sind die Koordinaten der Eckpunkte. Ein Polygon von n Seiten hat 5 Eckpunkte, für das Pentagon wäre es n = 5:

Die Balken, die der Formel einhergehen.

Dies bedeutet, dass wir es zwar negativ sind, obwohl wir es mit einem positiven Zeichen ausdrücken müssen, und wenn es bereits positiv ist, muss es mit diesem Zeichen übrig bleiben. Dies liegt daran, dass ein Bereich immer eine positive Menge ist.

Das Verfahren wird von seinem Schöpfer, dem deutschen Mathematiker Carl F, als Gauß -Determinanten bezeichnet. Gauß (1777-1855). Die angegebenen Operationen entsprechen der Determinanten einer 2 × 2 -Matrix, beispielsweise ist die erste Determinante:

Um den Pentagon -Bereich zu finden.

Gelöste Übungen

Übung 1

Finden Sie den regulären Pentagon -Bereich, dessen Apothem 4 cm wert ist und dessen Seite 5 misst 5.9 cm.

Lösung

Da es sich um ein reguläres Pentagon handelt und wir das Maß der Seite und des Apothems haben, verwenden wir die zuvor abgezogene Formel:

Kann Ihnen dienen: Scaleno -Dreieck

A = p x l_ZU /2

Umfang P ist gleich 5a = 5 x 5.9 cm = 29.5 cm.

A = 29.5 cm x 4 cm / 2 = 59 cm²

Übung 2

Finden Sie den gezeigten unregelmäßigen Pentagon -Bereich. Die folgenden Dimensionen sind bekannt:

Dc ≈ von

Ae = ab = 5

BC = 12

Unregelmäßiges Pentagon. Quelle: Alexander, D. 2013. Geometrie. 5. Auflage. Cengage Lernen.

Lösung

Der Pentagon -Bereich ist die Summe der Bereiche der Dreiecke, die Rechtecke sind. In der Aussage heißt es, dass DC ≈ von, wenn der Pythagoras -Theorem auf das EDC -Dreieck angewendet wird, hat sie:

EC² = 2 ed². Dann ec = √2.Ed.

AEC- und ABC -Dreiecke haben daher eine häufige Hypotenuse, nämlich das AC -Segment:

EA² + EC² = Ab² + BC²

Wie EA und AB gleich messen, wird es erhalten, dass:

EC = BC = √2.Ed

Da BC = 12, dann ed = 12 / √2 = 8.485.

Mit diesen Werten berechnen wir die Fläche jedes Dreiecks und fügen sie am Ende hinzu.

EDC -Dreiecksbereich 

Ed x dc /2 = 8.485² / 2 = 36

AEC -Dreieck 

Ea x ec / 2 = ea x √2.Ed / 2 = 5 x √2. 8.485/2 = 30

ABC -Dreiecksbereich 

AB x BC / 2

Dann ist der gesuchte Gebiet:

5 x 12/2 = 30

Es ist dasselbe wie das von Triangle AEC, da beide die gleichen Maßnahmen haben.

Unregelmäßiger Pentagon -Bereich

Schließlich ist der angeforderte Bereich die Summe der Bereiche der drei Dreiecke:

A = 36 + 30 + 30 Einheiten = 96 Einheiten.

Verweise

1. Alexander, d. 2013. Geometrie. 5. Auflage. Cengage Lernen.
2. Mathematik offene Referenz. Polygonbereich. Erholt von: mathpenref.com.
3. Universumformeln. Bereich eines unregelmäßigen Pentagon. Erholt von: Universoumulas.com.
4. Universumformeln. Bereich eines regulären Pentagon. Erholt von: Universoumulas.com.
5. Wikipedia. Pentagon. Geborgen von: ist.Wikipedia.com.