Sarrus -Regel

Sarrus -Regel. Quelle: Benutzer: Sevela.P, CC BY-SA 4.0, Wikimedia Commons

Was ist Sarrus 'Regel?

Der Sarrus -Regel Es ist eine Technik, um Determinanten einer Quadratmatrix von 3 × 3 oder mehr zu berechnen. Dieses System ermöglicht die Lösung einfacher. Es wird auch verwendet, um festzustellen, ob die Vektorsätze linear unabhängig sind und die Basis des Vektorraums bilden.

Diese Anwendungen basieren auf der Invertierbarkeit von Matrizen. Wenn eine Matrix regelmäßig ist, unterscheidet sich ihre Determinante von 0. Wenn es einzigartig ist, ist seine Determinante 0 wert. Determinanten können nur in quadratischen Matrizen berechnet werden.

Um Matrizen jeder Ordnung zu berechnen, kann der Laplace -Theorem verwendet werden. Dieser Satz ermöglicht es uns, die Matrizen mit hohen Abmessungen in kleinen Determinanten zu vereinfachen, die wir von der Hauptmatrix brechen.

Gibt an, dass die Determinante einer Matrix der Summe der Produkte jeder Linie oder Spalte durch die Determinante ihrer angehängten Matrix entspricht.

Dies verringert die Determinanten, so dass eine Determinante des Grades N zu Determinanten von N-1 wird. Wenn wir diese Regel aufeinanderfolgend anwenden, können wir Determinanten der Dimension 2 (2 × 2) oder 3 (3 × 3) erhalten, wobei seine Berechnung viel einfacher ist.

Sarrus -Regel

Pierre Frederic Sarrus (1798-1861) war ein französischer Mathematiker. Die meisten seiner mathematischen Verträge basieren auf Gleichungsauflösungsmethoden und der Berechnung von Variationen innerhalb der numerischen Gleichungen.

In einem seiner Verträge löste er eines der komplexesten Rätsel der Mechanik. Um die Probleme artikulierter Stücke zu lösen, führte Sarrus die Transformation alternativer geradliniger Bewegungen in gleichmäßigen kreisförmigen Bewegungen ein. Dieses neue System ist als Sarrus -Mechanismus bekannt.

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Die Forschung, die ihm am meisten gab. Diese Art der Lösung linearer Gleichungen ist als Sarrus -Regel bekannt.

Die Sarrus -Regel ermöglicht es, die Determinante einer 3 × 3 -Matrix zu berechnen, ohne Laplace's Theorem zu verwenden, wobei eine viel einfachere und intuitivere Methode eingeführt wird. 

Um den Wert der Sarrus -Regel überprüfen zu können, nehmen wir jede Matrix der Dimension 3:

Die Berechnung seiner Determinante würde das Produkt seiner Hauptdiagonalen erfolgen, wobei das Produkt von den inversen Diagonalen subtrahiert wird. Dies wäre wie folgt:

Die Sarrus -Regel ermöglicht es uns, bei der Berechnung der Diagonalen der Determinante eine viel einfachere Sicht zu erhalten. Es würde vereinfacht, indem die ersten beiden Spalten auf die Rückseite der Matrix hinzugefügt werden.

Auf diese Weise ist es klarer in Bezug auf seine Hauptdiagonalen und die inverse für die Berechnung des Produkts.

Durch dieses Bild können wir die Anwendung der Sarrus -Regel sehen. Wir haben die grafische Darstellung der Anfangsmatrix in die grafische Darstellung der Zeile 1 und 2 einbezogen. Auf diese Weise sind die Hauptdiagonalen die drei Diagonalen, die in erster Linie erscheinen.

Die drei inversen Diagonalen sind wiederum diejenigen, die zuerst im Rücken erscheinen.

Auf diese Weise erscheinen die Diagonalen visueller, ohne die Auflösung der Determinanten zu erschweren und herauszufinden, welche Elemente der Matrix zu jeder Diagonale gehören.

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Wie im Bild erscheint, wählen wir die Diagonalen und berechnen das Produkt, das aus jeder Funktion resultiert. Die in blau erscheinen Diagonalen sind diejenigen, die sich summieren. Auf die Summe von diesen subtrahieren wir den Wert der Diagonalen, die rot erscheinen.

Damit die Komprimierung einfacher ist.

Wenn wir eine 3 × 3 -Matrix nehmen, zum Beispiel:

Um die Sarrus -Regel anzuwenden und sie visueller zu lösen, sollten wir die Reihe 1 und 2 als Reihe 4 bzw. 5 einbeziehen. Es ist wichtig, Reihe 1 in der 4. Position und in der 5. Reihe 2 aufrechtzuerhalten. Da wir sie austauschen, ist die Sarrus -Regel nicht wirksam.

Um die Determinante zu berechnen, wäre unsere Matrix wie folgt:

Um mit der Berechnung fortzufahren, werden wir die Elemente der Hauptdiagonale multiplizieren. Das Abstieg, das sie links beginnen.

In diesem Beispiel würde das Blau mit einem positiven Zeichen und dem Rot mit einem negativen Vorzeichen passen. Die endgültige Berechnung der Sarrus -Regel würde so bleiben:

Leute von Determinanten

Determinante der Dimension 1

Wenn die Matrixdimension 1 ist, ist die Matrix auf diese Weise: a = (a)

Daher wäre seine Determinante wie folgt: det (a) = | a | = a

Zusammenfassend ist die Determinante der Matrix A gleich dem Absolutwert der Matrix A, was in diesem Fall a ist.

Dimensionsdeterminante 2

Wenn wir zu den Matrizen von Dimension 2 gehen, erhalten wir Matrizen des Typs:

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Wo seine Determinante definiert ist als:

Die Auflösung dieser Determinante basiert auf der Multiplikation seiner Hauptdiagonale und subtrahiert das Produkt seiner inversen Diagonale.

Determinante der Dimension 3

Wenn die Matrixdimension 3 beträgt, wäre die resultierende Matrix von diesem Typ:

Die Determinante dieser Matrix würde auf diese Weise durch die Sarrus -Regel gelöst:

Verweise

1. Anthony Nicolaides (1994). Determinanten und Matrizen. Veröffentlichung passieren.
2. M. Casteleio Villalba (2004). Einführung in die lineare Algebra. ESIC Editorial.