Simpson -Regelformel, Demonstration, Beispiele, Übungen

Der Simpson -Regel Es ist eine Methode zur Berechnung, ungefähr definierte Integrale. Es basiert auf der Aufteilung des Integrationsintervall.

Die Extremwerte von zwei aufeinanderfolgenden Subinterval definieren drei Punkte, was eine Parabola anpasst, deren Gleichung ein Polynom zweiten Grades ist. 

Abbildung 1. In der Simpson -Methode wird das Integrationsintervall in ein Paar von Intervallen gleicher Breite unterteilt. Die Funktion wird durch ein Gleichnis in allen 2 Subinvalos und den integralen Ansätzen durch die Summe der Fläche unter den Gleichnissen angenähert. Quelle: UPV.Ist.

Dann wird die Fläche unter der Kurve der Funktion in den beiden aufeinanderfolgenden Intervallen durch das Interpolationspolynombereich angenähert. Fügen Sie den Beitrag zum Gebiet unter dem Gleichnis aller aufeinanderfolgenden Unterintervalen hinzu, es gibt den ungefähren Wert des Integrals.

Andererseits ist es möglich, eine analytische Formel für den ungefähren Wert des definierten Integrals zu finden, da das Integral eines Gleichnisses algebraisch genau berechnet werden kann. Ist als die bekannt Simpson -Formel.

Der Fehler des ungefähren Ergebnisses nimmt so ab, dass die Anzahl der Unterabteilungen n größer ist.

Nachfolgend wird ein Ausdruck angegeben, der es ermöglicht, die obere Ebene des Annäherungsfehlers auf das Integral I zu schätzen, wenn eine Partition der regulären Subintervalen des Gesamtintervalls [a, b] [b] durchgeführt wurde [B].

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Formel

Das Integrationsintervall [A, B] wird in N -Subintervalen unterteilt, wobei n ein Drehmoment ist. Die Breite jeder Unterteilung ist:

H = (b - a)/n

Auf diese Weise wird in dem Intervall [a, b] die Partition gemacht:

X0, x1, x2, ..., xn-1, xn

X0 = a, x1 = x0 + h, x2 = x0 + 2h,…, xn-1 = x0 + (n-1) H, xn = x0 + nh = b.

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Die Formel, die es ermöglicht, die definierte integrale und kontinuierliche Funktion und vorzugsweise weich im Intervall [a, b] zu berechnen, lautet:

Demonstration

Um die SIMPSON -Formel zu erhalten, nähert sich in jedem Subinterval [xi, xi+2] die Funktion f (x) durch ein Polynom (Gleichnis) zweiten Grades P (x), das durch die drei Punkte fließt: [xi, f (f) (F (f (f (f (f (f (f (f (f (f (f xi))]; [Xi+1, f (xi+1)] und [xi+2, f (xi+2)]]].

Dann wird das integrale Polynom p (x) in [xi, xi+2] berechnet, das in diesem Intervall dem Integral der Funktion f (x) annähert.

Figur 2. Grafik, um die Simpson -Formel zu demonstrieren. Quelle: f. Zapata.

Interpolationspolynomkoeffizienten

Die Parabola -Gleichung P (x) hat die allgemeine Form: p (x) = a x² + B x + c. Wenn das Gleichnis durch die in Rot angegebenen Punkte geht (siehe Abbildung), werden die Koeffizienten A, B, C aus dem folgenden Gleichungssystem bestimmt:

A (-h)² - B H + C = F (xi)

C = f (xi+1)

A (h)² + B H + C = F (xi + 2)

Es kann beobachtet werden, dass der Koeffizient C bestimmt wird. Um den Koeffizienten zu bestimmen, fügen wir die erste und dritte Gleichung hinzu, die erhalten wird:

2 a h² + 2 c = f (xi) + f (xi + 2).

Dann wird der Wert von C ersetzt und es ist klar:

A = [f (xi) - 2 f (xi+1)+f (xi+2)] / (2 h²)

Um den Koeffizienten B zu bestimmen, wird die dritte Gleichung der ersten Subtrahiertheit und b klar:

B = [f (xi+2) - f (xi)] = 2 h.

Zusammenfassend hat das Polynom -P (x) zweite Grad, das die Punkte QI, Qi+1 und Qi+2 durchlaufen, Koeffizienten:

A = [f (xi) - 2 f (xi+1)+f (xi+2)] / (2 h²)

B = [f (xi+2) - f (xi)] = 2 h

C = f (xi+1)

Berechnung des ungefähren Integrals in [xi, xi+2]

Ungefähre Berechnung des Integrals in [a, b]

Wie bereits gesagt, im Gesamtintegrationsintervall [a, b] eine Partition x0, x1, x2,…, xn -1, xn mit Schritt H = xi+1 - xi = (b - (b -) / n, wo n ein Paar ist.

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Dann ist das im Gesamtintervall [A, B] definierte Integral die Summe der Integrale in den Subintervalen [xi, xi+2], die durch die Integrale der Interpolationspolynome P (x) angesprochen werden:

Im vorherigen Abschnitt wurde die Formel für Polynomintegrale in den Subintervalen gefunden. Das Anwenden dieses Ergebnisses auf jedes integrale Antrag hat:

Dies kann auf kompaktere Weise wie folgt umgeschrieben werden:

Annäherungsfehler

Wenn die Funktion, in die Sie in das Intervall [a, b] integrieren möchten des Simpson SN Formel Für den Wert des Integrals:

Beachten Sie, dass der Fehler mit der vierten Leistung der Intervallunterteilungsnummer abnimmt. Wenn Sie beispielsweise von N -Unterabteilungen zu 2n wechseln, nimmt der Fehler um einen 1/16 Faktor ab.

Die durch den Simpson -Ansatz erhaltene obere Fehlerebene kann aus derselben Formel erhalten werden, wodurch das vierte Ableitungen durch den maximalen Absolutwert des vierten Derivats im Intervall ersetzt werden [a, b].

Beispiele gelöst

- Beispiel 1

Betrachten Sie die Funktion f (x) = 1 / (1 + x²). 

Finden Sie das definierte Integral der F (x) -Funktion im Intervall [-1, 1] unter Verwendung der Simpson-Methode mit zwei Unterabteilungen (n = 2).

Lösung 

Wird n = 2 genommen. Die Integrationsgrenzen sind a = -1 und b = -2, dann ist die Partition so: 

X0 = -1; X1 = 0 und x2 = +1.

Daher nimmt die Formel von Simpson wie folgt an:

Mit n = 2 → xo = -1, x1 = 0; x2 = 1, deshalb:

- Beispiel 2

Betrachten Sie die Funktion f (x) = 1 / (1 + x²). 

Finden Sie das definierte Integral der Funktion f (x) im Intervall [-1, 1] durch die Simpson-Formel mit vier Unterteilungen (n = 4).

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Lösung 

Wird n = 4 genommen. Die Integrationsgrenzen sind a = -1 und b = -2, dann ist die Partition so: 

X0 = -1; X1 = -1/2; X2 = 0; X3 = 1/2 und x4 = +1.

Die Formel von Simpson ist wie folgt festgelegt:

Integral ≃ [(b -a)/(3 n)] [f (x0) + 4 i + 2 p + f (xn)]

Für den Fall, in dem es angewendet wird, folgt es wie folgt:

Integral ≃ (1- (1))/(3offe)] [f (-1) + 4 [f (-½) + f (½)] + 2 [f (0)] + f (1)

Integral ≃ (2/12) [½ + 4 (⅘ + ⅘) + 2 Märatur + ½] = (⅙) [47/5] = 47/30 = 1,5666

- Beispiel 3

Bestimmen Sie das definierte Integral der vorherigen Beispiele genau und führen Sie das genaue Ergebnis mit denen in den Beispielen 1A und 1B durch, die von der Simpson -Formel erhalten wurden.

Lösung 

Das unbestimmte Integral der Funktion f (x) = 1 / (1 + x²) ist die Funktion Arctan (x).

Bei der Bewertung der Integrationsgrenzen:

Integral = Arctan (1) - Arctan (-1) = π/4 - (-π/4) = π/2 = 1,5708

Wenn wir das Ergebnis der genauen Lösung mit der von der SIMPSON -Methode mit n = 2 und n = 4 erhaltenen vergleicht, haben wir:

Für n = 2 beträgt die Differenz zwischen der exakten und der ungefähren Lösung π/2 -5/3 = -0959, dh eine prozentuale Differenz von -0,06%.

Und für den Simpson -Ansatz mit n = 4 beträgt die Differenz zwischen der exakten und der ungefähren Lösung π/2 - 47/30 = 0,0041, dh eine prozentuale Differenz von 0,003%.

Vorgeschlagene Übung

Die Methode von Simpson ist geeignet, in Programmiersprachen und Computeranwendungen angewendet zu werden, die auf mathematische Berechnungen abzielen. Es wird dem Leser vorgeschlagen, der basierend auf den in diesem Artikel angegebenen Formeln seinen eigenen Code in sein Lieblingsprogramm schreibt.

Die folgende Abbildung zeigt eine Übung, in der die Simpson -Formel implementiert wurde Smath Studio, Kostenlose Software für Betriebssysteme verfügbar Fenster Und Android.

Figur 3. Beispiel für die numerische Integration über die Simpson -Regel mithilfe von Software. Quelle: f. Zapata.

Verweise

1. Casteleiro, J. M. 2002. Umfassende Berechnung (illustrierte Ausgabe). Madrid: ESIC Editorial.
2. Upv. Simpson -Methode. Polytechnische Universität von Valencia. Erholt von: YouTube.com
3. Purcell, e. 2007. Neunte Ausgabeberechnung. Prentice Hall.
4. Wikipedia. Simpson -Regel. Geborgen von: ist.Wikipedia.com
5. Wikipedia. Lagrange Polynom -Interpolation. Geborgen von: ist.Wikipedia.com