Ableitungsregeln (mit Beispielen)

Was sind die Ableitungsregeln??

Der Derrying -Regeln Sie sind der Satz von Indikationen, um die gewöhnliche Ableitung einer realen variablen Funktion F (x) zu finden.

Die gewöhnliche Ableitung der Funktion f (x), die als f '(x) bezeichnet wird. Grafisch ist das Derivat die Steigung der Tangentenlinie zur Kurve von F (x), berechnet an einem bestimmten Punkt, dessen Koordinate x ist_entweder, Wie in der Abbildung unten dargestellt.

Die Ableitung als Steigung der Linie Tangente zu F (x) an einem bestimmten Punkt. Quelle: Wikimedia Anemos/modifiziert durch f. Zapata.

Analytisch wird nun das Ableitungen durch die folgende Grenze berechnet:

Jedes Mal, wenn die Ableitung einer Funktion erforderlich ist, sollte die Grenze wie angegeben bewertet werden. Es gibt jedoch Regeln der Derationen, die leicht mit ein wenig Praxis auswendig gelernt werden und die Arbeit der Berechnung der Grenze speichern können, was in einigen Fällen umständlich ist.

Was sind die Ableitungsregeln??

Die nachstehend gezeigten Ableitungsregeln sind leicht durch die formale Ableitungsdefinition zu erhalten.

1. Sofortige Derivate

Abgeleitet von einer Konstante

Die Ableitung einer Konstante k beträgt 0:

f (x) = k ⇒ f '(x) = 0

• Beispiel

f (x) = 5, dann f '(5) = 0

Abgeleitet von x

Die Ableitung von f (x) = x ist immer 1, das heißt das:

f (x) = x, dann f '(x) = 1

2. Lineare Funktion abgeleitet

Die lineare Funktion hat die Form:

f (x) = ax

Wo a eine echte Zahl ist.

Sein Derivat ist:

f '(x) = a

• Beispiel

Lassen Sie f (x) = 3x, dann:

f '(x) = 3

3. Abgeleitet von einer Summe

Wenn f (x) die Summe oder Subtraktion von zwei Funktionen u und v ist, sind beide differenzierbar:

f (x) = u ± v

So:

f '(x) = u' (x) ± v '(x)

Aus der verwandten Funktion abgeleitet

Die damit verbundene Funktion ist die Summe von zwei Begriffen:

Kann Ihnen dienen: kombinierte Operationen

f (x) = ax + b

Wo a und b echte Zahlen sind. Anwenden der Summe der Summe:

f '(x) = (ax)' + (b) ''

Aber:

(AX) '= A (Regel 2)

(b) '= 0 (Regel 1)

Deshalb:

f '(x) = a

• Beispiel

Die Ableitung von f (x) = –8x + 6 lautet:

f '(x) = (–8x)' + (6) '= −8

4. Abgeleitet von einer Macht

Fall 1

Sei f (x) eine mögliche Funktion der Form f (x) = x^N, So:

f (x) = x^N ⇒ f '(x) = n ∙ x^{N - 1}

• Beispiel

Beim Ableitungen:

f (x) = x³

Ergebnis:

f '(x) = 3 Märischex^{3 - 1} = 3x²

Fall 2

Wenn die Funktion die Form f (x) = ax hat^N, Wo a eine echte Zahl ist, kommt es aus dem Derivat:

f '(x) = a ∙ nx^{N - 1}

• Beispiel

Ableiten:

f (x) = 4x⁵

Wird erhalten:

f '(x) = 4 ∙ 5 x^5–1 = 20x⁴

Fall 3

Wenn der Exponent fraktional ist, erfolgt er genauso wie in den Fällen 1 und 2, wie er erklärt wurde. Dies tritt auf, wenn die Variable X als Argument einer Wurzel gefunden wird.

• Beispiel

Sei die Funktion:

f (x) = 3x^3/2

Die Ableitung lautet:

 Wenn Sie in Form von Root schreiben möchten:

5. Produkt abgeleitet

Die Produktregel gilt für Produktfunktionen zwischen zwei U- und V -Funktionen, beide differenzierbar:

f (x) = u ∙ v

f '(x) = u' ∙ v + u ∙ v '

Das heißt, die Ableitung des Produkts von zwei Funktionen ist das Ableitung des ersten, durch das zweite, ohne abzuleiten, und der erste ohne abgeleitet, multipliziert mit der Ableitung des zweiten.

• Beispiel

Finden Sie nach der Produktregel und den oben beschriebenen Regeln die Ableitung von:

G (x) = (2x+3) (4x²–1)

Das erste ist zu entscheiden, wer u und v sind, und erinnern sich, dass die Reihenfolge der Faktoren das Produkt nicht verändert, sondern auf diese Weise ausgewählt werden kann:

• U = 2x+3
• V = 4x²–1

Dann wird die Produktregel erhoben und die angegebenen Derivate werden gemäß den oben beschriebenen Regeln gelöst:

G '(x) = (2x+3)' (4x²−1) + (2x + 3) (4x²–1) '

Kann Ihnen dienen: Lineare Programmierung: Wofür es, Modelle, Einschränkungen, Anwendungen

Sie müssen:

• (2x+3) '= 2
• (4x²−1) '= 8x

Austausch:

G '(x) = 2x (4x²−1)+(2x+3) 8x

Das Derivat ist bereits fertig, aber der Ausdruck kann immer noch Faktor sein:

G '(x) = 2x [4x²−1+8 (2x+3)] =

= 2x [4x²−1+16x+24] =

= 2x (4x²+16x+23)

Dieses Ergebnis kann auch erhalten werden²–1) und dann die Regeln von 1 bis 4 verwenden. Es bleibt als Übung für den Leser.

6. Abgeleitet vom Quotienten

Eine Funktion der Form sein:

Mit Bedingung V ≠ 0 und dass sowohl u als auch v differenzierbar sind. In diesem Fall wird sein Derivat berechnet durch:

• Beispiel

Finden Sie die Ableitung von:

In diesem Beispiel müssen Sie:

• U = x+1
• v = x²

Das Verhältnis der Quotientenregel führt zu:

Für die es notwendig ist, Folgendes zu ersetzen:

• (x+1) '= 1
• (X²) '= 2x
• (X²)² = x⁴

Und beim Ersetzen ist es:

Anwendung der Verteilungseigenschaft im Zähler und Reduzierung von Begriffen ist der Ausdruck für F '(x):

Die Übung hätte auf andere Weise gelöst werden können, um F (x) als:

f (x) = (x+1) ∙ x^–2

Und dann die Produktregel und einige Algebra anwenden. Es bleibt für den Leser als Übung, um zu überprüfen, ob er ein identisches Ergebnis erhalten wird.

7. die Kettenregel

Gilt für zusammengesetzte Funktionen, Form:

f = f (u)

Wo u = g (x)

Sein Derivat wird wie folgt durchgeführt:

f '(x) = f' (u) ∙ u '= f' [g (x)] ∙ g '(x)

A g '(x) ist als die bekannt Interne Ableitung. Die Anwendung der Kettenregel ist einfacher als auf den ersten Blick. Siehe dieses Beispiel:

• Beispiel

Wenn Sie die Kettenregel anwenden, finden Sie die Ableitung von:

f (x) = (2x²-1)⁷

U = g (x) = 2x²-1

Daher ist f (u) = u⁷ Und sein Derivat nach Regel 4 lautet:

f '(u) = 7u⁶ = 7 (2x²-1)⁶

Dieses Ergebnis wird gespeichert und das interne Derivat g '(x) wird berechnet:

G '(x) = u' = (2x²-1) '= (2x²) '-(1)'

Hier ist es notwendig, die Regeln nacheinander anzuwenden: 3 (für die Summe/Subtraktion von Funktionen), 4 (für Befugnisse) und 1 (für die Ableitung einer Konstante).

Es kann Ihnen dienen: Warteentheorie: Geschichte, Modell, wofür und Beispiele für Beispiele für

Wird erhalten:

G '(x) = (2x²) '-(1)' = 4x

Der letzte Schritt besteht darin, die Ergebnisse zu multiplizieren:

f '(x) = 7 (2x²-1)⁶∙ 4x

Und schließlich die Faktoren neu ordnen:

f '(x) = 28x ∙ (2x²-1)⁶

8. Abgeleitet von trigonometrischen Funktionen

Die Derivate trigonometrischer Funktionen sind:

• Beispiel

Ableiten:

H (x) = sin (4x)

U = 4x und die Anwendung der Kettenregel wird erhalten:

H '(x) = 4Cos (4x)

9. Abgeleitet von inversen trigonometrischen Funktionen

Sie werden in der folgenden Tabelle angezeigt:

• Beispiel

Ableiten:

g (x) = arct tg (-2x)

Immer die Kettenregel im Auge behalten, wird u = -2x gemacht und das Ableitungsbereich lautet:

10. Abgeleitet von exponentiellen und logarithmischen Funktionen

Exponentialfunktion

Wenn die Basis Nummer E ist:

f (x) = e^X ⇒ f '(x) = e^X

Wenn die Basis eine Nummer A ist:

f (x) = a^X ⇒ f '(x) = (ln a) ∙ a^X

Logarithmische Funktion

Wenn eine neperische Logarithmusfunktion abgeleitet wird:

f (x) = ln x

Im Falle eines Logarithmus auf einer anderen Basis:

f (x) = log_Zu X

• Beispiel

Ableiten:

H (x) = x ∙ lnx

elf. Implizite Derivat

Sie werden verwendet, wenn die Clearance von y (x) nicht unmittelbar ist. Daher gibt es keinen expliziten Ausdruck für F (x), wie in den vorherigen Fällen. Trotzdem ist es möglich, die Ableitung mit dem im folgenden Beispiel dargestellten Verfahren zu finden:

• Beispiel

Leiten implizit den folgenden Ausdruck ab, um zu finden und zu ':

4x³+11xy²–2y³ = 0

Wie Sie sehen können, ist es nicht einfach, direkt von X zu finden und abhängig zu sein. Um das angeforderte Derivat zu finden, werden die beschriebenen Regeln angewendet, wobei sich auf beiden Seiten der Gleichheit bezieht:

(4x³) '+ [11 (x)'+ 11x (und²) '] - (2y³) '= 0 (Summenregel und Produktregel)

Das Ziel ist es zu klären und ', das ist das gewünschte Ableitungsmittel, für das die Kettenregel angewendet wird:

12x² + [11 + 11x ∙ 2yy '] - 6y²und '= 12x² + 11 + 22xy ∙ und ' - 6y² ∙ und '= 0

und '∙ (22xy - 6y²) + 12x² + 11 = 0